人教版七年级上册数学能力提升专题:整式(原卷+解析版)

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人教版七年级上册数学能力提升专题:整式(原卷+解析版)

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1.单项式及相关概念
(1)单项式的概念:由数字或字母的积组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.
(2)单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
(3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
2.多项式及相关概念
(1)多项式的概念:几个单项式的和叫做多项式.
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,一个多项式有几项,就叫它几项式.
(2)常数项:不含字母的项叫做常数项.
(3)多项式的次数:多项式里,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
3.整式的概念:
整式单项式与多项式统称整式.
4.单项式与多项式的区别:
(1)运算方面:单项式不含加减运算符号;多项式必含加减运算符号.
(2)次数方面:单项式的次数是单项式中所有字母的指数的和;多项式的次数是多项式里次数最高项的次数.
1.单项式中不含加减运算,只含乘法和数字作分母的除法运算,分母中有字母的不是单项式. 2.单项式是一种特殊的式子,它包含三种类型,即数与字母的积、字母与字母的积、单独的一个数或字母. 3.当单项式的系数是1或-1时,“1”可以省略不写,如单项式xy,-m的系数分别是1,-1. 4.对于一个非零的数,规定它的次数为0. 5.字母的指数是1时,指数省略不写,如y的指数是1而不是0. 6.多项式的每一项都包括它前面的符号.确定多项式的项时,注意不要漏掉前面的符号.要将多项式看成各项“代数和”的形式,即看成“带有正号或负号的项的和”. 7.多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数.判断项数时,注意不要漏掉常数项. 8.多项式的次数不是所有的项的次数和,而是次数最高项的次数. 9.整式是有理式的一部分,判断一个有理式是否为整式时要注意: (1)单项式和多项式都是整式. (2)整式中不含等号或不等号,如2x+1=7,3x<6都不是整式. (3)分母中含有字母的式子一定不是整式,如,都不是整式.
整式是有理式的一部分,有理式中,除了整式,还有分式.除了有理式,还有无理式.
题型1 单项式、多项式的概念
【典例1】 (2023秋 阿荣旗期末)式子,,,,中,单项式有  
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】
【分析】本题有5个代数式,根据单项式的定义,数字与字母、字母与字母的积为单项式,不符合形式的都不是.
【解答】解:(1)是字母与数字的和,故不是单项式.
(2)是与的积,故是单项式.
(3)是数字与字母的积,故是单项式.
(4)是与的和,故不是单项式.
(5)是与的商,不是积,故不是单项式.
故答案为:.
【典例2】 (2023秋 舟山期末)下列各式不是单项式的是  
A.3 B. C. D.
【答案】
【分析】根据单项式的定义:数或字母的积组成的式子叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式,找出单项式即可.
【解答】解:因为式子的分母含有字母,
所以式子不是单项式.
故选:.
【典例3】 (2023秋 昆都仑区期末)下列式子:,,,4,,,其中是多项式的有  
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】
【分析】根据几个单项式的和叫做多项式,结合各式进行判断即可.
【解答】解:多项式有:,,
故选:.
题型2 单项式的系数、次数
【典例4】 (2023秋 宁津县期末)下列关于单项式的说法中,正确的是  
A.系数为2,次数为2 B.系数为2,次数为3
C.系数为,次数为2 D.系数为,次数为3
【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数,进而分析即可.
