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第3节　一元二次方程及其应用
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 一元二次方程及其解法
1.一般形式
2.一元二次方程的解法
一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
直接开平方法 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,可直接开方求解,x1=-m+,x2=-m-
因式分解法 可化为a(x+m)(x+n)=0的形式的方程,用因式分解法求解, 则x1=① ,x2=②
公式法 将一元二次方程的一般式中的系数a,b,c的值直接代入求根公式x=③ (b2-4ac≥0),就可以得到方程的根
配方法 若ax2+bx+c=0不易于分解因式,可考虑配方为a(x+h)2=k的形式,再直接开方求解,配方法的关键是先将二次项系数化为1,再给方程两边加上一次项系数一半的平方
知识点2 一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式:我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,用符号“Δ”表示.
判别式与根的关系
2.一元二次方程的根与系数的关系:如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-,x1·x2=.
推论1:如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.
推论2:以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
知识点3 一元二次方程实际应用的常见类型
类型 关系式
增长率(或降低率)问题 ①增长率=×100%. ②若设原来的量是a,平均增长率是x,增长次数是n,增长后的量是b,则a(1+x)n=b; 若设原来的量是a,平均降低率是x,降低次数是n,降低后的量是b,则a(1-x)n=b
数字问题 ①若三个连续偶数的最中间的偶数是x,则最小的偶数是x-2,最大的偶数是x+2. ②若一个三位数的百位上的数字是a,十位上的数字是b,个位上的数字是c,则这个三位数是100a+10b+c
双方参与问题 ①握手问题:若两个人握1次手,则x个人握次手. ②贺卡问题:若两个人互送1张贺卡,则x个人互送x(x-1)张贺卡. ③球赛问题:a.若两个队只比赛1场(单循环),则x个队比赛场; b.若两个队相互比赛1场(双循环),则x个队比赛x(x-1)场
图形面积问题 ①如图1,大矩形的长是a,宽是b,空白部分的宽度都是x,则阴影部分的面积是(a-2x)(b-2x).②如图2,大矩形的长是a,宽是b,阴影部分的宽度都是x,则空白部分的面积是(a-x)(b-x). ③如图3,大矩形的长是a,宽是b,阴影部分的宽度都是x,则空白部分的面积是ab-ax-bx+x2;本题也可以通过平移得到图4,此时空白部分的面积是(a-x)(b-x)
【基础演练】
1.方程3x2-2x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( )
A.3,2,1 B.3,-2,1
C.3,-2,-1 D.-3,2,-1
2.若x=1是关于x的方程x2+x-t=0的一个根,则t的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.用配方法解方程x2-8x+2=0,则方程可变形为 ( )
A.(x-4)2=6 B.(x-8)2=18
C.(x-4)2=18 D.(x-4)2=14
4.若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个实数根,则实数k的取值范围是 ( )
A.k≤1 B.k<1且k≠0
C.k≤1且k≠0 D.k≥1
5.若一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为a,b,则a-ab+b的值为 .
6.用适当的方法解下列方程:
(1)(x-2)2=1;
(2)3x2+2x=2.
真题精粹·重变式
考向1 一元二次方程根的探究
1.(2018·福建)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是 ( )
A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
真题变式 变设问——条件结论互换 2.若1和-1有一个是关于x的方程x2+bx+a=0的根,判断一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0根的情况.
热点训练 3.一元二次方程x2+x-1=0的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根 4.请填写一个常数,使得关于x的方程x2-2x+ =0有两个不相等的实数根.
考向2 解一元二次方程　6年1考
热点训练 5.用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是 ( ) A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6 C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6 6.一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是 . 7.解方程:x2-2x-3=0.
8.(2023·福建)根据福建省统计局数据,福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元,2022年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,根据题意可列方程 ( )
A.43903.89(1+x)=53109.85
B.43903.89(1+x)2=53109.85
C.43903.89x2=53109.85
D.43903.89(1+x2)=53109.85
核心方法
　　解一元二次方程的注意事项
1.解一元二次方程时,不能两边同时除以含x的整式,否则计算结果就会漏掉一个根.
　　2.原方程有两个相等的实数根,最后结果要写成x1=x2=a的形式.
考向3 一元二次方程的实际应用　6年1考
9.(2021·福建)某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力开展植树造林活动,2020年底森林覆盖率达到68%,如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,那么下列方程正确的为 ( )
A.0.63(1+x)=0.68
B.0.63(1+x)2=0.68
C.0.63(1+2x)=0.68
D.0.63(1+2x)2=0.68
核心突破·拓思维
考点1 解一元二次方程
(一题多角度)已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x-12=0,解答下列问题.
(1)m的取值范围是 .
(2)当m=3时,请选择合适的方法解一元二次方程.
(3)若一元二次方程的一个根为2,则m的值为 ,方程的另一个根为 .
