资源简介

第1节　一次方程(组)及其应用
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 方程的有关概念及等式的性质
1.方程的有关概念
2.等式的性质
知识点2 一元一次方程及其解法
1.一元一次方程
定义 只含有⑦ 未知数(元),未知数的次数都是⑧ ,等号两边都是⑨ ,这样的方程叫作一元一次方程
2.解一元一次方程的一般步骤
步骤 具体做法
去分母 若方程中未知数的系数为分数,则方程两边同乘分母的最小公倍数
去括号 若方程中有括号,则应先去括号,去括号的顺序为先去小括号,再去中括号,最后去大括号
移项 将含未知数的项移到方程左边,常数项移到方程右边
合并同类项 把方程化成ax=b(a≠0)的形式
系数化为1 方程两边同除以未知数的系数
知识点3 二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的基本思想——消元
2.基本方法
知识点4 一次方程(组)的应用
1.列方程(组)解应用题的一般步骤:
(1)把握题意,搞清楚什么是条件,求什么;
(2)设未知数
(3)找出能够包含未知数的等量关系(一般情况下设几个未知数,就找几个等量关系);
(4)列出方程(组);
(5)求出方程(组)的解;
(6)检验(看是否符合题意);
(7)写出答案(包括单位名称).
2.一次方程(组)实际应用的常见类型
常见题型及关系式 (1)利润问题:售价=标价×折扣,销售额=售价×销量,利润=售价-进价, 利润率=利润/进价×100%. (2)利息问题:利息=本金×利率×期数,本息=本金+利息. (3)工程问题:工作量=工作效率×工作时间. (4)行程问题:路程=速度×时间. ①相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程. ②追及问题:a.同地不同时出发,前者走的路程=追者走的路程; b.同时不同地出发,前者走的路程+两地间距离=追者走的路程
【基础演练】
1.下列等式变形不一定正确的是 ( )
A.若a=b,则a+c=b+c
B.若a=b,则3a=3b
C.若a=b,则a-x=b-x
D.若a=b,则=
2.填空,使所得结果仍是等式:
(1)如果x-2=5,那么x=5+ ;
(2)如果3x=10-2x,那么3x 2x=10;
(3)如果2x=7,那么x= ;
(4)如果=3,那么x-1= .
3.解方程:x-=-1.
4.解方程组:
真题精粹·重变式
考向1 解一元一次方程 　6年1考
1.(2022·福建)推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误.例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下:
设任意一个实数为x,令x=m,
等式两边都乘x,得x2=mx,①
等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2,②
等式两边分别分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m),③
等式两边都除以x-m,得x+m=m,④
等式两边都减m,得x=0,⑤
故任意一个实数都等于0.
以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是 .
热点训练 2.若代数式x+1的值为6,则x等于 ( ) A.5 B.-5 C.7 D.-7 3.解方程:+=4.
核心方法
　　解一元一次方程时的“四注意”
1.去分母时,不要漏乘常数项;
2.去分母时,分子是多项式的要加括号;
3.括号前是负号,去括号时,要变号;
4.移项时要变号.
考向2 解二元一次方程组 　6年1考
4.(2019·福建)解方程组:
真题变式 变条件——融入去分母 5.解方程组:
热点训练 6.已知二元一次方程组则x-y的值为 . 7.已知是方程ax+by=3的解,则代数式2a+4b-5的值为 .
考向3 一次方程(组)的应用　6年2考
8.(2024·福建)今年我国国民经济开局良好,市场销售稳定增长,社会消费增长较快,第一季度社会消费品零售总额120327亿元,比去年第一季度增长4.7%,求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元,则符合题意的方程是 ( )
A.(1+4.7%)x=120327
B.(1-4.7%)x=120327
C.=120327
D.=120327
9.(2019·福建)《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每日读多少 ”其大意如下:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字 已知《孟子》一书共有34685个字,设他第一天读x个字,则下面所列方程正确的是 ( )
A.x+2x+4x=34685
B.x+2x+3x=34685
C.x+2x+2x=34685
D.x+x+x=34685
热点训练 10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组是 ( ) A. B. C. D.
