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第2节　一次函数及其应用
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 一次函数、正比例函数的概念
一次函数 定义 形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的式子,称y是x的一次函数
结构特征 k≠0,x的次数是1,常数项b可为任意实数
正比例函数 定义 形如y=kx(常数k≠0)的式子,叫作正比例函数
结构特征 k≠0,x的次数是1,常数项为0
联系 正比例函数是一次函数的特殊形式
知识点2 一次函数y=kx+b的图象与性质
k决定倾斜方向和增减性 k>0(y随x的增大而① ) k<0(y随x的增大而② )
图象
b决定图象与 y轴的交点 b>0 b③ 0 b<0 b④ 0 b=0 b⑤ 0
经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第⑥ 象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
与坐标轴的交点特征 当x=0时,y=b,即一次函数的图象与y轴的交点坐标为⑦ ; 当y=0时,x=-,即一次函数的图象与x轴的交点坐标为⑧
（续表）
图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到,若b>0,则向上平移b个单位长度;若b<0,则向下平移|b|个单位长度
拓展　两直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,则有
知识点3 用待定系数法确定一次函数的表达式
步骤
1.设:设解析式为y=kx+b(k≠0).
2.代:把已知坐标代入解析式得关于待定系数的方程组.
3.解:解方程组,求出待定系数k,b.
4.写:将k,b代入所设解析式.
知识点4 一次函数与方程(组)、不等式的关系
1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.
2.关于x,y的二元一次方程组的解是直线y=k1x+b1和y=k2x+b2的交点坐标.
3.关于x的一元一次不等式kx+b>0(<0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点,x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围.
知识点5 一次函数的应用
利用一次函数的性质解决实际问题的主要类型
(1)利用一次函数的性质,如增减性,来解决生活中的优化问题等;
(2)利用一次函数的图象寻求实际问题的变化规律以解题;
(3)利用两个一次函数的图象来解决方案选择问题,也可以把函数问题转化成不等式或方程问题加以解决;
(4)与方程或不等式组结合解决实际问题.
【基础演练】
1.在如图所示的平面直角坐标系中.
(1)画出函数y=3x-3的图象.
(2)(1)中图象与x轴的交点A的坐标为 ,与y轴的交点B的坐标为 ,则S△AOB为 .
(3)若点C(x1,y1),D(x2,y2)在函数y=3x-3的图象上,且y1”“<”或“=”)
(4)在同一平面直角坐标系中画出直线y=x,M是直线y=x上的动点,过点M作MN⊥x轴交直线y=3x-3于点N,当MN=2时,点M的坐标为 .
2.已知一次函数的图象与x轴,y轴的交点坐标分别是(-2,0),(0,4),则这个函数的表达式为 .
3.直线y=x+1向上平移 个单位长度得到直线y=x+5.
真题精粹·重变式
考向1 一次函数的图象与性质
热点训练 1.若直线y=kx+k+1经过点(m,n+3)和(m+1,2n-1),且0y2 C.y1≤y2 D.y1≥y2 4.在平面直角坐标系中,将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度,所得图象的函数解析式是 ( ) A.y=3x+5 B.y=3x-5 C.y=3x+1 D.y=3x-1
核心方法
　　一次函数图象平移的规律
上加下减,左加右减.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象向上或向下平移m(m>0)个单位长度后的解析式为y=kx+(b±m);向左或向右平移m个单位长度后的解析式为y=k(x±m)+b.
热点训练 5.若一次函数y=x+b(b是常数)的图象经过第一、第二、第三象限,则b的值可以是 (写出一个即可).
考向2 一次函数与方程(组) 、一元一次不等式　6年1考
6.(2021·福建)如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则不等式k(x-1)+b>0的解集是 ( )
A.x>-2
B.x>-1
C.x>0
D.x>1
热点训练 7.在同一平面直角坐标系中,直线y=-x+4与y=2x+m相交于点P(3,n),则关于x,y的方程 组的解为 ( ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)与y2=mx+n(m≠0)的图象如图所示,则下列结论错误的是 ( ) A.y1随x的增大而减小 B.by2 D.关于x,y的方程组的解为
核心方法
　　一次函数图象的两个特点
1.一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它经过点(0,b),-,0,由k,b的符号可确定直线所经过的象限.
2.求两条直线的交点坐标即求这两个解析式组成的二元一次方程组的解.
考向3 一次函数的实际应用　6年3考
9.(2022·福建)某学校在开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动中,八年级(1)班负责校园
某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植
共46盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元,吊兰每盆6元.
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰,问可购买绿萝和吊兰各多少盆
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最小值.
