资源简介

《等腰三角形相关题型》自主学习单
班级 姓名
知识梳理：
等腰三角形是一种常见的几何图形，等腰三角形的相关内容是中考的常见考点，题型变化多样，经常跟正方形、一次函数、勾股定理、旋转等知识点连在一起考，涉及分类讨论思想和动点问题、最值问题等。特此做一个专题来帮大家一起回顾梳理一下。
1.等腰三角形的定义
2.等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等，简称等角对等边；
功能：用来判定两个角相等。
（2）等腰三角形三线合一：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。
功能：知其一证其二
相关结论：
等腰三角形两底角的平分线相等；
等腰三角形两腰上的高相等； +60° 2x
等腰三角形两腰上的中线相等。
模块二：等腰三角形的判定和等边三角形 x
3.有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边。
功能：用来判定两条线段是否相等。
4.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，均为60°
5.等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
功能：用来判定是否等边三角形。
6.直角三角形中，如果一个角等于30°，那么他所对的直角边等于斜边的一半。
二、学习过程
模块一：《等腰三角形的性质》
模块一：典例精讲
例1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°
例2．如图，在中，的高BD、CE交于点，若，则AC的长为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
模块一：跟综练习
1．（2023·开原模拟）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．16 B．20或16 C．20 D．12
2．若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
3．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为　 　．
4．（选做）如图，直线和直线都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点分别为A、C，且．点E在x轴上，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标
模块二：等腰三角形的判定、等边三角形
模块二：典例精讲
例1．（2021八下·枣庄期中）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则等于（　　）．
A．120° B．135° C．150° D．160°
例2．（2017八下·凉山期末）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
模块二：跟踪练习
1．如图，在7×7的正方形网格中，A，B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有　 　个．
2．（2017·深圳模拟）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
其中正确结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（选做）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
模块三《综合应用》
模块三：典例精讲
例1：如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P从点A出发，以每秒 1个单位的速度沿A →B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．
（1）当t=　 　时，两点停止运动；
（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？
例2．（2023八下·温江期末）如图，边长为的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是　 　．
模块三：跟踪练习
1．（2022八下·龙岗期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　）
A．2 B． C． D．4
2．（选做）如图，等边的边长为，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度运动，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度运动．
（1）若动点、同时出发，经过几秒第一次相遇？
（2）若动点、同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在的边上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间及点的具体位置；若不存在，请说明理由．
1 / 1《等腰三角形相关题型》答案
模块一答案解析部分
模块一典例精讲答案
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= （90°﹣50°）=20°，
②如图2，
当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= [180°﹣（90°﹣50°）]=70°．
故答案为：C．
【分析】分2种情况：（1）当该等腰三角形为钝角三角形时，底角=（90°﹣50°）；
（2）当该等腰三角形为锐角三角形时，底角=[180°﹣（90°﹣50°）]。
例2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，BD，CE分别是三角形的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=AE
∴AB-AE=AC-AD
∴BE=CD
在△PBE与△PCD中，
∴△PBE≌△PCD（AAS）
∴PE=PD=6，PB=PC=10
∴DC=
设AD=x，则AC=AD+DC=x+8，AE=AD=x
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+EC2
∴（x+8）2=x2+162
∴x=12
∴AC=12+8=20
故答案为：B.
【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出AD=AE；再证明△PBE≌△PCD，得出PE=PD=6，PB=PC=10，再利用勾股定理求出DC=8.设AD=x，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出AC的长.
模块一跟进练习答案
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论。
①当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20；
②当4为腰时，其它两边为4和8，∵4+4=8，∴不能构成三角形，故舍去。
∴答案只有20.
故选C.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若顶角的外角等于100°，那么顶角等于80°，两个底角都等于50°；②若底角的外角等于100°，那么底角等于80°，顶角等于20°．
故答案为：D．
【分析】分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和等于180°进行计算求解即可。
3．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∴
∵DE平分∠AEC ，
∴
∴
∴
在中，
∴
故答案为：1.
【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质得到：进而得到：在中利用勾股定理求出BE，进而可求出CE的长.
4．【答案】
∵直线交轴于点，
∴点坐标为，
又∵点坐标为，
∴，如图：
当时，点的坐标为，点的坐标为；
当时，点与点是关于轴对称，点的坐标为，
当时，设点坐标为，
则，解得：
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为、、、．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）令y=x+8=0，求出x的值，得到点B的坐标，然后求出OB的值，根据OB=2OC可得OC的值，然后表示出点C的坐标，接下来将B、C的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线CB的解析式；
（2）易得A（0，8），由勾股定理可得AB的值，然后分BE=AB=10、AB=AE、EA=EB，结合勾股定理进行计算就可求出点E的坐标.
