资源简介

2024-2025 学年第一学期期中学情调查
八年级 数学
参考答案与评分标准
一．选择题（每小题 3分，共 24 分）
BDACA BDB
二、填空题（每小题 3分，共 15分）
9. -5 ；10. 1 ；11. 33 ；12. 5.5 ；13. 10 ；
3
三、解答题（本题共 7小题，共 61 分）
1
14.（1） 解：原式＝ 4 2 2 2 3 2 .....................3 分
2
＝6 2 .....................4分
（2）解：原式＝ 12+ 16 2 12
＝ 2 3+4 4 3 .....................4 分
＝ 4 2 3 .....................5 分
15.解：①×3，得：6x 3y 12 ③ .....................1分
③－②，得：5x 15
∴ x 3 .....................3分
将 x 3代入①，得： 2 ( 3) y 4
∴ y 2 .....................4 分
x 3
∴原方程组的解是 .....................5分
y 2
16.
（1） 如图， A B C 即为所求； .....................2 分
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（2）（-1,1） ； （-4,2） ； （-3,4）； .....................5 分
（3） （2,0）. .....................7 分
17.（8 分）为测量学校旗杆的高度，八年级 1班的学习小组设计了多种方案，请结合
下面表格的信息，完成任务问题：
(1) BC ； .....................1 分
△ABC为等腰直角三角形，AB=CB .....................2 分
(2)选择方案二：
过点 C作 MN∥BF分别交 AB于点 M，交 EF于点 N，
则∠AMC=∠CNE=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠ACE=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠1=∠2 .....................3 分
由题可知，MB=NF=CD=1.6 米，EF=4 米,MC=BD=2.4 米，MN=BF=12.8 米，
∴CN=10.4 米，EN=2.4 米=CM .....................5 分
∵∠AMC=∠CNE=90°，∠1=∠2
∴△AMC≌△CNE（ASA） .....................6 分
∴AM=CN=10.4 米 .....................7 分
∴AB=AM+MB=12 米
故旗杆的高度 AB为 12 米. .....................8 分
选择方案三：
由题可知，AC=AB+1，BC=5,∠ABC=90°
设 AB=x米，则 AC=（x+1）米 .....................3 分
在 Rt△ABC中， AB2 BC 2 AC 2
即 x2 52 (x 1)2 .....................5 分
解得： x 12 .....................7 分
故旗杆的高度 AB为 12 米. .....................8 分
5x 10y 160，
18. （1） .....................2 分
12x 5y 156；
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x 8，
解得： .....................3 分
y 12；
∴ x， y的值分别为 8，12.
（2）设甲种水果售出mkg，则乙种水果售出 (1000 m)kg，该平台利润为w元，则
w (12 8)m (14 12)(1000 m)，
2m 2000 .....................5 分
∵k 2 0，
∴w随m增大而增大 .....................6 分
∵m 200
∴当m 200时，w最大，且最大值为 2400元. .....................7 分
故每天售完 1000kg水果获利无法达到 2500元. .....................8 分
法二：设甲种水果售出mkg，则乙种水果售出 (1000 m)kg，若要获利 2500元，则
(12 8)m (14 12)(1000 m) 2500，
m 250 200
故每天售完 1000kg水果获利无法达到 2500元.
19.（1） S = 25 , = 9 ；.....................2 分正方形ABCD S正方形EFGH
（2） ① a = 7 ,b = 9 ； .....................4 分
②由题， (a b)2 256， ab 48 .....................5 分
∴ (a b)2 (a b)2 4ab 64
∵b a
∴b a 8 .....................6 分
∵ (a b)
2 256， a，b均为正数
∴ a b 16
a b 16
联立，得
b a 8
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a 4
解得： .....................7 分
b 12
③【类比迁移】 (x x 3)2 18 4 9； ......................8 分
x 6； ......................9 分
【拓展应用】n＝ 5 ， .....................10 分
方程的正根为 1或 5 ． .....................12 分
3
20.（1）① ，< ； .....................2 分
2
②由①得：OC=6，
则直线 l1的解析式为 y kx 6
∵OD=8
在 Rt△COD中，CD=10
作 BH⊥CD于点 H，
∵点 B恰好为 CO、CD的关联点
则 BO=BH
S 1 BO CO S 1 1∵ BOC 2 , BDC
CD BH BD CO
2 2
S BOC BO CO BO CO
∴ S BCD BD CO CD BH
BO CO 3

∴ BD CD 5
∴OB=3，B 3 0 .....................4 分（ ， ）
将 B（3，0）代入 y kx 6，得：
