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吉安市十校联盟2024---2025学年第一学期期中联考
九年级数学试卷答案及评分标准
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 8.3 9. 10. 11.23
12. 1或或2（一个答案1分，见对给分）
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）
∴，；．…… 3分
(2)∵∴ ∴=3. ．…… 6分
14．∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．……4分
又∵，
∴．.............6分
15(1)……2分
(2)列表如下：
4 4 5 5 6
4 ﹣﹣﹣ 8 9 9 10
4 8 ﹣﹣﹣ 9 9 10
5 9 9 ﹣﹣﹣ 10 11
5 9 9 10 ﹣﹣﹣ 11
6 10 10 11 11 ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况有12种，
则P（抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数）＝＝．……6分
16.（1）证明：∵四边形是菱形，
，，，
，，
∴四边形是平行四边形，……1分
．，
∴四边形是平行四边形．
，，，
∴平行四边形是矩形．……3分
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
，
．
又，，
． ……4分
在中，，
，
……6分
17.

矩形ACBE为所求 ……3分 （2）菱形DEOF为所求……6分
解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为； .............4分
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． .............8分
19.解：（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB； .............4分
（2）∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE＝AE＝AB＝， .............5分
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD； .............6分
∴＝＝，
∴＝． .............8分
(1)过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N.
由题意易得四边形ANEM是矩形，∴∠MEN=90°.
∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠EAD=∠EAB=45°
∵EM⊥AD,EN⊥AB ∴EM=EN,∠EMD=∠ENF=90°. ......3分
∵EF⊥DE,∠MEN=90° ∴∠MEN=∠DEF=90°,
∴∠DEF－∠MEF=∠MEN－∠MEF，即∠DEM=∠FEN,
∴△EMD≌△ENF(ASA) ∴ED=EF .............5分
∵四边形DEFG是矩形 ∴矩形 DEFG是正方形； .............6分
(2)AE+AG=4 .............8分
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.【详解】（1）； .............1分
（2），，互为倒数； .............4分
（3）解：方程2024x2+bx+c=0的两根是，，
该方程的“友好方程cx2+bx+2024 =0的两根为，， .............6分
则方程可化为的两根，
4，即，5.
关于x 的方程的两根为5.． .............9分
22.（1）解：如图，∵四边形为矩形，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵动点的速度为每秒个单位长度，
∴（秒）． .............3分
（2）解：如图，四边形是矩形；
理由如下：由（1）可知，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形． .............5分
（3）解：如图，点M在点N右侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
如图，点M在点N左侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴（秒），
综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒． .............9分
六、解答题（本大题共12分）
23．【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴AB＝2BC＝8，，
∵点，分别是边，的中点，
∴AM＝CM＝AC＝，AN＝BN＝AB＝4，
∴，
故答案为：，； .............4分
（2）由（1）可知：AM＝，AN＝4，，AB＝8，
∴，，
∴，
由旋转的性质可得：∠CAB＝∠MAN，
∴∠CAM＝∠BAN，
∴△CAM∽△BAN，
∴； .............8分
（3）如图，当AN1∥BC时，连接CM1，BN1，
∵AN1＝AN＝4＝BC，
∴四边形AN1BC是平行四边形，
∵，
∴此时平行四边形AN1BC是矩形，
同（2）可证：△CAM1∽△BAN1，
∴∠AM1C＝∠AN1B＝90°，
∵AC＝，AM1＝AM＝，
在Rt△CAM1中，；
当AN2∥BC时，连接CM2，CN2，
∵AN2＝AN＝4＝BC，
∴四边形AN2CB是平行四边形，此时点N2、A、N1在一条直线上，
∵∠M2AN2＝∠M1AN1，∴点M2、A、M1在一条直线上，
∴M2M1＝2AM1＝，
在Rt△M2M1C中，，
综上，线段的长为6或． .............12分2024 2025 8.已知方程 x
2 3x 1 0的两个根是 x1, x2，则 1 x1 1 x2 = ．吉安市十校联盟 --- 学年第一学期期中联考
9.已知点 P是线段 AB的黄金分割点 (AP PB)，如果 AB的长为 4 ，那么 BP的长是 ．（保
九年级数学试卷 留根号）
考试时间：120分钟、全卷满分 120分 10. 如图，四边形 ABCD是平行四边形，从①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB＝BC，这三个条件中任意
选取两个，能使平行四边形 ABCD是正方形的概率为 ．
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知，菱形 ABCD中， E、 F分别是 BC、 CD上的点，且 B EAF 60 ， BAE 23 ，
1．下列关于 x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） 则 FEC 度．
3
A．ax2 bx c 0 B． x2 2 (x 3)2 C． x2 5 0 D． x2 -1= 0 12．如图，在菱形 ABCD中，AB=2， A 120 ，E、F分别是 AB、BC的中点，若点 P从点 E出发，x
沿E A D C的路线运动，则当 EPF 30 时，EP的长为 ．
2．如图，已知直线 a∥b∥c，已知 AC 8，CE 12，BD 6，则 BF的值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
3．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
F
C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行
（第 10 题） （第 11 题 ） （第 12 题）
2
4．若关于 x的一元二次方程（m+1）x﹣2x+1＝0 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是（ ）
A．m≤0且 m≠﹣1 B．m≥0 C．m＜0且 m≠﹣1 D．m＜0 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
a c e
5．小明在一次用频率估计概率的实验中，从一个装有 1个红球 3个白球袋子中，它们除颜色外都相 13.（1）3x 2x 1 4x 2 （2） 若 3,且b d f 0
a c e

