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章节构建一　实践能力:尺规作图
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点 尺规作图　常考
尺规作图 定义 在几何里,把限定用无刻度的直尺和圆规来画图,称为尺规作图 (需要保留作图痕迹)
作一条线段等于已知线段 (1)先画一条射线; (2)用圆规量出已知线段的长; (3)再在射线上用圆规截取一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角 (1)作一条射线作为角的一边; (2)在已知角上构造一个以该角为顶角的等腰三角形; (3)在所作射线上作等腰三角形的一腰; (4)再作等腰三角形的底,确定第三个顶点; (5)作另一腰所在的射线,就得到一个角等于已知角
（续表）
尺规作图 作已知角的平分线 (1)在已知角∠AOB的两边上截取点D,E,使OD=OE; (2)分别以D,E为圆心,以大于线段DE的长为半径作弧,而弧在∠AOB内部交于点C; (3)作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线
过一点作已知直线的垂线 如图1,点O在直线AB上,过点O作AB的垂线,就相当于作平角∠AOB的平分线; 如图2,当点C不在直线AB上时,过点C作CO⊥AB,以点C为圆心,大于线段CO的长度为半径作弧交AB于点D,E,作线段DE的垂直平分线即可
作已知线段的垂直平分线 (1)分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于C,D两点; (2)过C,D两点作直线CD,则直线CD垂直平分AB
【基础演练】
1.(2024·厦门二模)综合实践课上,小明画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)分别以点B,D为圆心,大于BD的长为半径作弧,相交于两点,作过这两点的直线交BD于点O;
(2)连接AO并延长,再以点O为圆心,OA长为半径作弧,交AO延长线于点C;
(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即所求.
在小明的作法中,可以直接用于判定四边形ABCD为平行四边形的依据是 ( )
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.一组对边平行且相等
D.对角线互相平分
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,按下列步骤作图.
步骤1:分别以点C和点D为圆心,以大于CD的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点.
步骤2:作直线MN,分别交AC,BC于点E,F.
步骤3:连接DE,DF.
若AC=8,BC=6,则线段DE的长为 ( )
A.
B.
C.
D.
3.如图,一位老父亲要把一块三角形的土地均分给三个儿子,∠C=90°,∠B=30°,但老人家要求把这块三角形的地分成大小、形状都相同的三块.
(1)请你帮老人家分一分,并保留作图痕迹.
(2)请推理证明你分的三块地的大小形状都相同.
4.(1)如图1,在图形内部求作一点P,使点P到∠DAB两边AB,AD的距离相等,且点P到点B,C的距离相等.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)如图2,△ABC为钝角三角形.
①作△ABC中BC边上的高;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
②若AB=6,BC=4,∠B=30°,求△ABC的面积.
　 　　 图1　　　　　　　　图2
真题精粹·重变式
1.(2023·福建)阅读以下作图步骤:如图,
①在OA和OB上分别截取OC,OD,使OC=OD;
②分别以C,D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点M;
③作射线OM,连接CM,DM.
根据以上作图,一定可以推得的结论是 ( )
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
2.(2024·福建)如图,已知直线l1∥l2.
(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l,使得l∥l1∥l2,且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若l1与l2间的距离为2,点A,B,C分别在l,l1,l2上,且△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积.
3.(2022·福建)如图,BD是矩形ABCD的对角线.
(1)求作☉A,使得☉A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,设BD与☉A相切于点E,过点C作CF⊥BD,垂足为点F.若直线CF与☉A相切于点G,求tan∠ADB的值.
4.(2021·福建)如图,已知线段MN=a,AR⊥AK,垂足为A.
(1)求作四边形ABCD,使得点B,D分别在射线AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)设P,Q分别为(1)中四边形ABCD的边AB,CD的中点,求证:直线AD,BC,PQ相交于同一点.
5.(2019·福建)如图,已知△ABC和点A'.
(1)以点A'为顶点作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,S△A'B'C'=4S△ABC.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)设D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,AC的中点,D',E',F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B',B'C',A'C'的中点,求证:△DEF∽△D'E'F'.
6.(2020·福建)已知C为线段AB外的一点.
(1)求作四边形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的四边形ABCD中,AC,BD相交于点P,M,N分别为AB,CD的中点,求证:M,N,P三点在同一条直线上.
7.如图,PC∥OB交OA于点C.
(1)过点P作PD∥OA交OB于点D(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,若∠O=55°,求∠CPD的度数.
8.如图,在△ABC中,点D在AC上,过点D作DE∥BC交AB于点E.
(1)求作过点D且平行于AB的直线,交BC于点F(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,若BD平分∠ABC,求证:四边形BFDE为菱形.
