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《角平分线相关问题的应对策略》自主学习单
桂园中学 余阳
角平分线是三角形中最重要的线段之一，它的概念简单易懂，应用十分广泛。作为中考热点，角平分线相关性质的应用往往不是直接考查，而是需要同学们在日常学习中积累一定经验，结合特定形式的条件找到切入点。
现阶段角平分线的命题方向主要集中在角平分线与平行线相结合、角平分线中线段比例以及内心的性质这三方面。本专题的重点在于明确条件与方法的关联性，帮助学生快速找到问题的突破口解决角平分线的相关问题。
模块一：角平分线邂逅平行线
例1. （2020 靖江市校级模拟）如图，在中，，且，，是的平分线，与相交于点，点是上一点，为线段的中点，于点，交于点，则的长为　 　．
例2. （2023 铜梁区校级一模）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于　 　．
例3. （2021 深圳）如图，在中，，分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为　 　．
模块一：巩固提升
1．（2021 宁波模拟）如图，点，分别在的边，上，且，过点作，分别交，的平分线于点，．若，平分线段，则　 　．
2．（2021春 芝罘区期末）如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则和面积的比值是　 　．
3．（2022春 周村区期末）如图，在中，，，是的平分线，是的中点，交于，交的延长线于．则　 　．
4．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则的长为　 　．
角平分线相关问题的应对策略
模块二：角平分线性质定理推论——角平分线的比例问题
例1．如图，在中，平分，若，，则 ； .
小结：
例2．（2019 深圳）如图，已知菱形，、是动点，边长为4，，，则下列结论正确的有几个　　
①；②为等边三角形；③；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为 .
模块二：巩固提升
1．如图，中，平分，，，的面积为，则的面积为　　
A． B．3 C．6 D．12
2．（2021秋 内江期末）如图，菱形的边长为4，、分别是、上的点，连接、、，与相交于点，若，，则的长为　　
A． B． C．1 D．
3．如图，是的平分线，于点，的周长为29，，，，则的长是 .
角平分线相关问题的应对策略
模块三：多角平分线问题——三角形内心的应用
例1．如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是　　
A． B． C． D．无法确定
例2．如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，，则点到边的距离为　　
A． B． C． D．
例3．（2018 深圳）在中，，平分，平分，、相交于点，且，，则　　．
模块三：巩固提升
1．如图，的三边、、的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将分成3个三角形，则　　
A． B． C． D．
2．如图，点在内，且到三边的距离相等，连接、，若，则的是　　
A． B． C． D．
3．（2021 罗湖区校级模拟）如图，已知在中，，是的角平分线，是上一点，且，连接，作于，连接．则下面的结论：
①；
②；
③；
④若，，则．其中正确结论的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第1页（共1页）模块一：角平分线邂逅平行线参考答案
例1．（2020 靖江市校级模拟）如图，在中，，且，，是的平分线，与相交于点，点是上一点，为线段的中点，于点，交于点，则的长为 　　．
【解答】解：在中，，
，，
，
是的平分线，
，
，，
，
，
，
，
为线段的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
例2. （2023 铜梁区校级一模）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于 　8　．
【解答】解：四边形是矩形，．
，，，，
，
由折叠可知，，，
，
，
设，则，．
则由勾股定理可得：，
即：，解得：．
则．
故答案为：8．
例3．（2021 深圳）如图，在中，，分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 　　．
【解答】解：方法一、如图，延长交于，延长，交于点，
将沿折叠，得到，
，，，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
方法二、延长和相交于点，
折叠，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
模块一：巩固提升
1．（2021 宁波模拟）如图，点，分别在的边，上，且，过点作，分别交，的平分线于点，．若，平分线段，则　　．
【解答】解：平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
，
，，
设与交于，
，
，
，
，
，
故答案为．
2．（2021春 芝罘区期末）如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则和面积的比值是 　　．
【解答】解：，
设，则，
在平行四边形中，
，，，
，
的角平分线交于，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
．
故答案为：．
3．（2022春 周村区期末）如图，在中，，，是的平分线，是的中点，交于，交的延长线于．则　5　．
【解答】解：过点作交于点，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
是的中点，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：5．
4．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则的长为 　　．
【解答】解：四边形为矩形，
，，
由折叠可知，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
则，
四边形为矩形，
，，
，
在中，．
故答案为：．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023
模块二：角平分线性质定理推论——角平分线的比例问题参考答案
例1．如图，在中，平分，若，，则 ； .
【解答】解：平分，
点到和的距离相等，
，
同高
小结：AD是的角平分线，则
例2．（2019 深圳）如图，已知菱形，、是动点，边长为4，，，则下列结论正确的有几个　　
①；②为等边三角形；③；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①四边形是菱形，
，，
，
，
，
，是等边三角形，
，
，，
，正确；
②，
，，
，
，
是等边三角形，
故②正确；
③；
，
，
故③正确；
④平分，
．
故④正确，
故①②③④都正确．
故选：．
例3．如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为 .
【解答】解：过点作于，如图所示，
为的平分线，且于，于，
在中，，
，
在中，，
为等腰直角三角形，
，
设
解得：
模块二：巩固提升
1．如图，中，平分，，，的面积为，则的面积为　　
A． B．3 C．6 D．12
【解答】解：如图，过点作于，于，
平分，
，
，的面积为，
，解得，
，
，
的面积．故选：．
2．（2021秋 内江期末）如图，菱形的边长为4，、分别是、上的点，连接、、，与相交于点，若，，则的长为　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：过点作交于，于，如图所示：
菱形的边长为4，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，
故选：．
3．如图，是的平分线，于点，的周长为29，，，，则的长是 .
【解答】解：过作于点，如图，
平分，，，
，
，周长
，
即，
解得．
又的周长为29
模块三：多角平分线问题——三角形内心的应用参考答案
例1．如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是　　
A． B． C． D．无法确定
【解答】解：过点作于，于，于，如图，
是的三条角平分线的交点，
，
，，
而，
．
故选：．
例2．如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，，则点到边的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：过点作于，于，于，连接，如图，
点是、平分线的交点，
，，
，
，
，
即，
解得，
即点到边的距离为．
故选：．
例3．（2018 深圳）在中，，平分，平分，、相交于点，且，，则　　．
【解答】解：如图，过点作于，连接，
，是分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，根据勾股定理得，，
平分，平分，
是的平分线，
，
，
，
，
，
故答案为．
模块三：巩固提升
1．如图，的三边、、的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将分成3个三角形，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：过点作于，于，于，
平分，，，
，
同理，，
，
故选：．
2．如图，点在内，且到三边的距离相等，连接、，若，则的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：点在内，且到三边的距离相等，
平分，平分，
，，
，
，
．
故选：．
3．（2021 罗湖区校级模拟）如图，已知在中，，是的角平分线，是上一点，且，连接，作于，连接．则下面的结论：
①；
②；
③；
④若，，则．其中正确结论的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
延长交于，连接．
，，，
，
，，
，
，
，
，，，四点共圆，（补充方法：不用四点共圆，可以作于，于，利用全等三角形的性质证明，推出平分即可）
，
，
解法二：连接，证明和全等，为内心．故③正确，
作于，
平分，，，
，
，
，故④正确，
如果①成立，则，
，
，但是题目没有说明三角形为等腰直角三角形，所以①不成立．，故①错误，
故选：．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/30 9:54:56；用户：余阳；邮箱：tysyxx053@；学号：30613521
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