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罗湖区中考备考“百师助学”课程第八讲
《用平行线解函数中的三角形面积问题》
自主学习
知识铺垫1：任何两条夹在平行线间的垂线段长度相等；
（1）如图1，若直线a∥b，则有MN＝PQ
（2）如图2，直线a∥b，则S△ABC= S△BCD
我们先来了解什么是平滑定理：两个三角形共用同一底，且顶点都在与底平行的同一条直线上，那么由三角形的面积公式可知，这两个三角形的面积必然相等。所以平滑定理需要两个条件：（1）共底或者底在同一直线上但相等；（2）三角形的顶点都在与底平行的同一条直线上。
知识铺垫2：一次函数y=k1x+b1图像与一次函数y=k2x+b2图像平行则可以推出k1=k2反之若k1=k2则可推出一次函数y=k1x+b1图像与一次函数y=k2x+b2图像平行，其中b1≠b2.
问题探究
模块一（利用平行转换面积）
典例精讲： 如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积等于5时，求此时点N的坐标；
学生练习：已知：如图，抛物线y＝x2+4x+3交x轴于E、F两点，交y轴于A点，若Q为抛物线上一点，连接QE，QA，设点Q的横坐标为t（t＜﹣3），△QAE的面积为S，求S与t函数关系式；
模块二（同底三角形面积比问题）
典例精讲：1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝-x2+2x+3与交x轴于点A，与y轴交于点C．点M的坐标为（4，-5），在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
典例精讲：2. 如图，抛物线y＝﹣x2+3x+8与x轴交于点A、B点，与y轴交于点C点，P是抛物线上第一象限上的动点，连接PB，PC，当时，求点P的坐标．
模块三（利用直线与曲线相切解决面积最值问题）
例题精讲：如图，在平面直角坐标系内抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．在点P的运动过程中，是否存在点P使得△AEP的面积最大，若存在，请求出点P的坐标．
学生练习：如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A、B两点．点P在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB的面积最小，求满足条件的P点坐标及△PAB面积的最小值．
三、课后作业
1、如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，连接PB．抛物线上是否存在一点Q，使△QPB与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2.已知二次函数与x轴交于A、B两点，A在B点的左边，与y轴交于C点，点P在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边．S△PAC＝4，求P点坐标．
3．如图，抛物线的顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3）. 抛物线上第一象限内是否存在一动点P，使S△PAB＝S△CAB ，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
4.如图，抛物线y＝x2﹣4x与x轴相交于另一点A．在第一象限内与直线y＝x交于点B，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设△BFG和△BEG的面积分别为S1和S2，求的最大值．
b1
b2
y=kx+b1
y=kx
y=kx+b2
第1页（共4页）罗湖区中考备考“百师助学”课程第八讲
《用平行线解函数中的三角形面积问题》答案
模块一（利用平行转换面积）
典例精讲： 如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积等于5时，求此时点N的坐标；
解法1：A（0，4），B（-2，0）, C（8，0）
设NC=m，连接MC，
∵
∴
∴
∴
∵NM∥AC
∴S△AMN＝S△CMN= =
∴当△AMN面积是5时，m＝5，此时N点坐标为（3，0）
学生练习：已知：如图，抛物线y＝x2+4x+3交x轴于E、F两点，交y轴于A点，若Q为抛物线上一点，连接QE，QA，设点Q的横坐标为t（t＜﹣3），△QAE的面积为S，求S与t函数关系式；
【解答】解: 易得A（0，3），E（-3，0），AE: y＝x+3．
作QH//AE， 交y轴于点H，
设Q（t，t2+4t+3），设HQ：y＝x+b
把Q点坐标代入 y＝x+b
可得HQ:
∴H（0 ，）， AH=，
模块二（同底三角形面积比问题）
典例精讲：1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝-x2+2x+3与交x轴于点A，与y轴交于点C．点M的坐标为（4，-5），在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（3，0），
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）
设直线CM的解析式为y＝mx+n，
把C（0，3），M（4，﹣5）代入得m＝﹣2，n＝3，
∴直线MC的解析式为y＝﹣2x+3，
∵△PMC的面积与△AMC的面积相等，
∴AP∥MC，
设AP的解析式为y＝﹣2x+p，
把A（3，0）代入得p＝6，
∴AP的解析式为y＝﹣2x+6，
解方程组得或，此时P点坐标为（1，4）；
直线AP的解析式为y＝﹣2x+6与y轴的交点坐标为（0，6），
∵6﹣3＝3，
把直线CM向下平移3个单位得到y＝﹣2x，
解方程得或，
此时P点坐标为（2+，﹣4﹣2），（2﹣，﹣4+2），
综上所述，P点坐标为（1，4）或（2+，﹣4﹣2）或（2﹣，﹣4+2），
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典例精讲：2. 如图，抛物线y＝﹣x2+3x+8与x轴交于点A、B点，与y轴交于点C点，P是抛物线上第一象限上的动点，连接PB，PC，当时，求点P的坐标．
解：易得A（-2，0），B（8，0）， C（0，8）
作AD//BC，交y轴于D，
易求BC：y＝﹣x+8
AD：y＝﹣x-2，
∴CD=10，