k 2
∴直线 l1的解析式为 y 2x 6 .....................5 分
（2）①∵n=8m(m>0)，D为 OB中点
则 D（4m,0）
将 B（8m,0）代入 l1 : y kx 4m中，得：0=8mk+4m
1
∴ k
2
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∴ y 1 x 4m .....................6 分
2
∵点 P为线段 BC上一点，且为 x轴和 y轴的关联点，设 P（a,a）
则 a 1 a 4m
2
a 8m P 8m 8∴ 即 （ ，m）
3 3 3
过点 P作 PM⊥x轴于点 M，过点 E作 EN⊥PM交 MP的延长线于点 N
则△ENP≌△PMD
解得 NE=PM 8= m ,NP=MD
4
= m
3 3
故 E (16m，4m) , yE yC .....................7 分3
连接 CE，则 CE∥OB
∴∠1=∠3，∠2=∠4
由题∠3=∠4
∴∠1=∠2，
∴E为直线 l1 : y kx 4m与直线 l2 : y kx 4m的关联点 .....................8 分
②m 9 9的值为m1 m 2 ， 2 10
简要思路：
20
法一：由题可知 QE=AC，则 yQ m3 ，
AC 6 4m
∴ yQ y
20
E m 4m 6 4m3
解得m 9 9 或
10 2
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法二：由题可知，A点为直线 l1与直线 l2的关联点
可知 AE∥ l1或 AE∥ l2
y 1故 AE x 6 y
1
或 AE x 62 2
将 E(16m 9 9，4m)代入得，m 或
3 10 2
（其他解法不赘述）
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八年级 数学
考试时间：90 分钟
一．选择题（每小题 3分，共 24分）
1. 8 的算术平方根是（ ）
A．4 B． 2 2 C． 2 2 D．2
2. 在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了 A（3,2）和 B（3，-2）两个标志点，
并且知道藏宝地点的坐标为（0,0），如图，藏宝地点可能是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
题 2 图 题 6 图
3. 下列计算正确的是（ ）
A． 18 2 2 8 2 B． 4 9 13 C． ( 3)2 3 D． 4
2
4. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件不能判断△ABC
是直角三角形的是（ ）
A．∠A=35°，∠B=55° B． a :b : c 3: 4 : 5
C． a2 :b2 : c2 3: 4 : 5 D．∠A+∠B=∠C
5. 正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，则一次函数 y＝x+k的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，正方形 ABCD的边长为 2，BC在数轴上，C点为原点，以 BC中点 M为圆
心，线段 MD的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 F，则 F点表示的实数为（ ）
A． 5 B． 5 1 C． 5 1 D．3
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7. 已知一次函数 y1 k1x b1与 y2 k2x b2的自变量 x与因变量 y1, y2的部分对应数值
y k x b
如下表，则关于 x，y的二元一次方程组 1 的解为（ ）
y k2x b
x … -1 0 1 2 …
y1 … -3 1 5 9 …
y2 … -7 -3 1 5 …
x 1 x 0 x 1A． B． C． D．无解
y 3

y 1 y 5
8. 如图，15 只空油桶堆在一起，每只油桶底面的直径均为 45cm，要给他们盖一个遮
雨棚，遮雨棚的最低高度为( )cm.
A．225 B．90 3 45 C． 225 15 3 D．135 3
题 8 图
题 12 图
二、填空题（每小题 3分，共 15 分）
9. 点 P（-1，a）与点 Q（b，4）关于 x轴对称，则 a+b的值为 .
10. 若 y 3 x x 3 4，则 y x .
11. 小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投 6支飞镖，规定在同一圆环内得分相
同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为 分.
小亮 36 分 笑笑 30 分 小红 分
12. 某市去年居民用水按照 4.6 元/吨收取费用，为提倡居民节约用水，自今年 1月
1日起对居民用水实行阶梯水费，规定：若用水超过 a吨，超过 a吨的部分每吨增加
2元．图中 l1，l2分别表示去年、今年水费 y（元）与用水量 x（吨）之间的关系．实
行阶梯水费后，若用水超过 a吨，则超过 a吨的部分每吨水费为 元.
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13. 如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，M为 AC上
一点，且CM 2AM 2 5，N为 BC边上一点，连接 MN，
将△CMN沿 MN翻折，使点 C的对应点 D落在 AB延长
线上，MD交 BC于点 E，若∠ADM=∠C，
则 NC的长为 .
题 13 图
三、解答题（本题共 7小题，共 61 分）
1 36+ 48
14.（9 分）计算：（1） 32 8 18 （2） 2 2 6
2 3
2x y 4 ①
15.（5 分）解方程组：
x 3y 3 ②
16.（7 分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是 A（1，1），
B（4，2），C（3，4）．
（1）画出△ABC关于 y轴对称的△A′B′C′，其中点 A的对应点是点 A′，点 B
的对应点是点 B′；
（2）请直接写出点 A′的坐标为 ，点 B′的坐标为 ，
点 C′的坐标为 ；
（3）P为 x轴上一点，PA+PB最小时，点 P的坐标为 .