【解答】解:单项式的系数为,次数为3.
故选:.
【典例5】 (2023秋 苍溪县期末)单项式的系数和次数分别是  
A.,3 B.,2 C.2,3 D.2,2
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数进行分析即可.
【解答】解:单项式的系数是,次数是3,
故选:.
【典例6】 (2023秋 雁塔区校级月考)单项式的系数为   ,次数为   .
【答案】,5.
【分析】根据单项式系数及次数的定义解答即可.
【解答】解:单项式的系数为,次数为,
故答案为:,5.
题型3 写出符合条件的单项式
【典例7】 (2023秋 中原区期末)请写出一个含有字母和,且系数为,次数为4的单项式:  .
【答案】(答案不唯一).
【分析】根据单项式的系数和次数的意义解答即可.
【解答】解:一个含有字母和,且系数为,次数为4的单项式:,
故答案为:(答案不唯一).
【典例8】 若关于,,的单项式与单项式的次数相同,系数互为倒数,则该单项式是   .
【答案】.
【分析】根据单项式系数和次数的定义以及倒数的定义可以分别求出,的值,即可得出最后结果.
【解答】解:单项式与单项式的次数相同,系数互为倒数,
,,
,,
该单项式是,
故答案为:.
【典例9】 (2024 邗江区校级三模)请写出一个含字母和,系数为3,次数为3的单项式:  .
【答案】(答案不唯一).
【分析】根据单项式的系数和次数的概念解答.
【解答】解:是一个含字母、,系数为3,次数为3的单项式,
故答案为:(答案不唯一).
题型4 多项式的项、项数、次数
【典例10】 (2023秋 山阳县期末)对于多项式,下列说法正确的是  
A.它是三次三项式 B.它的常数项是6
C.它的一次项系数是 D.它的二次项系数是2
【答案】
【分析】利用多项式相关定义进行解答即可.
【解答】解:、它是二次三项式,故原题说法错误;
、它的常数项是,故原题说法错误;
、它的一次项系数是,故原题说法正确;
、它的二次项系数是1,故原题说法错误;
故选:.
【典例11】 (2023秋 东阿县期末)已知关于的多项式与的次数相同,那么的值是  
A.80 B. C.或 D.或
【答案】
【分析】根据两个多项式的次数相同,求出的值,代入求解即可.
【解答】解:当时,,次数为2;
当时,次数为3;
多项式的次数为,
多项式与的次数相同,
当时,,,
当时,,,
的值是或.
故选:.
【典例12】 (2023秋 高阳县期末)下列说法中,不正确的是  
A.是多项式
B.的项是,,1
C.多项式的次数是4
D.的一次项系数是
【答案】
【分析】根据多项式的概念即可求出答案.
【解答】解:、是多项式,故不符合题意.
、的项是,,1,故不符合题意.
、多项式的次数是5,故符合题意.
、的一次项系数是,故不符合题意.
故选:.
题型5 写出符合条件的多项式
【典例13】 (2023秋 文峰区校级期中)写出一个含有两项、常数项为负数,次数为2的多项式:  .
【答案】(答案不唯一).
【分析】根据多项式的项数和次数的定义即可得出答案.
【解答】解:含有两项、常数项为负数,次数为2的多项式可以为:.
故答案为:(答案不唯一).
【典例14】 (2023秋 惠民县期末)写出一个含有,的五次三项式   ,其中最高次项的系数为,常数项为6.
【答案】(答案不唯一).
【分析】此题是一道开放型的题目,答案不唯一,根据多项式的次数、系数和项的定义写出一个多项式即可.
【解答】解:多项式为.
故答案为:(答案不唯一).
【典例15】 (2023秋 漳州期末)写出只含有字母且次数为2的多项式__(写出一个即可).
【分析】根据题意写出一个只含有字母且次数为2的多项式即可(答案不唯一,例如,;等等)
【解答】解:(答案不唯一,只要符合要求即可).
故答案为:(答案不唯一).
题型6 多项式不含某一项
【典例16】 (2023秋 麻阳县期末)若多项式为常数)中不含有的一次项,则  .
【分析】不含这一项,利用的系数为0求解.
【解答】解:多项式中不含有的一次项,
,即.
故答案为2.
【典例17】 (2024春 睢宁县期中)若的乘积中不含项,则的值为   .
【答案】.
【分析】当多项式进行乘法运算后,找到项使其系数为零即可得出的值.
【解答】解:;
的乘积中不含项,
,,
故答案为:.
【典例18】 (2024春 市中区校级月考)要使中不含有的四次项,则  .
【答案】2.
【分析】先算乘法,再合并,然后根据原多项式中不含有的四次项,可得,即可求解.
【解答】解:

中不含有的四次项,


故答案为:2.
题型7 规律探究
【典例19】 (2023秋 香洲区校级期中)按照一定规律排列的式子:0,,,,,则第8个式子是  
A. B. C. D.
【答案】
【分析】根据单项式的系数和次数的变化规律解答即可.
【解答】解:;



第8个式子是:.
故选:.
【典例20】 (2023秋 凉州区校级期末)按规律填出第个式子:,,,  .
【分析】根据题中所给出的单项式找出规律,根据此规律即可得出结论.
【解答】解:第1个单项式为,
第2个单项式为,
第个单项式为:.
故答案为:.
【典例21】 (2023秋 仪征市校级期中)有一组按规律排列的式子:,,,,,,则其中第8个式子是   .
【答案】.
【分析】通过观察可以发现规律第个式子的系数的值为第个式子和第个式子系数绝对值的和,第个式子的指数为,其中奇数项符号为负,偶数项符号为正,据此求解即可.
【解答】解:第1个式子为,
第2个式子为,
第3个式子为,
第4个式子为,
第5个式子为,

以此类推,可以发现第个式子的系数的值为第个式子和第个式子系数绝对值的和,第个式子的指数为,其中奇数项符号为负,偶数项符号为正,
第8个式子是,
故答案为:.中小学教育资源及组卷应用平台
1.单项式及相关概念
(1)单项式的概念:由数字或字母的积组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.
(2)单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
(3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
2.多项式及相关概念
(1)多项式的概念:几个单项式的和叫做多项式.
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,一个多项式有几项,就叫它几项式.
(2)常数项:不含字母的项叫做常数项.
(3)多项式的次数:多项式里,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
3.整式的概念:
整式单项式与多项式统称整式.
4.单项式与多项式的区别:
(1)运算方面:单项式不含加减运算符号;多项式必含加减运算符号.
(2)次数方面:单项式的次数是单项式中所有字母的指数的和;多项式的次数是多项式里次数最高项的次数.
1.单项式中不含加减运算,只含乘法和数字作分母的除法运算,分母中有字母的不是单项式. 2.单项式是一种特殊的式子,它包含三种类型,即数与字母的积、字母与字母的积、单独的一个数或字母. 3.当单项式的系数是1或-1时,“1”可以省略不写,如单项式xy,-m的系数分别是1,-1. 4.对于一个非零的数,规定它的次数为0. 5.字母的指数是1时,指数省略不写,如y的指数是1而不是0. 6.多项式的每一项都包括它前面的符号.确定多项式的项时,注意不要漏掉前面的符号.要将多项式看成各项“代数和”的形式,即看成“带有正号或负号的项的和”. 7.多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数.判断项数时,注意不要漏掉常数项. 8.多项式的次数不是所有的项的次数和,而是次数最高项的次数. 9.整式是有理式的一部分,判断一个有理式是否为整式时要注意: (1)单项式和多项式都是整式. (2)整式中不含等号或不等号,如2x+1=7,3x<6都不是整式. (3)分母中含有字母的式子一定不是整式,如,都不是整式.
整式是有理式的一部分,有理式中,除了整式,还有分式.除了有理式,还有无理式.
题型1 单项式、多项式的概念
【典例1】 (2023秋 阿荣旗期末)式子,,,,中,单项式有  
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【典例2】 (2023秋 舟山期末)下列各式不是单项式的是  
A.3 B. C. D.
【典例3】 (2023秋 昆都仑区期末)下列式子:,,,4,,,其中是多项式的有  
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
题型2 单项式的系数、次数
【典例4】 (2023秋 宁津县期末)下列关于单项式的说法中,正确的是  
A.系数为2,次数为2 B.系数为2,次数为3
C.系数为,次数为2 D.系数为,次数为3
【典例5】 (2023秋 苍溪县期末)单项式的系数和次数分别是  
A.,3 B.,2 C.2,3 D.2,2
【典例6】 (2023秋 雁塔区校级月考)单项式的系数为   ,次数为   .
题型3 写出符合条件的单项式
【典例7】 (2023秋 中原区期末)请写出一个含有字母和,且系数为,次数为4的单项式:  .
【典例8】 若关于,,的单项式与单项式的次数相同,系数互为倒数,则该单项式是   .
【典例9】 (2024 邗江区校级三模)请写出一个含字母和,系数为3,次数为3的单项式:  .
题型4 多项式的项、项数、次数
【典例10】 (2023秋 山阳县期末)对于多项式,下列说法正确的是  
A.它是三次三项式 B.它的常数项是6
C.它的一次项系数是 D.它的二次项系数是2
【典例11】 (2023秋 东阿县期末)已知关于的多项式与的次数相同,那么的值是  
A.80 B. C.或 D.或
【典例12】 (2023秋 高阳县期末)下列说法中,不正确的是  
A.是多项式
B.的项是,,1
C.多项式的次数是4
D.的一次项系数是
题型5 写出符合条件的多项式
【典例13】 (2023秋 文峰区校级期中)写出一个含有两项、常数项为负数,次数为2的多项式:  .
【典例14】 (2023秋 惠民县期末)写出一个含有,的五次三项式   ,其中最高次项的系数为,常数项为6.
【典例15】 (2023秋 漳州期末)写出只含有字母且次数为2的多项式___(写出一个即可).
题型6 多项式不含某一项
【典例16】 (2023秋 麻阳县期末)若多项式为常数)中不含有的一次项,则  .
【典例17】 (2024春 睢宁县期中)若的乘积中不含项,则的值为   .
【典例18】 (2024春 市中区校级月考)要使中不含有的四次项,则  .
题型7 规律探究
【典例19】 (2023秋 香洲区校级期中)按照一定规律排列的式子:0,,,,,则第8个式子是  
A. B. C. D.
【典例20】 (2023秋 凉州区校级期末)按规律填出第个式子:,,,  .
【典例21】 (2023秋 仪征市校级期中)有一组按规律排列的式子:,,,,,,则其中第8个式子是   .

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