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《隐圆模型》自主学习单
在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。隐圆题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定长模型、定边定角模型、对角互补模型，上述三种动态问题的轨迹是圆。正所谓：有圆百般好，无圆万事难。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
模型一：动点定长模型
若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径（动点轨迹是圆或圆弧）
口决：识动点，找定长，得到圆
例1．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．
例2．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
模型二：定边定角模型
类型1：直径对直角
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆（直角顶点轨迹是圆或圆弧），AB为直径.
口决：边定值，角恒定，得到圆
例1．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．
类型2：定弦对定角
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆.
若AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
口决：边定值，角恒定，得到圆
例1．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（ ）
B．
C． D．
模型三：对角互补模型
若平面上A、B、C、D四个点满足（四边形对角互补)，则A、B、C、D四点共圆．
口决：找对角，验互补，得到圆
例1．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
跟综练习
1．（2023 北碚区自主招生）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△A′DC，AA′与CD交于点E．若，，则点A′到AB的距离是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

3．（2023.江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋 包头期末）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．连接EF交线段CD于点O，若CO＝2，CD＝3，则EO FO的值为（　　）
A．6 B．4 C．5 D．6
5．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ．
6．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形中，，N是矩形内一点，，点M是边上的动点，则的最小值为 ．
7．（2023陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．《隐圆模型》自主学习单答案
在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。隐圆题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定长模型、定边定角模型、对角互补模型，上述三种动态问题的轨迹是圆。正所谓：有圆百般好，无圆万事难。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
模型一：动点定长模型
若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径（动点轨迹是圆或圆弧）
类型1 类型2
口决：识动点，找定长，得到圆
例1．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．
【答案】 ；
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到、、在以为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：连接，
、分别是、的中垂线，，
、、在以为圆心，为半径的圆上，，，
，，，，
，，
又，．故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到、、在以为圆心，为半径的圆上是解题的关键．
例2．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，∴，∴，
∵点M为中点，点A为中点，∴是的中位线，∴；
在中，，∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，∴的最小值为，∴的最小值为3，故选A．

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
模型二：定边定角模型
类型1：直径对直角
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆（直角顶点轨迹是圆或圆弧），AB为直径.
口决：边定值，角恒定，得到圆
例1．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意得到点A，B，C，D四点共圆，然后证明出，进而得到，然后利用直角三角形的性质得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，∵ ∴点A，B，C，D四点共圆，

∵∴∵∴∴
∵，∴ ∴∴．故选：D．
【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
例2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，，，先由圆周角定理得到点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，进而得到当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；根据勾股定理和锐角三角函数求得，，则所对的圆心角的度数为，利用弧长公式求得的长即可求解．
【详解】解：连接，，，

