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研究对象
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时,即可将其视作刚体．
具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的;
刚体运动的速度法则
刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度．
任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的.
刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．
A
B
C
D
α
v2
v2d
v1
v1d
O
在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度.
沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同.
相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和.
杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：
接触物系接触点速度的相关特征是：
线状相交物系交叉点的速度是:
v1
θ
v0
v2
v1
θ
θ
v
vt
vn
vn
v1d
v0
v2d
如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一
半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C的速度．
专题5-例1
这是杆约束相关速度问题
考察杆切点C,由于半圆静止,C点速度必沿杆!
v
C
B
R
A
θ
v1
v2
vc
θ
杆A点速度必沿水平!
以C为基点分解v:
由杆约束相关关系:
v2是A点对C点的转动速度,故
B2
A1
A2
如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度vB2．
专题5-例2
这是杆约束相关速度问题
A0
A1
A2
A3
B1
B2
B3
v
vA2
vA1
v2
v1
分析顶点A2、A1的速度：
顶点B2，既是A1B2杆上的点，又是A2B2杆上的点，分别以A1、A2为基点，分析B2点速度：
v1
v2
vB2
由图示知
由几何关系
D
C
vx
B
A
vBA
这是绳约束相关速度问题
绳BD段上各点有与绳端D相同的沿绳BD段方向的分速度v；
设A右移速度为vx，即相对于A，绳上B点是以速度vx从动滑轮中抽出的，即
引入中介参照系-物A ，在沿绳BD方向上，绳上B点速度v是其相对于参照系A的速度vx与参照系A对静止参照系速度vxcosθ的合成， 即
v
由上
vxcosθ
如图所示，物体A置于水平面上，物A前固定有动滑轮B，D为定滑轮，一根轻绳绕过D、B后固定在C点，BC段水平，当以速度v拉绳头时，物体A沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体A 运动的速度是多大？
专题5-例3
如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其顶点．求当∠AOP=α时，AB杆的速度．
专题5-例4
这是接触物系接触点相关速度问题
P
A
O
B
v0
α
α
vA
v0
α
根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，即
如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上，以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心O的运动速度v0．线轴的外径为R、内径为r，线轴沿水平面做无滑动的滚动．
专题5-例5
R
r
O
v
A
α
α
O
B
考察绳、轴接触的切点B速度
轴上B点具有与轴心相同的平动速度v0与对轴心的转动速度rω：
v0
rω
绳上B点沿绳方向速度v和与轴B点相同的法向速度vn：
vn
由于绳、轴点点相切，有
α
线轴沿水平面做纯滚动
C
v0
若线轴逆时针滚动，则
如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端A点速度为v，方向水平．以铰链固定于B点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r和R．试确定木板的角速度ω与角α的关系．
专题5-例6
考察板、轴接触的切点C速度
板上C点与线轴上C 点有相同的法向速度vn,且板上vn正是C点关于B轴的转动速度 ：
C
A
B
α
C
vn
C
vn
线轴上C点的速度：它应是C点对轴心O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度vO的矢量和，而vCn是沿C点切向的，则C点法向速度vn应是 ：
v0
v
vCn
v0
α
v
线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有
D
R
r
如图所示，水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M的速度，设OM与竖直方向的夹角为φ．
专题5-例7
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题
B
O
φ
M
将杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解:
φ
u
滑环速度即交叉点速度,方向沿圆圈切向;
根据交叉点速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和，滑环速度即为杆沿圆圈切向分速度:
如图所示，直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动．已知OB=10 cm，曲杆的角速度ω=0.5 rad/s，求φ=60°时，小环M的速度．
专题5-例8
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题
O
A
B
M
C
60°
由于刚性曲杆OBC以O为轴转动，故BC上与OA直杆交叉点M的速度方向垂直于转动半径OM、大小是:
根据交叉点速度相关特征，该速度沿OA方向的分量即为小环速度，故将vBCM沿MA、MB方向分解成两个分速度:
vBCM
小环M的速度即为vMA：
vMA
vMB
30°
O
A
B
C
d
O1
O2
如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上，另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧傍第一个轴环．
专题5-例9
d
O1
A
O2
v
本题求线状交叉物系交叉点A速度
A
v1
θ
θ
v2
v
轴环O2速度为v，将此速度沿轴环O1、O2的交叉点A处的切线方向分解成v1、v2两个分量:
O2
由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点A的速度即为沿对方速度分量v1!