(4)①若方程有实数根,则m的取值范围是 ;
②若方程无实数根,则m的取值范围是 ;
③若方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ;
④若方程有两个相等的实数根,则m的值是 .
(5)当m=5时,一元二次方程的两根分别x1,x2,求下列代数式的值.
①x1+x2= ;
②x1·x2= ;
③+= ;
④+= ;
⑤(x1-x2)2= .
核心方法
　　运用根的判别式的注意事项
根据“Δ”的符号可以确定一元二次方程的根的情况,反之,根据一元二次方程的根的情况也可以确定“Δ”的符号,同时要注意,根据一元二次方程的定义,二次项系数不能为0.
考点2 一元二次方程的实际应用
某汽车销售公司3月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1辆汽车,则该辆汽车的进价为27万元,每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆.另外,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元;销售量在10辆以上,每辆返利1万元.
(1)求每辆汽车的进价y(单位:万元)与该公司当月售出汽车数量x(单位:辆)之间的函数关系式.
(2)如果汽车的售价为28万元/辆,该汽车销售公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少辆汽车 (盈利=销售利润+返利)
解题指南　(1)利用“每辆汽车的进价=27-0.1×(售出的汽车数量- )”,即可找出y关于x的函数关系式;
(2)分010两种情况考虑,根据该汽车销售公司计划当月盈利 万元,可得出关于x的一元二次方程,解方程取其符合题意的值即可得出结论.
核心方法
　　列一元二次方程解实际问题的基本步骤
1.找已知量、未知量;2.设未知数;3.找等量关系,列出方程;4.解方程;5.检验;6.答.其中找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题关键.
某商场将进货价为20元的玩具以30元售出,平均每天可售出300件.调查发现,该玩具的单价每上涨1元,平均每天就少售出10件.若商场想要平均每天获得3 750元的利润,则每件玩具应涨价多少元 设每件玩具应涨价x元,则下列说法错误的是 ( )
A.涨价后每件玩具的售价是(30+x)元
B.涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件
C.涨价后平均每天销售玩具的数量是(300-10x)件
D.根据题意可列方程为(30+x)(300-10x)=3 750
如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示的长方形.这两个图能解释下列哪个等式 ( )
A.x2-2x+1=(x-1)2
B.x2-1=(x+1)(x-1)
C.x2+2x+1=(x+1)2
D.x2-x=x(x-1)
核心方法
　　一元二次方程应用的解题思路
　　1.在真实情境下解决几何问题时,结合图形的性质得到等量关系,列出一元二次方程解决问题.
　　2.解决现实问题时,要通过分析其中的数量关系,找到等量关系,列出一元二次方程,求解.解出的结果既要符合题目条件,也要符合生活实际.
参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①-m　②-n　③　④有两个不相等　⑤有两个相等　⑥无
基础演练
1.C　2.B　3.D　4.C　5.5
6.解析:(1)∵(x-2)2=1,
∴x-2=1或x-2=-1,
解得x1=3,x2=1.
(2)∵3x2+2x=2,
∴3x2+2x-2=0,
∴a=3,b=2,c=-2,
∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-2)=28>0,
∴x===,
解得x1=,x2=.
真题精粹·重变式
1.D
2.解析:(a+1)x2+2bx+(a+1)=0的判别式为(2b)2-4(a+1)2=4(b+a+1)(b-a-1).
当x=1是关于x的方程x2+bx+a=0的根时,有1+b+a=0,
此时(2b)2-4(a+1)2=0,
∴方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根;
当x=-1是关于x的方程x2+bx+a=0的根时,有1-b+a=0,∴b-a-1=0,
此时(2b)2-4(a+1)2=0,
∴方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根.
综上所述,方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根.
3.A　4.0(答案不唯一)　5.C　6.x1=2,x2=-7
7.解析:原方程可以变形为(x-3)(x+1)=0,
∴x-3=0或x+1=0,
∴x1=3,x2=-1.
8.B　9.B
核心突破·拓思维
例1　(1)m≠2
(2)解析:分解因式,得(x+2)(x-6)=0,
则x+2=0或x-6=0,
解得x1=-2,x2=6.
(3)7　-　(4)①m≥且m≠2　②m<
③m>且m≠2　④　(5)①　②-4　③-
④　⑤
例2　解题指南　(1)1　(2)12
解析:(1)依题意得y=27-0.1(x-1)=-0.1x+27.1.
(2)当0整理得x2+14x-120=0,
解得x1=6,x2=-20(不合题意,舍去);
当x>10时,有[28-(-0.1x+27.1)]·x+x=12,
整理得x2+19x-120=0,
解得x1=5(不合题意,舍去),x2=-24(不合题意,舍去).
答:如果该汽车销售公司计划当月盈利12万元,那么需要售出6辆汽车.
变式1　D
变式2　B

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