参考答案
回归教材·过基础
基础演练
1.D　2.D
3.解析:(1)如图,△ACE,△AEF,△EFB为所求.
(2)∵EF垂直平分线段AB,
∴EA=EB,
∴∠EAB=∠B=30°.
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
∴∠CAE=∠EAF=30°.
∵∠C=∠AFE=90°,AE=AE,
∴△EAC≌△EAF(AAS).
∵AF=FB,∠EFA=∠EFB=90°,EF=EF,
∴△EAF≌△EBF,
∴△EAC≌△EAF≌△EBF,
∴△ACE,△EAF,△EBF为所求.
4.解析:(1)如图1,点P为所求.
(2)①如图2,AD为所求.
　　图1　　　　　　　图2
②∵AD为BC边上的高,∴∠ADB=90°.
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,
∴AD=AB=×6=3,∴△ABC的面积=BC·AD=×4×3=6.
真题精粹·重变式
1.A
2.解析:(1)如图1,直线l即所求.
(2)①如图2,当∠BAC=90°,AB=AC时,
∵l∥l1∥l2,直线l1 与 l2 间的距离为2,且l与 l1 间的距离等于l与 l2 间的距离,
根据图形的对称性可知BC=2,
∴AB=AC=,
∴S△ABC=AB·AC=1.
②当∠ABC=90°,BA=BC 时,
如图3,分别过点A,C作直线 l1 的垂线,垂足为M,N,
∴∠AMB=∠BNC=90°.
∵l∥l1∥l2,直线l1 与 l2 间的距离为2,且l与 l1 间的距离等于l与 l2 间的距离,
∴CN=2,AM=1.
∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,
∴∠MAB=∠NBC,
∴△AMB≌△BNC(AAS),
∴BM=CN=2,
在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2=12+22=5,
∴AB=,
∴S△ABC=AB·BC=.
③如图4,当∠ACB=90°,CA=CB时,同理②可得,S△ABC=.
综上所述,△ABC的面积为1或.
3.解析:(1)根据题意作图,如图1.
图1
(2)如图2,设∠ADB=α,☉A的半径为r.
图2
∵BD与☉A相切于点E,CF与☉A相切于点G,
∴AE⊥BD,AG⊥CG,
即∠AEF=∠AGF=90°.
∵CF⊥BD,
∴∠EFG=90°,
∴四边形AEFG是矩形.
又∵AE=AG=r,
∴四边形AEFG是正方形,
∴EF=AE=r.
在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABD=90°,
∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BAE=∠ADB=α.
在Rt△ABE中,tan∠BAE=,
∴BE=r·tan α.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
又∵∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF=r·tan α,
∴DE=DF+EF=r·tan α+r.
在Rt△ADE中,tan∠ADE=,
即DE·tan α=AE,
∴(r·tan α+r)·tan α=r,
即tan2α+tan α-1=0.
∵tan α>0,
∴tan α=,
即tan∠ADB的值为.
4.解析:(1)如图,四边形ABCD为所求.
(2)证明:设PQ交AD于点G,BC交AD于点G'.
∵DQ∥AP,∴=.
∵DC∥AB,∴=.
∵P,Q分别为边AB,CD的中点,
∴DC=2DQ,AB=2AP,
∴===,
`∴=,
∴点G与点G'重合,
∴直线AD,BC,PQ相交于同一点.
5.解析:(1)如图1所示.
图1
(2)证明:如图2,∵D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,AC的中点,
图2
∴DE=BC,DF=AC,EF=AB,
∴△DEF∽△ABC.
同理可得△D'E'F'∽△A'B'C',
由(1)可知△ABC∽△A'B'C',
∴△DEF∽△D'E'F'.
6.解析:(1)如图1,四边形ABCD即为所求.
图1
(2)证明:如图2,在AB,CD上分别截取中点M,N.
图2
∵CD∥AB,∴∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP,
∴△ABP∽△CDP,
∴=.
∵AB,CD的中点分别为M,N,
∴AB=2AM,CD=2CN,∴=.
连接MP,NP,
∵∠BAP=∠DCP,∴△APM∽△CPN,
∴∠APM=∠CPN.
∵点P在AC上,∴∠APM+∠CPM=180°,
∴∠CPN+∠CPM=180°,
∴M,P,N三点在同一条直线上.
7.解析:(1)如图,PD∥OA交OB于点D,即所求.
(2)∵PC∥OB,∠O=55°,
∴∠ACP=∠O=55°.
∵PD∥OA,
∴∠CPD=∠ACP=55°.
8.解析:(1)如图,直线DF为所求.
(2)证明:∵DE∥BC,DF∥AB,
∴四边形BFDE是平行四边形.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD,
∴∠ABD=∠EDB,∴BE=DE,
∴四边形BFDE是菱形.

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