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第2节　整式与因式分解
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 代数式
代数式
知识点2 整式的有关概念
整式的有关概念
知识点3 整式的运算
整式的运算
知识点4 因式分解
因式分解
【基础演练】
1.已知式子:①;②-;③;④4x2-y2;⑤x2+2x+1.
(1)以上式子中,是整式的有 ,是单项式的有 ,是多项式的有 .(填序号)
(2)-的系数是 ,次数是 ;x2+2x+1的次数是 ,项数是 .
(3)计算-·的结果是 .
(4)若4x2-y2=6,2x-y=2,则= .
(5)因式分解:x2+2x+1= .
2.某校计划给每个年级配发n套劳动工具,则3个年级共需配发 套劳动工具.
3.先化简,再求值:(2x+y)(2x-y)-(x+1)2+y2,其中x=-2,y=1.
真题精粹·重变式
考向1 整式的运算　6年5考
1.(2024·福建)下列运算正确的是 ( )
A.a3·a3=a9 B.a4÷a2=a2
C.(a3)2=a5 D.2a2-a2=2
2.(2023·福建)下列计算正确的是 ( )
A.(a2)3=a6 B.a6÷a2=a3
C.a3·a4=a12 D.a2-a=a
3.(2022·福建)化简(3a2)2的结果是 ( )
A.9a2 B.6a2
C.9a4 D.3a4
4.(2021·福建)下列运算正确的是 ( )
A.2a-a=2 B.(a-1)2=a2-1
C.a6÷a3=a2 D.(2a3)2=4a6
5.(2020·福建)下列运算正确的是 ( )
A.3a2-a2=3
B.(a+b)2=a2+b2
C.(-3ab2)2=-6a2b4
D.a·a-1=1(a≠0)
热点训练 6.计算a3÷a得a ,则“ ”是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
7.(a2)3可以表示成 ( ) A.3个a2相加 B.5个a相乘 C.2个a3相加 D.3个a2相乘 8.若24×22=2m,则m的值为 ( ) A.8 B.6 C.5 D.2 9.计算:(a+3)(a-2)+(a-a3)÷a.
考向2 化简求值
热点训练 10.先化简,再求值:(x+y)(x-y)+(xy2-2xy)÷x,其中x=1,y=.
11.已知x2+2x-2=0,求代数式x(x+2)+(x+1)2的值.
核心方法
　　整式的求值常见的方法
1.化简代入法,即把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简,然后代入求值.
2.整体代入法,即当单个字母的值不能或不用求出时,可把已知条件作为一个整体,代入到经过变形的待求的代数式中去求值.
考向3 因式分解
12.(2024·福建)因式分解:x2+x= .
13.(2019·福建)因式分解:x2-9= .
真题变式 变设问——提取公因式 14.因式分解:x2-9x= . 开放性设问 15.给x2+9添加一个一次项,使其可以应用完全平方公式进行因式分解,则这个一次项可以是 .(写出一个满足条件的项即可)
16.(2023·河北)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 ( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
热点训练 17.因式分解:(y+2x)2-(x+2y)2.
核心方法
　　因式分解的方法
1.提取公因式的关键是确定公因式,找公因式的方法:一看系数;二看相同字母或因式;三看相同字母的次数.
2.运用公式法首先观察项数,若是二项式,应考虑平方差公式;若是三项式,则考虑完全平方公式.然后观察各项的次数、系数是否符合公式的特征.
3.注意因式分解一定要分解到不能再分解为止.
18.(2024·福建)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=,mn=.
(1)求证:b2-12ac为非负数.
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.
参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①字母　②数字因数　③和　④和　⑤单项式　⑥字母
⑦最高项　⑧单项式和多项式　⑨字母　⑩指数　系数　a+b+c　a-b-c　相加　am+n　相减
am-n　相乘　amn　anbn　-4a5b2　ma+mb+mc　ma+mb+na+nb　a2-b2　a2±2ab+b2　-2xy2　a+b+c　多项式　积　m(a+b+c)　(a+b)(a-b)　(a±b)2　2ab　4ab
基础演练
1.(1)②③④⑤　②　③④⑤　(2)-　5　2　3　(3)-　(4)　(5)(x+1)2
2.3n
3.解析:原式=4x2-y2-(x2+2x+1)+y2
=4x2-y2-x2-2x-1+y2
=3x2-2x-1.
当x=-2,y=1时,原式=3×(-2)2-2×(-2)-1=15.
真题精粹·重变式
1.B　2.A　3.C　4.D　5.D　6.C　7.D　8.B
9.解析:原式=a2+a-6+1-a2=a-5.
10.解析:原式=x2-y2+y2-2y=x2-2y.
当x=1,y=时,原式=12-2×=0.
11.解析:x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1.
∵x2+2x-2=0,
∴x2+2x=2,
∴当x2+2x=2时,原式=2(x2+2x)+1
=2×2+1
=4+1
=5.
12.x(x+1)　13.(x+3)(x-3)　14.x(x-9)
15.6x(或-6x)　16.B
17.解析:原式=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)-(x+2y)]=3(x+y)(x-y).
18.解析:(1)证明:∵3m+n=,mn=
∴b=a(3m+n),c=amn,
则b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2.
∵a,m,n是实数,
∴a2(3m-n)2≥0,
∴b2-12ac 为非负数.
(2)m,n不可能都为整数.
理由如下:若m,n都为整数,其可能情况有:①m,n都为奇数;②m,n为整数,且其中至少有一个为偶数.
①当m,n都为奇数时,则3m+n必为偶数,
又∵3m+n=,
∴b=a(3m+n).
∵a为奇数,
∴a(3m+n)必为偶数,这与b为奇数矛盾;
②当m,n为整数,且其中至少有一个为偶数时,则mn必为偶数.
又∵mn=,
∴c=amn.
∵a为奇数,
∴amn必为偶数,这与c为奇数矛盾.
综上所述,m,n不可能都为整数.

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