资源简介

罗湖区中考备考百师助学培优课程之《一线三等角模型》
罗湖实验学校 熊梦玲
知识技能梳理
2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型，如“一线三等角”等, 帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.
“一线三等角”是指三个相等的角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、 直角一线三等角和钝角一线三等角，其基本图形如图所示，可以得到△ACP△BPD或△ACP∽△BPD.
“一线三等角”模型一般不单独出现，它通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.
【一线三等角模型的基本分类】：
1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2, 结论：△ACP△BPD
同侧
锐角 直角 钝角
异侧
2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2, 结论：△ACP∽△BPD
同侧
锐角 直角 钝角
异侧
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时.
结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.
结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.
结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
本课程共分三个模块：
模块一：三角齐见，模型自现 ，图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.
模块二：模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.
模块三：有直角，“K”型现，图形中出现直角或45°，构造一线三直角（K型模型）
学习过程
模块一 三角齐见，模型自现
典例精讲
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．
例1图 例2图
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
跟进练习
如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．
（1）求证：△BED∽△CFE；
（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长．
如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．
（1）如图1，当点Q在线段CA上时，
①求证：△BPE∽△CEQ；
②线段BE，BP，CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
（2）当△APQ为等腰三角形时，求的值．
模块二 模型隐藏，及时添补
知识铺垫
找角、定线、构相似
如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
tan∠2=tan∠3=tan∠α，则∠1=∠2=∠3=α，
在NM的延长线上截取，在MN的延长线上截取，
典例精讲
如图所示，一次函数与坐标轴分别交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点（不包括 A、B 两端点），C 是线段 OB 上一点，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形，求点 P 的坐标_______________________.
例2. 如图，△ABC中，，∠B=90°，AD=2，BC=4，则BD=_________.
例3. 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5，
则BC =______.
跟进练习
如图，△ABC中，∠B=90°，∠CAD=45°，AB=3，CD=5，BD=___________.
阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长；
小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．
（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．
（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．
模块三 有直角，“K”型现
知识铺垫
图1 图2
其他特殊角，构造“一线三直角”
45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如下图；
2. 30o角构直角三角形造“一线三直角”相似，如下图；
tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如下图；
典例精讲
如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB上的动点，连接DE，将△AED沿着DE折叠，A点落在F处，若EF∥AC，则AE的长度是 　 　．
例2. 如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为(0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数的图像上，则点B的坐标为________________.
跟进练习
如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝3AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为　 　 ．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，∠BED+∠C＝90°，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为 　 　．
矩形ABCD在直角坐标系的位置如图所示，点，点C（0，5），反比例函数的图像交边AB、BC于D、E两点，且∠DOE=45°，则k=___________.罗湖区中考备考百师助学培优课程之《一线三等角模型》
（答案详解）
模块一 三角齐见，模型自现
典例精讲
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．
解析：由题意可得：∠FDG=∠FGE=∠GBE=60°
∵ FGD∽ GEB，
∴DG=2，代入得,
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②④
【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
【详解】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD，故①正确；
②作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，
∴BG＝ABcosB，
∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，
∵BD＝6，
∴DC＝10，
∴AB＝DC，
在△ABD与△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正确；
③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，
当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE＝90°，∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，
∴cosB＝＝，
∴BD＝，故③错误；
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，
设BD＝y，CE＝x，
∴，
∴，
整理得：y2 16y＋64＝64 10x，
即（y 8）2＝64 10x，
∴0＜x≤6.4，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键．
跟进练习
如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．
（1）求证：△BED∽△CFE；
（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长．
【答案】（1）见解析；（2）CF＝．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后根据三角形的外角的性质得到∠BDE＝∠CEF，从而证得结论；
（2）首先求出线段CE的长，再利用△BED∽△CFE得出=，最后得出结果．
【详解】(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°.
∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝45°，
∴∠BDE＝∠CEF，∴△BED∽△CFE.
(2)∵D为AB的中点，∴AB＝2AD＝6，
∴BC＝AB＝6，
∴CE＝BC－BE＝4.
由(1)知△BED∽△CFE，∴=，
∴，
∴CF＝.