由图示几何关系可得:
O
　　　　　 顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推动．凸轮绕O轴以匀角速ω转动，在图示时刻，OA＝r，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为α，试求顶杆的速度．
M
n
α
A
K
B
杆与凸轮接触点有相同的法向速度!
v杆
ωr
r
根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，即
α
　　　　　 一人身高h ，在灯下以匀速率vA沿水平直线行走．如图所示，设灯距地面高度为H，求人影的顶端Ｍ点沿地面移动的速度 ．
H
M
h
借用绳杆约束模型
设人影端点M移动速度为v影 ,以光源为基点,将vA和v影分解为沿光线方向“伸长速度”和对基点的“转动速度”
vA
由几何关系
由一条光线上各点转动角速度相同：
α
α
v0
　　　　　 如图所示,缠在线轴A上的线被绕过滑轮B以恒定速率v0拉出，这时线轴沿水平面无滑动地滚动．求线轴中心O点的速度随线与水平方向的夹角α的变化关系．线轴的内、外半径分别为R与r．
A
B
O
V
VA
α
V0
考察绳、轴接触的切点A速度
轴上A点具有对轴心的转动速度V=Rω和与轴心相同的平动速度V0：
v0
V0
C
绳上A点具有沿绳方向速度v0和与轴A点相同的法向速度vn：
vn
由于绳、轴点点相切，有
α
由于纯滚动，有
　　　　　 图中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为l的A、Ｂ两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出．小环M套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求而后任意时刻t（M未落地）M运动的速度大小．
A
B
α
β
C
D
M
因两杆角速度相同，∠AMB=60°不变
本题属线状交叉物系交叉点速度问题
套在两杆交点的环M所在圆周半径为
60°
O
l
R
θ
2θ
杆D转过θ圆周角，M点转过同弧上2θ的圆心角
环M的角速度为2ω!
环M的线速度为
　　　　　 如图,一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做无滑动的滚动．AB等效于球的瞬时转轴．试问球上哪些点的速度最大？这最大速度为多少？
本题属刚体各点速度问题
A
C
B
球心速度为v， 则对瞬时转轴AB:
O
则球角速度
球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度!
根据刚体运动的速度法则:
　　　　　 如图，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为R2，外环半径为R1，在二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为r，外环以线速度v1顺时针方向转动，而内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω，设小球与圆环之间无滑动发生．
R1
R2
ω
v
已知滚珠球心速度为v，角速度为ω，
v1
v2
A
rω
根据刚体运动的速度法则:
滚珠与内环接触处A速度
滚珠与外环接触处B速度
rω
B
∵滚珠与两环无滑动，∴两环与珠接触处A、B切向速度相同
本题属刚体各点速度及接触点速度问题
　　　　　 一片胶合板从空中下落，发现在某个时刻板上a 点速度和b点速度相同：va=vb=v，且方向均沿板面；同时还发现板上c点速度大小比速度v大一倍，c点到a、b两点距离等于a、b两点之间距离．试问板上哪些点的速度等于3v？
本题属刚体各点速度问题
∵板上a、b两点速度相同，故a、b连线即为板瞬时转动轴!