在C点上方截取CE=6，过E作EP//BC,
交抛物线于点P，则P为所求的点
PQ：y＝﹣x+14，
联立方程组，
可得点P的坐标为（2，12）或P（6，8）
模块三（利用直线与曲线相切解决面积最值问题）
例题精讲：如图，在平面直角坐标系内抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．在点P的运动过程中，是否存在点P使得△AEP的面积最大，若存在，请求出点P的坐标．
解：存在点P使得△AEP的面积最大，理由如下：
在直线AE的下方作MN//AE，当MN与抛物线有唯一交点P时，
此时△AEP的面积最大，P为所求的点
设MN：
联立方程组
可得
解得
联立方程组可得P（2，﹣4）．此时S△APE＝32，
学生练习：如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A、B两点．点P在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB的面积最小，求满足条件的P点坐标及△PAB面积的最小值．
【解答】解：
联立方程组可得：，
∴点B（3，1）；
如图，将直线AB平移，当与双曲线第三象限的图象只有一个交点P时，此时△PAB的面积有最小值，
设平移的直线解析式为y＝﹣x+b，
由题意可得：﹣x+b＝，
∴x2﹣bx+3＝0，
∵两图象只有一个交点，
∴Δ＝b2﹣4×3＝0，
∴b＝±2，
∵直线y＝﹣x+b与y轴交在负半轴，
∴b＝﹣2，
∴平移后的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴﹣x﹣2＝，
∴x＝﹣，
∴y＝﹣，
∴点P（﹣，﹣ ），
过点P作PH⊥AB于H，设直线y＝﹣x+4与x轴交于点D，与y轴交于点C，设直线y＝﹣x﹣2 与x轴交于点E，与y轴交于点F，
∴点C（0，4），点D（4，0），点E（﹣2，0），点F（0，﹣2 ），
∴CO＝DO＝4，EO＝FO＝2，
∴CD＝4，EF＝2，△COD和△EOF是等腰直角三角形，
∴点O到EF的距离为，点O到CD的距离为2，
∴PH＝+2，
∵点A坐标为（1，3），点B（3，1），
∴AB＝＝2，
∴△PAB面积的最小值＝×2×（+2 ）＝2+4．
三、课后作业
1、如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，连接PB．抛物线上是否存在一点Q，使△QPB与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则顶点P（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴H（1，0），
∴PH＝4，BH＝2，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴点E（1，2），
如图，过点E作EQ∥BC，交抛物线于Q，此时△QPB与△PEB的面积相等，
由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y＝﹣2（x﹣3），
则直线QE的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）+2②，
联立①②并整理得：x2﹣4x+1＝0，
解得：x＝2，
则点Q的坐标为（2﹣，2）或（2+，﹣2）；
对于直线QE，设QE交x轴于点R，
令y＝﹣2（x﹣1）+2＝0，
解得：x＝2，即点R（2，0），
则BR＝3﹣2＝1，
取点R′使BR＝BR′，过点R′作PB的平行线l，如上图，则点R′（4，0），
则直线l的表达式为：y＝﹣2（x﹣4），
联立y＝﹣x2+2x+3和y＝﹣2（x﹣4）得：x2﹣4x+5＝0，
则Δ＝16﹣20＜0，无解，
故在点B的右侧不存在点Q，
综上，点Q的坐标为（2﹣，2）或（2+，﹣2）
2.已知二次函数与x轴交于A、B两点，A在B点的左边，与y轴交于C点，点P在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边．S△PAC＝4，求P点坐标．
如图：解当y＝0时，＝0，
解得x1＝1，x2＝3，即A（1，0），B（3，0）．
当x＝0时，y＝2，即C（0，2）
过点P作PE∥AC，则S△PAC=S△EAC=4
设点E为（a，0）得
解得a=5，所以E（5，0）
设直线yac=kx+b，分别代入A（1，0）、C（0，2）得
解得k=-2，b=2.
所以yac=-2x+2
因为PE∥AC，所以可设ype=-2x+b代入E（5，0）得
0=-2x5+b，解得b=10
所以ype=-2x+10，联立方程组得
y=-2x+10
解得： x1=4 x2=-3
y1=2 y2=16
答：P点坐标是（4，2）．
3．如图，抛物线的顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3）. 抛物线上第一象限内是否存在一动点P，使S△PAB＝S△CAB ，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：易得AB：y＝﹣x+3
作CD//AB，交y轴于D，可得 CD：y＝﹣x+5
∴BD=2，在B点上方截取BG=，
过G作GH//AB，交抛物线于点，，
则，,即为所求的点
GH：y＝﹣x+，
联立方程组，
可得点P的坐标为P（，）
4.如图，抛物线y＝x2﹣4x与x轴相交于另一点A．在第一象限内与直线y＝x交于点B，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设△BFG和△BEG的面积分别为S1和S2，求的最大值．
解：如图2，过点F作FW∥x轴交直线OB于点W，
设F（t，t2﹣4t），则W的纵坐标为t2﹣4t，
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴W（t2﹣4t，t2﹣4t），
∴WF＝t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+5t，
∵易得B（5，5），点E是点B关于抛物线对称轴直线x＝2的对称点，
∴BE∥x轴，BE＝6，
∴BE∥WF，
∴△WFG∽△BEG，
∴＝＝，
∵＝＝＝＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，的最大值为．
P

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