10.(2021·福建)某公司经营某种农产品,零售一箱该农产品的利润是70元,批发一箱该农产品的利润是40元.
(1)已知该公司某月卖出100箱这种农产品,共获利润4600元,问该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少
(2)经营性质规定,该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品,问应如何规划零售和批发的数量,才能使总利润最大 最大总利润是多少
11.(2020·福建)某公司经营甲、乙两种特产,其中甲特产每吨成本价为10万元,销售价为10.5万元;乙特产每吨成本价为1万元,销售价为1.2万元.由于受有关条件限制,该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨,且甲特产的销售量都不超过20吨.
(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元,问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨
(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.
热点训练 12.一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3分钟时,再打开出水管排水,8分钟时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完.在整个过程中,容器中的水量y(单位:升)与时间x(单位:分)之间的函数关系如图所示,则图中a的值为 .
核心突破·拓思维
考点1 一次函数的图象和性质
(原创)已知关于x的函数y=mx+3-m.
(1)若函数图象经过原点,则m的值是 .
(2)若函数图象与y轴的交点坐标为(0,-2),则m的值是 .
(3)若函数图象平行于直线y=3x-3,则m的值是 .
(4)若函数y随着x的增大而减小,则m的取值范围是 .
(5)若函数图象不经过第二象限,则m的取值范围是 .
(6)若函数图象与坐标轴围成图形的面积为2,则m的值是 .
(7)若直线y=-x+2与直线y=mx+3-m的交点在第一象限,则m的取值范围是 .
(8)对于函数y=2x+1,若当x<0时,总有mx+3-m>2x+1,则m的取值范围是 .
(9)已知平面直角坐标系上的点A(1,3),B(0,2),C(-2,6),若直线y=mx+3-m将△ABC分成面积相等的两部分,则m的值是 .
(10)若直线y=-2x与直线y=mx+3-m关于直线y=n对称,求m,n的值.
考点2 一次函数的应用
某学校、某电影院、市体育馆依次在一条东西向的路上.某日,甲同学在距离学校200 m的电影院看电影,在电影院内停留60 min后,以70 m/min的速度步行10 min后到达市体育馆.甲同学和学校的距离s(单位:m)与时间t(单位:min)的关系如图所示.
(1)求甲同学与学校的距离s关于时间t的函数解析式.
(2)乙同学在甲到达电影院53 min后从学校出发,以50 m/min的速度步行去市体育馆,他们会在路上相遇吗 请说明理由.
核心方法
　　用一次函数解决实际问题的方法
1.在几何问题、实际问题中建立一次函数模型,并结合方程、不等式的有关知识求解,要特别注意确定一次函数的解析式.
2.在求一次函数的解析式时,要注意自变量的取值范围应受实际条件的制约.
鞋业是福建省莆田市的支柱产业、当家产业,历经30多年的发展,莆田已经成为世界知名运动鞋制造基地.某鞋厂准备生产A,B两种品牌运动鞋共100万双,已知生产1双A种品牌和1双B种品牌运动鞋共需成本185元,且每双B种品牌运动鞋成本比A种高15元.
(1)分别求A,B两种品牌运动鞋每双的成本.
(2)该鞋厂主动扛起对口帮扶某乡村振兴的历史使命,每售出1双A种品牌运动鞋就捐出a元.根据市场供需情况,计划生产A种品牌运动鞋至少60万双,B种品牌运动鞋至少20万双.已知A,B两种品牌的运动鞋每双售价分别为115元,125元,该鞋厂如何安排生产才能获得最大利润
世界读书日来临之际,育知书店决定用不多于23 000元购进甲、乙两种图书共1 000本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本25元、20元,甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍.若用2 800元在育知书店购买甲种图书的本数比用1 750元购买乙种图书的本数多10本.
(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元
(2)育知书店为了让利给读者,决定将甲种图书售价每本降低3元,乙种图书售价每本降低1元,那么,育知书店销售完购进的这两种图书后,所获利润能否达到5 830元
参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①增大　②减小　③=　④>　⑤<　⑥一、三、四
⑦(0,b)　⑧-,0
基础演练
1.解析:(1)函数y=3x-3的图象如图1所示.
(2)(1,0)　(0,-3)　　(3)<
(4),或,
提示:如图2,设M(m,m),则N(m,3m-3),MN=|3m-3-m|=2,解得m1=,m2=,则点M的坐标为,或,.