【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质和判定．
如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．
（1）如图1，当点Q在线段CA上时，
①求证：△BPE∽△CEQ；
②线段BE，BP，CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
（2）当△APQ为等腰三角形时，求的值．
【分析】（1）①推导角度关系可得∠CEQ＝∠BPE，结合∠B＝∠C即可得出结论．
②由①中相似可得，结合BE＝CE即可得出结论．
（2）Q点可能在线段CA上或者线段CA的延长线上，分两种情况讨论，结合（1）中的相似三角形即可得出结果．
【解答】解：（1）①∵∠DEF＝30°，∠B＝30°，
∴∠BED+∠CEQ＝150°，∠BED+∠BPE＝150°，
∴∠CEQ＝∠BPE，
∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
②BE2＝BP CQ，理由如下：
∵△BPE∽△CEQ，
∴，
∴BE CE＝BP CQ，
∵点E为边BC的中点，∴BE＝CE，
∴BE2＝BP CQ；
（2）①当点Q在线段AC上时，
∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，为钝角，
∴△APQ为等腰三角形时有AP＝AQ，
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴BP＝CQ，
∴；
②当点Q在线段CA的延长线上时，如图：连接PQ，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAQ＝60°，
当△APQ为等腰三角形时，有△APQ为等边三角形，
设AB＝AC＝2a，则BC＝，
BE＝CE＝，
设AQ＝AP＝x，则CQ＝2a+x，BP＝2a﹣x，
由（1）得：BE2＝BP CQ，
∴，
解得：x＝a，
∴BP＝a，CQ＝3a，
∴，
综上，的值为1或3．
模块二 模型隐藏，及时添补
典例精讲
如图所示，一次函数与坐标轴分别交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点（不包括 A、B 两端点），C 是线段 OB 上一点，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形，求点 P 的坐标_______________________.
【解答】①当CP=CO时，
∠COP=∠OPC=45°，∠OCP=90°，即PC⊥y轴.
又∵一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，
∴中，令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，
∴AO=BO=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，∴∠COP=∠CBP
∴OP=BP,
∴C是BO中点，∴CO=CP==2
∴P（2，2）
②当PC=PO时，过P作PD⊥y轴，
由①知，∴AO=BO=4，△AOB是等腰直角三角形，
∵∠ABO=∠BAO=∠OPC=45°，
∴△OAB△PBC（利用“一线三等角”模型所得，若大题，三角形全等需完整证明过程）
∴BP=AO=4
∴在Rt△BDP中，
∴OD=OB-BD=
∴P
综上，P（2，2）或
例2. 如图，△ABC中，，∠B=90°，AD=2，BC=4，则BD=_________.
【答案】分别延长BC、CB至F、E点，连接ED、AF，使得∠E=∠F=∠ACD，
∴
∴设BD=a，则BE=3a，ED=
∵AD=2，BC=4
∴BF=3（2+a），AF=，CF=BF-BC=2+3a
又∵∠E=∠F=∠ACD
∴△CDE∽△ACF(利用“一线三等角”模型所得，若大题，需推导两角相等证明相似）
∴
∴，整理可得a2+2a-8=0，解得a=2或- 4（舍）
经检验：a＝2是原方程的根
∴BD=2
例 3. 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5，BC =______.
【答案】分别延长BC、CB至点E，H，连接AH，DE，使得∠H=∠E=45°，
∵∠H=∠E=45°，AB=3
∴HB=3，AH=
设BC=x，过D作DF⊥BC交BC于F，
∵AD=5，
∴FC=x-5，AC=
∵DF=AB=3，FC=x-5
∴DE=，CE=3-（x-5）=8-x
∵∠H=∠E=∠ACD=45°
∴△AHC∽△CED(利用“一线三等角”模型所得，若大题，需推导两角相等证明相似）
∴
∴
整理可得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍）
经检验：x＝6是原方程的根
综上，BC=6
本题还可作其他辅助线构造“一线三等角”模型：
跟进练习
如图，△ABC中，∠B=90°，∠CAD=45°，AB=3，CD=5，BD=___________.
【答案】分别延长BA、AB至E、F点，连接EC、DF，
使得∠E=∠F=∠CAD=45°，
∴设BD=x，
则BF=x，DF=
∵BC=5，AB=3
∴EB=5+x，EA=5+x-3=2+x，EC=
又∵∠E=∠F=∠CAD=45°
∴△CAE∽△ADF(利用“一线三等角”模型所得，若大题，需推导两角相等证明相似）
∴
∴，
整理可得，x2+5x-6=0，
解得x1=1，x2=-6（舍）
经检验：x＝1是原方程的根.