v
v
c
a
b
l
根据刚体运动的速度法则,C点速度为:
vc=2v
v
vcn=lω
同理,速度为3v的点满足
V=3v
vn=xω
　　　　　 如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A．试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？
A
B
C
由三位舞者运动的对称性可知，他们会合点在三角形ABC的中心O
O
O
vn
每人的运动均可视做绕O转动的同时向O运动，
vt
考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑,到达O点历时
由于舞者匀速率运动,则
　　　　　 如图所示，一个圆台，上底半径为r，下底半径为R，其母线AB长为L，放置在水平地面上，推动它以后，它自身以角速度ω旋转，整体绕Ｏ点做匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径OA及旋转一周所需时间T．
A
B
L
O
r
R
设旋转半径为x，则由几何关系:
接触处不打滑，则A点（即接触点）移动速度即为
vA
则
　　　　　 如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R，放在与水平面成α角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω(此时绳未松驰)，试求此刻圆筒与绳分离处A的速度以及圆筒与斜面切点C的速度．
α
A
O
绳竖直时设圆筒中心速度为v0
vO
以A为基点,由刚体速度法则,O点速度是
vA
vn
圆筒与绳分离处A速度vA如图:
vA
C
考察圆筒与斜面切点C速度:
vO
vn
以O为基点,由刚体速度法则,C点速度是
　　　　　 如图所示，长度l＝10 cm的棒在光滑水平面上转动，同时，以速度v＝10 cm/s滑动，离棒的中心距离L＝50 cm处有竖直的墙．要使棒平着与墙相撞，试问棒的角速度ω应为多少？
L
v
ω
棒要平着与竖墙相撞应满足
⑴棒中心完成L位移时，棒与墙平行；
⑵相撞时无沿棒法向向右的离开墙的速度（即棒上所有点速度方向均向墙）.
满足⑴应有:
棒在向墙移动时每半周与墙平行一次
满足⑵应有
v
v
　 一块坯料夹在两导板之间，导板水平运动．上板向右，速度为v1，下板向左，速度为v2，若v1＝2v2 ，某时刻切点１和２在同一条竖直线上，如图所示．请作图指出该时刻坯料上速度大小分别为v1和 v2 的点的集合．　
1(A)
2(B)
v1
v2
A
B
以1∶2截分AB得瞬时转动中心O
刚体上与瞬时转动中心距离相同的点对中心的转动速度相同
A
B
C
D
α
O
　　　　　 如图所示，两只小环O和 分别套在静止不动的竖直杆AB和CD上，一根不可伸长的绳子一端系在C点上，穿过环 ，另一端系在环O上．若环 以恒定速度v1向下运动，当∠AO =α时，求环O的速度．
v1
V绳对环　= v1
vO对　＝v1+v2
V绳对环　
设环O的速度为v2
以O′为参照绳抽出速度大小为v1,方向如示:
v2
则环O对环O′的速度大小为v1+v2,方向如示:
这个速度是O对O′沿绳“抽出”速度和对O′转动速度的合成
由绳约束特征:在同一时刻必具有相同的沿绳方向的分速度.
　　　　　 如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h．轨道上有两个物体Ａ和Ｂ，它们通过一根绕过定滑轮Ｏ的不可伸长的轻绳相连接．物体Ａ在下面的轨道上以匀速率v运动．在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴Ｐ与绳子分离，设绳长BO远大于滑轮直径，求：小水滴Ｐ恰脱离绳子落地时速度的大小．
O
A
B
P
v
h
30°
小水滴P刚与绳分离时应具有与OB绳中点相同的速度,这个速度是沿绳速度与绕O转动速度的合成:
v
vPn
vB
vBn
小水滴沿绳方向速度即为v
整个OB段绳有相同绕O转动角速度,故
则
以此速度斜抛落地
vP
　　　　　 如图所示，AB杆以角速度ω绕A点转动，并带动套在水平杆OC上 的小环M运动．运动开始时，AB杆在铅垂位置，设OA=h，求：⑴小环M沿OC杆滑动的速度；⑵小环M相对于AB杆运动的速度．
O
C
A
h
ω
M
B
⑴
经时间t，杆转过角ωt，杆AB上 M点速度 :
由线状交叉物系交叉点相关速度特征
环M的速度等于vM沿杆OC 分量:
⑵小环相对于AB杆的速度大小等于速度v杆M沿AB杆方向分量:
方向如图!
　　　　　 如图所示，曲柄滑杆机构中，滑杆上有圆弧形滑槽，其半径为R，圆心在导杆BC上，曲柄OA长R，以角速度ω转动，当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角θ=30°，求此时滑杆的速度．
C
O
B
ω
vA
vn
V
A
曲柄与水平线交角θ=30°时，曲柄滑杆机构上 A点速度 :
此时滑杆速度设为V，A在圆形槽中的转动速度设为vn :
由刚体运动的速度法则,有
其中
速度矢量三角形为正△

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