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2024-2025学年度上学期期中考试
高一数学
时间：120分钟 满分：150分
命题范围：必修一
一、单选题：（每题5分）
1.已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.已知，，则“”是“且”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知关于的方程有两个实数根，.若，满足，则实数的取值为（ ）
A.或6 B.6 C. D.
6.函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数，若在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（ ）
A. B. C.-3 D.0
二、多选题（每题6分）
9.下列函数中，值域为的是（ ）
A. B.
C.， D.（）
10.下列命题中，真命题是（ ）
A.若、且，则、至少有一个大于1
B.
C.“”是“”的必要条件
D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件
11.已知，，，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.的最小值是 B.的最小值是2
C.的最大值是 D.的最小值是25
三、填空（每题5分）
12.已知集合，，，则的值为______.
13.已知函数，，则______.
14.已知是定义在上的偶函数，若在上是增函数，则满足的实数的取值范围为______；若当时，，则当时，的解析式是______.
四、解答题（共77分）
15.已知：（），：.
（1）当时，若同时成立，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16.已知集合，集合，集合，集合.
（1）求
（2）设，求实数的取值范围.
17.已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若，求的取值范围.
18.某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足（为常数）.如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍.
（1）求的值；
（2）将2023年该产品的利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；
（3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）.
19.对于二次函数（），若存在，使得成立，则称为二次函数（）的不动点.
（1）求二次函数的不动点；
（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且，，求的最小值.
（3）若对任意实数，二次函数（）恒有不动点，求的取值范围.
高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B B A C D B A AC AD ACD
1. B 因为，所以.
2. B 解：因为命题“，”为存在量词命题，所以其否定为“，”.
3. B 【详解】当“”时，如，，满足，但不满足且，
当且时，根据不等式的性质有“”，
故“”是“且”的必要不充分条件.
4. A 【详解】因为，即，即，
即，解得，所以实数的取值范围为.
故选：A
5. C 【详解】∵关于的方程有两个实数根，，
∴，解得，
∴实数的取值范围为，
根据韦达定理可得，，
∵，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），∴实数的值为.
6. D 【详解】由函数的定义域为，可得
函数的定义域为，函数，
可得，解得，所以函数定义域为.
7. B 【详解】由在上是减函数可得，解得，
8. A 【详解】因为为奇函数，所以关于对称，
则关于对称，即，
当时，，
当时，，
则，
所以，
则，
因为，则或，
解得或，所以.
9. AC 【详解】对于A：函数，在定义域上单调递增，
又，，所以，故A正确；
对于B：由，所以，即，故B错误；
对于C：函数，在定义域上单调递增，
又，，所以，故正确；
对于D：因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，故D错误；
10. AD 【详解】假设，都不大于1，即，，则，
因此不成立，所以假设不成立，故A正确；
因为时，，故B错误；
因为，但是，则不一定能推出，
且，但是，所以不一定能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
关于方程有一正一负根，
所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D正确；
故选：AD
11. ACD 【详解】∵，，，∴，所以A中结论一定成立，
由已知得，
∴，
所以B中的结论是错误的，
由得：，所以C中的结论是成立的，
由已知得，所以D中的结论是成立的，
12. 【详解】由题意得，且，故，
13. 25 【详解】根据题意可知，
则.
【详解】∵是定义在上的偶函数，若在上是增函数，
∴不等式等价为，
即得，得，
若，则，
则当时，，
则当时，，
故答案为：（1），（2）
15.【详解】（1）当时，：，即：，
：，即：，
若同时成立，则，即实数的取值范围为
（2）由（1）知，：，：（），
即：，
①当时，：，
若是的充分不必要条件，则，解得；
②当时，：，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意
综上，实数的取值范围为.
16.【详解】（1）由已知，
，所以；
（2）由（1）得，所以，
又，且
所以，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
17.【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，
所以得，
又因为，所以，
经检验，当，时，是奇函数，
所以，
（2）由（1）可知，设
所以
因为，所以，，，，，
所以，即，
所以函数在上是增函数.
（3）由函数是定义在上的奇函数且，
则，
所以
所以的取值范围是.
18.【详解】（1）由已知，当时，，
，解得：，
（2）由（1）知，
故
。
化简得：.
（3），
∵，∴，即，则，
当且仅当即时等号成立，
此时，
答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元.
19【详解】（1）由题意知，即，
则，解得，，所以不动点为和3.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
（3）由题知：（），
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，所以的取值范围是.

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