∴BD=1
阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长；
小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．
（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．
（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．
【分析】（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则CD可求出；
（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通过证明∴△DBE∽△ATD，可得，可得，通过证明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解．
【解答】解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴DE＝AD＝AE，
∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，
且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵∠BDA＝∠DEF，
∴△ADB∽△DEF，
∴，
∵AB＝，
∴DF＝4，
又∵∠CDE+∠C＝45°，
∴∠CEF＝∠CDE，
∴△CEF∽△CDE，
∴，
又∵DF＝4，CE＝，
∴，
∴CF＝1或CF＝﹣5（舍去），
∴CD＝CF+4＝5；
（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，
∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，
∴AB＝AC，AD＝CD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠EAD+∠EBD＝90°，
∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，
∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，
∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，
∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，
∴△DBE∽△ATD，(“一线三角”模型）
∴，∠ADT＝∠BED，
∴，且AD＝DC，
∴，
∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，
∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，
∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，
∴△ARE≌△ATD（ASA）
∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，
∴∠BED＝∠AER，
∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，
∴RE＝RB＝DT，
∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，
∴△ABR≌△ACT（AAS）
∴BR＝TC，
∴DT＝TC，
∴CD＝2DT，
∴
模块三 有直角，“K”型现
典例精讲
如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB上的动点，连接DE，将△AED沿着DE折叠，A点落在F处，若EF∥AC，则AE的长度是 　 　．
【分析】过点F作FM⊥AB，垂足为M，并延长MF交CD于点N，设AE＝x，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，AB∥CD，∠DAE＝∠B＝90°，从而可得MN⊥CD，AC＝10，再利用折叠的性质可得AE＝EF＝x，∠DAE＝∠DFE＝90°，然后根据已知易证△FND∽△EMF，利用三角函数的性质可得MF＝，EM＝，从而表示出FN的长，最后根据相似比，列出关于x的方程进行计算即可解答．
【解答】解：过点F作FM⊥AB，垂足为M，并延长MF交CD于点N，
设AE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AB∥CD，∠DNM＝∠EMF＝90°，
∴MN⊥CD，
∵AB＝8，
∴AC＝
由折叠可得：
AE＝EF＝x，∠DAE＝∠DFE＝90°，
∵EF∥AC
∴cos∠CAB=cos∠EFM=，sin∠CAB=sin∠EFM=，
∴EM=，FM=，NF=
∵∠DNM＝∠EMF=∠DFE＝90°
∴△FND∽△EMF，(利用“一线三直角”模型所得，若大题，需推导两角相等证明相似）
∴
整理可得，30-3x=24
∴x＝2，
经检验：x＝2是原方程的根，
∴AE＝2，
故答案为：2．
例2. 如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为(0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数的图像上，则点B的坐标为________________.
【解答】如图，作CD⊥AB于D，CG⊥x轴于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F，
∵△ABC是等边三角形，CD⊥BA，
∴BD=AD，
设点C的坐标为，点B的坐标为（a，0），
∵A（0，4）
∴AB的中点D的坐标为
∵CD⊥AB，∠ADE+∠CDF=90°，∠ADE+∠DAE=90°
∴∠DAE=∠CDF
又∵∠ADE=∠CFD=90°
∴△AED∽△DFC（“一线三直角”模型）
∴
∴
∴整理可得 ①， ②，
由①②可得，，
解得，（舍去），
∴B
跟进练习
如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝3AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为　 　．
【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝3a﹣1，得出3a﹣1＝1，求出a＝，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+，把D（，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），（“一线三直角”模型）
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝3AD，
∴设AD＝a，BD＝3a，
∵P（1，1），
∴DN＝3a﹣1，则3a﹣1＝1，
∴a＝，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝，
则C的坐标是（0，），
设直线CD的解析式是y＝kx+，
把D（，2）代入得：k＝，
即直线CD的解析式是，
即方程组得：，
即Q的坐标是.
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，∠BED+∠C＝90°，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为 　 　．
【分析】由题意可得：∠DFE＝∠B＝90°，DF＝BD，EF＝BE，，想到构造一线三等角模型的相似三角形，所以过点F作FN⊥AB，垂足为N，过点E作EM⊥NF，交NF的延长线于点M，可证明证明△NDF∽△MFE，得到，然后证明A字型模型相似三角形△ANF∽△ABC，求出NF，ME的长，最后在Rt△NDF中利用勾股定理进行计算求出DF，即可解答．
【解答】解：过点F作FN⊥AB，垂足为N，过点E作EM⊥NF，交NF的延长线于点M，
∴∠FND＝∠FME＝90°，
∵∠B＝90°，
∴四边形NBEM是矩形，
∴NB＝ME，
∵∠BED+∠C＝90°，∠C+∠A＝90°，
∴∠BED＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BAC，
∴，
∵△BED与△FED关于DE对称，
∴△BED≌△FED，
∴∠DFE＝∠B＝90°，DF＝BD，EF＝BE，
∴，
∵∠FME＝90°，
∴∠MEF+∠MFE＝90°，
∵∠MFE+∠NFD＝90°，
∴∠MEF＝∠NFD，
∴△NDF∽△MFE，（“一线三直角”模型）
∴，
∴设NF＝3x，ME＝4x，
∵∠ANF＝∠B＝90°，∠A＝∠A，
∴△ANF∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝1，
∴NF＝3，ME＝NB＝4，
设BD＝DF＝y，
则ND＝NB﹣BD＝4﹣y，
在Rt△NDF中，NF2+ND2＝DF2，
∴32+（4﹣y）2＝y2，
∴y＝，
∴BD＝，
∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝
∵△BED∽△BAC，
∴，
∴，
∴DE＝.
矩形ABCD在直角坐标系的位置如图所示，点，点C（0，5），反比例函数的图像交边AB、BC于D、E两点，且∠DOE=45°，则k=___________.
【解答】15
【提示】如图，因为∠DOE=45°，构造等腰Rt ODF，补全矩形OAGH，利用一线三等角模型，得△OAD ≌ △DGF, 得OA=AG=，AD=FG=.
由A型相似，△OCE∽△OHF，得
解得k=15

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