模块二答案解析部分
模块二典例精讲答案
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接PM，如图，
由旋转性质可知，△APC≌△AMB，
∴AP=AM，MB=PC=10，
∵∠MAP=60°，
∴△APM是等边三角形，
∴PM=AP=6，
∵PB=8，
∴MB2=PB2+MP2，
∴△PMB是直角三角形，
∴∠MPB=90°，
∵∠MPA=60°，
∴∠APB=150°．
【分析】连接PM，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，得出AP=AM，MB=PC=10，再证出△APM是等边三角形，推出△PMB是直角三角形，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AC= ，
∴AB= ，
∴BE= ﹣x= ，
∴BE+DF= x﹣x≠ x，（故④错误），
∵S△CEF= x2，
S△ABE= x2，
∴2S△ABE= x2=S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
模块二跟进练习答案
1．【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB==5，如图所示：
符合条件的点C一共有6个；
故答案为：6．
【分析】先求出AB==5，再结合图形求解即可。
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC=60°，DC=AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD，
∴BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣∠OBE）=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE，∴④正确；
故选C．
【分析】根据矩形性质求出OD=OC，根据角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等边三角形，求出AC=2AB，即可判断②，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE．
3．【答案】（1）150°
（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝ ，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC=30°，
∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝ ，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
∵P′C=PB=4，PC=5，
∴PC2=P′C2+P′P2，
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°.
故答案为：150°
【分析】（1）由△ACP′≌△ABP可得旋转角∠PAP′＝60°，可得△APP′为等边三角形，根据勾股定理逆定理可证明△PP′C为直角三角形，根据∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C即可得答案；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，根据角的和差关系可得∠EAF＝∠E′AF，利用SAS可证明△EAF≌△E′AF，可得E′F＝EF，根据等腰直角三角形的性质可得∠E′CF＝90°，根据勾股定理即可得结论；（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出AB、BC的长，根据旋转的性质可得∠A′BC=90°，△BOO′是等边三角形，由∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，利用平角的定义可证明C、O、A′、O′四点共线，利用勾股定理求出A′C的长即可得答案.
模块三答案解析部分
模块三典例精讲答案
例1．【答案】（1）7
（2）分情况讨论：
当0当4当6综上所述，当t为2或时，△BPQ是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：(1)四边形是矩形，，，
，，
，，
当时，两点停止运动.
故答案为：7.
【分析】(1)先利用矩形的性质求得BC、CD的边长，再通过路程公式计算出两点的运动时间即可.
(2)利用等腰三角形的性质进行分类讨论，当0例2．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，取AC的中点G，
∴CG=CD，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴CE=CF，∠ECF=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCE=∠ACF，
在△CDE和△CGF中，
，
∴△CDE≌△CGF（SAS），
∴∠FGC=∠EDC=90°，
∴点F在直线BG上运动，
过点D作DH⊥BG，此时DF的最小值即为DH，
∵BD=BC=1，
∴DH=，
故答案为：.
模块三跟进练习答案
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点
∴，，，
∴，，
∵
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴点F在与AN成的直线上运动，
∴当时，有最小值为：，
即：，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
2．【答案】（1）解：由题意得：，解得：；
（2）解：当时，点、、的位置如图所示：
四边形为平行四边形，
，．
,
为等边三角形，
,
B=3t
-2t，，
此时点在上，且或，
当时，此时、、三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
时，点、、的位置如图所：
四边形为平行四边形，
，AN=2t-8
同，解得：，
此时点在上，且或，
当时，点、、的位置如图所：
则，，
由题意可知：为等边三角形，
，即：，解得，此时、重合，不能构成平行四边形．
答：运动了或时，、、、四点能够成平行四边形，此时点在上，且或．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）设动点、同时出发，经过t秒第一次相遇，根据动点M与动点N走的路程和=AB+AC，建立方程并解之即可；
（2）分四种情况：当时，四边形AMDN为平行四边形，当时，此时、、三点在同一直线上，不能构成平行四边形；时，四边形为平行四边形，当时，四边形ANMD为平行四边形，据此分别画出图形并解答即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