∵，∴，
∴点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，当点E在点B处时，，点F与O重合；
当点E在点D处时，∵以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，
∴即，点F与A重合，
∴当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；
∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，则所对的圆心角的度数为，
∴的长为，即点F所经过的路径长为，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F的运动轨迹以及点F所经过的路径长为的长是解答的关键．
类型2：定弦对定角
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆.
若AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
口决：边定值，角恒定，得到圆
例1．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作于A，作于，连接，交于，证明，得，再证明，可得，确定点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，过点A作于A，作于，连接，交于，
是等边三角形，，，，
，，，是的垂直平分线，，
在中，，，，
，，，
，，，
点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，
点P的运动路径长为．故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点的运动轨迹等知识，确定点的运动轨迹是解本题的关键．
模型三：对角互补模型
若平面上A、B、C、D四个点满足（四边形对角互补)，则A、B、C、D四点共圆．
口决：找对角，验互补，得到圆
例1．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，点A,M,B,C四点共圆，得，解直角三角形，，面积法求解，，得．
【详解】解析：过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：
∵∴点A,M,B,C四点共圆
∵∴∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴
【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形是解题的关键．
跟综练习
1．（2023 北碚区自主招生）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△A′DC，AA′与CD交于点E．若，，则点A′到AB的距离是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝AD＝BD＝AB，根据勾股定理求出AB＝5，由折叠可得AC＝A′C＝，AD＝A′D＝，于是得到A′D＝，因此△AA′B为直角三角形，进而可得A、B、A′、C四点共圆，以AB为直径，D为圆心作圆，过点A′作A′F⊥AB，设CD与AA′交于点O，根据圆周角定理可得∠A′CO＝∠BAO，易证明△A′OC∽△BOA，得到，设OC＝x，则OB＝，代入式中求得OA＝，OA′＝2﹣，在Rt△AOC中，利用勾股定理解得x＝，则OA′＝，OB＝，在Rt△OA′B中，根据勾股定理求得A′B＝3，设DF＝a，则BF＝BD﹣DF＝，在Rt△A′DF中，A′F2＝A′D2﹣DF2＝，在Rt△A′BF中，A′F2＝A′B2﹣BF2＝，以此即可建立方程，求出a值，再代入算出A′F的长即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∵，，
∴AB＝＝＝5，
∴AD＝BD＝，
根据折叠的性质可得，AC＝A′C＝，AD＝A′D＝，
∴A′D＝AD＝，
∴△AA′B为直角三角形，
∴A、B、A′、C四点共圆，
以AB为直径，D为圆心作圆，过点A′作A′F⊥AB，设CD与AA′交于点O，如图，
∵，
∴∠A′CO＝∠BAO，
∵∠A′OC＝∠BOA，
∴△A′OC∽△BOA，
∴，
设OC＝x，则OB＝BC﹣OC＝，
∴，
∴OA＝，OA′＝2﹣，
在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2，
∴，
解得：x＝或（舍去），
∴OA′＝2﹣＝，OB＝2＝，
在Rt△OA′B中，A′B＝＝＝3，
设DF＝a，则BF＝BD﹣DF＝，
在Rt△A′DF中，A′F2＝A′D2﹣DF2＝，
在Rt△A′BF中，A′F2＝A′B2﹣BF2＝，
∴，
解得：a＝，
∴A′F＝＝，
即点A′到AB的距离是．
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线、四点共圆、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，根据题意证明A、B、A′、C四点共圆，并灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023.江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=
∵∴∴△ABC∽△PQC
∴， ，即
∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值
∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
4．（2022秋 包头期末）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．连接EF交线段CD于点O，若CO＝2，CD＝3，则EO FO的值为（　　）
A．6 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意可得C、E、D、F四点共圆，由圆周角定理可得∠CDE＝∠CFE，∠DEF＝∠DCF，以此可证明△ODE∽△OFC，再根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠CED＝∠DFC＝90°，
∴C、E、D、F四点共圆，
∴∠CDE＝∠CFE，∠DEF＝∠DCF，
∴△ODE∽△OFC，
∴，即OD OC＝OE OF，
∵CO＝2，CD＝，
∴OD＝CD﹣OC＝，
∴OE OF＝OD OC＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握四点共圆的条件是解题关键．
5．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质．连接，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，当，，三点共线时，线段的长度最小，求出此时的长度即可．解题的关键是确定点的运动轨迹．
【详解】解：连接，点和关于对称，，
在以圆心，为半径的圆上，当，，三点共线时，最短，
，，，故答案为：．
6．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形中，，N是矩形内一点，，点M是边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据矩形的性质得到，求得，得到点N在以为直径的半圆上运动，设半圆的圆心为O，作点B关于直线的对称点，连接交于M，交半圆于N，则此时的值最小，最小值，过O作于H，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴点N在以为直径的半圆上运动，设半圆的圆心为O，
作点B关于直线的对称点，连接交于M，交半圆于N，则此时的值最小，最小值，
过O作于H，则，，
∴，∴的最小值，故答案为：9．

【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
7．（2023陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．
【答案】
【详解】如解图，，故四边形PDCE对角互补，故P、D、C、E四点共圆，，故，要使得DE最小，则要使圆的半径R最小，故直径PC最小，当时，PC最短为，故，故．

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