b d f ，求 b d f 的值.
同，任意抽取一个球，把抽到红球出现的频率绘制的统计图，则满足题意的统计图是（ ）
14．已知：如图，在△ABC中，D、E分别在边 AB、AC上，连接 DE，AD 12，
EC 2，BD 12， AE 16，求证：△ADE∽△ACB．
A． B．
15. 从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是 4，4，5，5，6．
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是 4的概
率是 ．
C． D． （2）将这五张扑克牌背面明上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，
ABCD E AE BE DE A AE 请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．6．如图，在正方形 外取一点 ，连接 、 、 ，过 作 的垂线
交 ED于点 P，若 AE＝AP＝1，PB＝ ，下列结论：①△APD≌△AEB；
②EB⊥ED；③PD＝ ，其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 16.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点 O，延长CB到点 E，使得
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） BE BC．连接 AE．过点 B作BF∥ AC，交 AE于点 F，连接OF ．
（1）求证：四边形 AFBO是矩形；
a 3 a b （2）若 E 30 ， BF 1，求OF 的长．
7.已知 ，则 ．
b 5 b
九年级数学试卷第 1 页 共 4 页 九年级数学试卷第 2 页 共 4 页
{#{QQABTYQQggggABBAAQhCEQUgCgOQkgEACagGwAAEMAABSAFABAA=}#}
17．在图 1、2 中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，O是斜边 AB的中点，△ABD是等边三角 cx2 bx a 0的两根 x3， x4之间存在的一种特殊关系为 ；
形，BD∥AC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
1
（1）在图（1）中，画出矩形 ACBE，使 E点在 BD上； （3）已知关于 x 的方程 2024x2+bx+c=0的两根是 x1 1, x2 ，请利用（2）中的结论，求出2024
（2）在图（2）中，画出菱形 DEOF，使 E点在 BD上，F点在 AD边上． 关于 x 的方程c(x 1)2 bx b 2024的两根．
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形, A 0,5 ，C 26,0 ．点 E是OC
18．今年超市以每件 25元的进价购进一批商品，当商品售价为 40元时，三月份销售 256件，四、五
的中点，动点 M在线段 AB上以每秒 2个单位长度的速度由点 A向点 B运动（到点 B时停止）．设
月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到 400件．
动点 M的运动时间为 t秒．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （1）当 t为何值时，四边形MOEB是平行四边形？
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式， （2）若四边形MOEB是平行四边形，请判断四边形MAOE的形状，并说明理由；
经调查发现，该商品每降价 1元，月销量增加 5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获 （3）在线段 AB上是否存在一点 N，使得以 O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求
利 4250元？ 出 t的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在四边形 ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，
点 E为 AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2 AC）若 AD＝2，AB＝3，求 的值．
AF
20.如图，在正方形 ABCD中，AB=4,E是对角线 AC上的一点，连接 DE．过点 E作 EF⊥DE，交 AB
于点 F，以 DE,EF为邻边作矩形 DEFG，连接 AG. 六、解答题（本大题共 12 分）
（1）求证：矩形 DEFG是正方形； 23．如图 1，在 Rt△ABC中， ACB 90 ， BAC 30 ，BC 4，点M ，N 分别是边 AC， 的
（2）直接写出 AE AG AB+ 的值．
中点，连接MN．
CM
（1）观察猜想：图 1中，求 AC的长是 ， 的值为 ；
BN
BN CM
五、解答题（本大题共 2 9 18 （2）探究证明：把△AMN绕点A顺时针旋转到如图 2所示的位置，连接CM ， ，请求出小题，每小题 分，共 分） BN
的值；
21．定义：我们把关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0与 cx2 bx a 0（ac 0，a c）称为一 对 （3）拓展延伸：把△AMN绕点A在平面内自由旋转，当以 A,B,C,N为顶点的四边形为平行四边
“友好方程 ”．如 2x2 7x 3 0的“友好方程 ”是3x2 7x 2 0． 形时，请直接写出线段CM .
（1）写出一元二次方程 x2 3x 10 0的“友好方程 ” ；
（2）已知一元二次方程 x2 3x 10 0的两根为 x1 2 , x2 5，它的“友好方程 ”的两根
x3 ，x4 ．根据以上结论，猜想 ax2 bx c 0的两根 x1 , x2，与其“友好方程 ”
九年级数学试卷第 3 页 共 4 页 九年级数学试卷第 4 页 共 4 页
{#{QQABTYQQggggABBAAQhCEQUgCgOQkgEACagGwAAEMAABSAFABAA=}#}

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