核心突破·拓思维
考点 一次方程(组)的应用
在“二元一次方程组”这一章的复习课上,王老师让同学们根据下列条件探索还能求出哪些量:在我市“乡村建设”工作中,甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条335米长的公路,甲队每天修建20米,乙队每天修建25米,一共用了15天完成.
(1)小红同学根据题意,列出了一个尚不完整的方程组
请写出小红所列方程组中未知数x,y表示的意义:x表示 ,y表示 ;并写出该方程组中 处的数应是 ,*处的数应是 .
(2)小芳同学的思路:设甲工程队一共修建了x米公路,乙工程队一共修建了y米公路.请你按照小芳的思路列出方程组,并求出乙队修建的天数.
核心方法
　　一次方程(组)的应用注意事项
　　①在设未知数时,根据实际情况直接设未知数或间接设未知数,并且一定要记得未知数要带单位.
　　②在解方程的过程中,要保证设的未知数、列的未知数、解的未知数相同.
　　③题目中常出现单位换算的陷阱,列方程时一定要统一单位.
　　④实际应用题最后一步一定要记得“答”.
我国古代数学著作《增删算法统宗》有题如下:“甲、乙二人沽酒,不知谁少谁多.乙钞少半甲相和,二百无零堪可.乙得甲钱中半,亦然二百无那.英贤算得无讹,将甚法儿方可 ”其大意:“甲、乙二人买酒,不知谁买多买少.只知乙买酒的钱的与甲买酒的钱之和恰好为200文.若乙得到甲买酒钱的一半,也有200文.试问甲、乙买酒各用了多少钱,才智出众的人算得无误,就称为好解法.”设甲买酒钱x文,乙买酒钱y文,则可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意:“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个头,94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只 ”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.
《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生想要凑钱购买1本.若每人出8元,则多了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少
某茶叶店经销安溪铁观音,第一次购进了A种茶30盒,B种茶20盒,共花费6000元;第二次购进时,两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A种茶20盒,B种茶15盒,共花费5100元.分别求第一次购进的A,B两种茶每盒的价格.
参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①等式　②解或根　③解方程　④b±c　⑤bc　⑥　⑦一个　⑧1　⑨整式
基础演练
1.D
2.(1)2　(2)+　(3)　(4)6
3.解析:去分母,得12x-3(x-2)=2(5x-7)-12,
去括号,得12x-3x+6=10x-14-12,
移项,得12x-3x-10x=-14-12-6,
合并同类项,得-x=-32,
系数化为1,得x=32.
4.解析:由①得x=2y+4,③
将③代入②得2(2y+4)+y-3=0,
解得y=-1.
把y=-1代入③得x=2×(-1)+4=2.
所以原方程组的解为
真题精粹·重变式
1.④　2.A
3.解析:+=4,
3(x-3)+2(x-1)=24,
3x-9+2x-2=24,
3x+2x=24+9+2,
5x=35,
x=7.
4.解析:
①+②,得3x=9,
解得x=3.
把x=3代入①,得y=-2,
所以这个方程组的解为
5.解析:令
②×2得x+2y=8,③
③-①得3y=3,
解得y=1,
将y=1代入①得x=6,
∴原方程组的解为
6.1　7.1　8.A　9.A　10.A
核心突破·拓思维
例　解析:(1)根据方程组中第二个方程可得x是与甲队每天修建的长度相乘,y是与乙队每天修建的长度相乘,这样可得出x,y分别表示甲、乙两队各自修路的天数,从而得到x+y=15,20x+25y=335.
故答案为甲队修路的天数;乙队修路的天数;15;335.
(2)根据题意可列方程组为
由①得x=335-y,③
将③式代入②式得+=15,
解得y=175,
所以乙队修建了175米,修建的天数为=7(天).
答:乙队修建了7天.
变式1　B
变式2　解析:设鸡有x只,兔有y只,鸡有1个头,2条腿,兔有1个头,4条腿.
结合题意可得
解得
故笼中的鸡有23只,兔有12只.
变式3　解析:设学生有x人,该书单价为y元.
根据题意得　　解得
答:学生有7人,该书单价为53元.
变式4　解析:设第一次购进A种茶的价格为x元/盒,B种茶的价格为y元/盒.
依题意得
解得
答:第一次购进A种茶的价格为100元/盒,B种茶的价格为150元/盒.

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