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17.（8 分）为测量学校旗杆的高度，八年级 1班的学习小组设计了多种方案，请结合
下面表格的信息，完成任务问题：
测量工具 含 45°角的直角三角板、足够长的皮尺
方案一 方案二 方案三
测量方案
示意图
小明站在距离旗杆 2.4m 的点 D 如图，旗杆顶端的
处，眼睛距离地面 1.6m，视线沿 绳子垂落地面后
着三角板的一直角边落在旗杆顶 还多出 1m，将绳
设计方案 在地面确定点C，
部 A处，小亮沿着直线 BD垂直移 子斜拉直后，使得
及测量数 并测得
动一高为 4m的竹竿 EF，直到小明 绳子底端 C 刚好
据 ∠ACB=45°
视线沿着三角板的另一直角边恰 接触地面，此时测
好落在竹竿顶部 E处，此时测得竹 得 BC=5m.
竿距离旗杆 12.8m.
（1）在方案一中，要确定旗杆的高度应测量 的
任务一 判断分析
长度，请说明理由： ；
（2）请在方案二或方案三中任选一个方案，并根据测
任务二 推理计算
量数据，求旗杆的高度 AB.
18. （8 分）某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经
过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
种类 进价（元/kg） 售价（元/kg）
甲 x 12
乙 y 14
（1）（3分）购进甲种水果 5kg和乙种水果 10kg需要 160元；购进甲种水果 12kg
和乙种水果 5kg需要 156元．求 x， y的值；
（2）（5分）该平台决定每天对甲、乙两种水果共 1000kg进行销售，其中甲种水
果的数量不超过 200kg，平台每天售完 1000kg水果能获利 2500元吗？
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19. （12 分）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的
数量关系的相关问题. 我国汉代数学家赵爽（公元 3-4 世纪）就通过一幅“弦图”，
证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”. 如图 1，“赵爽弦图”是由 4 个全等的直
角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形 ABCD”，设直角三角形较短的直角边
为 a，较长的直角边为 b，面积为 S .
图 1 图 2 图 3 图 4
（1）（2分）小桐用这 4个直角三角形拼出图 2所示的正方形 EFGH，发现：若 a、
b的值确定，则正方形 ABCD的面积 S正方形ABCD、正方形 EFGH的面积 S正方形EFGH 、直角
三角形的面积 S 的值都唯一确定，
当 a 1,b 4时， S正方形ABCD = , S正方形EFGH = ；
（2）（10 分）小桐进一步思考，并提出问题：已知 S正方形ABCD、S正方形EFGH 、S 中的任
意两个量可否求出 a、b的值？于是给出以下条件，并进行探索：
条件（I） 条件（II） 条件（III）
S正方形ABCD 256 S正方形EFGH 4 S 24
①（2 分）选择条件（I）（II），则 a = ,b = ；
②（3 分）选择条件（I）（III），请你帮小桐计算出 a，b的值；
③（5分）【探索发现】选择条件（II）（III），由（II）得：b a 2，由（III）
1
得： ab 24，进而得出关于 a的方程： a(a 2) 48，小桐尝试从“形”的角度来2
确定 a的值，将 a(a 2) 48看作是长为 (a 2)，宽为 a的长方形，且长方形面积为
48，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用 4个这样的长方形构造“空心”大正方形
（如图 3），则图 3 中大正方形的面积为： 48 4 4 196 ，也可以表示为：
(a b)2 (a a 2)2，于是：(a a 2)2 196，因此 2a 2 14，所以 a 6或 a 8
（舍去），故 a 6，b 8．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几
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何解法．
【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程 x(x 3) 18，请将其解答过程补充
完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形；
第二步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方
程的一个正根为 ；
【拓展应用】一般地，对于关于 x的方程 x(x m) n可以构造图 4求解．已知图 4
是由四个面积为 5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为 16，那么，此方程
中的 n＝ ，求得方程的正根为 ．
20.（12 分）阅读材料，若点 M到直线 a，b的距离相等，则称点 M为直线 a，b的
关联点.
例如：如图 1，在平面直角坐标系中，点（3，-3）到 x轴和 y轴的距离相等，故（3，
-3）是 x轴和 y轴的关联点.
在平面直角坐标系中，已知 A（0,6），直线 l1 : y kx 4m(k 0)交 x轴于点 B（n,0）,
交 y轴于点 C，点 D为 x轴上一个点；
（1）（5分）直线 l1经过点 A，
①m= ，若（1,t）在直线 l1上，则比较 t与 6的大小：t 6；
②当点 D坐标为（8,0）时，点 B恰好为 CO、CD的关联点，求直线 l1的解析式；
（2）（7分）若 n=8m(m>0)，D为 OB中点，点 P为线段 BC上一点，且为 x轴和 y
轴的关联点，将 PD绕点 P逆时针旋转 90°至 PE，
①求证：点 E为直线 l1 : y kx 4m与直线 l2 : y kx 4m的关联点；
②对于直线 l2 : y kx 4m上任意两点 M、N，始终有 S AMN S EMN ，直接写出 m
的值.
八年级数学 第 6页 共
图 1 备
6用页图
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