2.y=2x+4　3.4
真题精粹·重变式
1.C　2.D　3.A　4.D　5.1(答案不唯一,满足b>0即可)　6.C　7.B　8.B
9.解析:(1)设购买绿萝x盆,吊兰y盆,
依题意得
解得
∵8×2=16,16<38,
∴符合题意.
答:购买绿萝38盆,吊兰8盆.
(2)设购买绿萝m盆,则购买吊兰(46-m)盆,
依题意得m≥2(46-m),
解得m≥.
设购买两种绿植的总费用为w元,则w=9m+6(46-m)=3m+276,
∵3>0,
∴w随m的增大而增大.
又∵m≥,且m为整数,
∴当m=31时,w取得最小值,最小值为3×31+276=369.
答:购买两种绿植总费用的最小值为369元.
10.解析:(1)设该公司当月零售这种农产品x箱,则批发这种农产品(100-x)箱,
依题意得70x+40(100-x)=4600,
解得x=20,
100-20=80(箱).
答:该公司当月零售这种农产品20箱,批发这种农产品80箱.
(2)设该公司零售这种农产品m箱,则批发这种农产品(1 000-m)箱,
依题意得m≤1 000×30%,
解得m≤300.
设该公司获得的总利润为y元,
依题意得y=70m+40(1 000-m),
即y=30m+40 000,
∵30>0,y随着m的增大而增大,
∴当m=300时,y取最大值,此时y=30×300+40 000=49 000(元),
∴批发这种农产品的数量为1 000-m=700(箱).
答:当该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300和700时,获得最大总利润,最大总利润为49 000元.
11.解析:(1)设销售甲种特产x吨,则销售乙种特产(100-x)吨,
10x+(100-x)×1=235,
解得x=15,
∴100-x=85.
答:这个月该公司分别销售甲、乙两种特产15吨、85吨.
(2)设总利润为w元,销售甲种特产a吨,
w=(10.5-10)a+(1.2-1)×(100-a)=0.3a+20,
∵0≤a≤20,
∴当a=20时,w取得最大值,此时w=26.
答:该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元.
12.
核心突破·拓思维
例1　解析:(1)3.　(2)5.　(3)3.　(4)m<0.　(5)m≥3.
(6)1或9.
提示:设直线y=mx+3-m与x轴,y轴分别交于点A,B,
把x=0代入y=mx+3-m,得y=3-m,把y=0代入y=mx+3-m,得x=,
则A,0,B(0,3-m),即OA=,OB=|3-m|,∴OA·OB=|3-m|·=2,
∴(m-3)2=4|m|,即m2-6m+9=4m或m2-6m+9=-4m(该方程无解,舍去),
解得m1=1,m2=9.
(7)m>1或m<-3.
图1
提示:如图1,由函数y=mx+3-m=m(x-1)+3可得,不论m取何值,图象过定点P(1,3).
∵直线y=-x+2与x轴,y轴的交点分别为N(2,0),M(0,2),
∴直线PM,PN的解析式分别为
PM:y=x+2,PN:y=-3x+6,
∴结合图象可得m>1或m<-3.
(8)m<2.
提示:当x<0时,总有mx+3-m>2x+1,即当x<0时,函数y=mx+3-m的图象在函数y=2x+1的图象上方.∵y=2x+1的图象与y轴的交点为(0,1),y=mx+3-m的图象与y轴的交点为(0,3-m),即3-m>1,解得m<2.
(9)-.
提示:如图2,由函数y=mx+3-m可得,不论m取何值,图象过定点(1,3).直线y=mx+3-m将△ABC分成面积相等的两部分,即直线y=mx+3-m必经过线段BC的中点,由中点公式可求得BC中点的坐标为(-1,4),把点(-1,4)的坐标代入y=mx+3-m,得m=-.
图2
(10)如图3,由函数y=mx+3-m可得,不论m取何值,图象过定点P(1,3).在y=-2x中,当x=1时,y=-2,令Q(1,-2).∵两直线关于直线y=n对称,即点P,Q关于直线y=n对称,又PQ的中点坐标为1,,∴n=.设直线y=-2x与直线y=mx+3-m的交点为H,∵y=-2x,当y=时,x=-,∴H-,,即函数y=mx+3-m的图象经过点H-,,代入可得m=2.
图3
例2　解析:(1)由题可设lAB的解析式为s=kt+b(k≠0).
依题意,体育馆与学校的距离为70×10+200=900 m,所以B(70,900).
把点A(60,200),B(70,900)的坐标分别代入s=kt+b,得
解得
所以lAB的解析式为s=70t-4 000(60≤t≤70).
所以甲同学与学校的距离s关于时间t的函数解析式为
s=
(2)他们会在路上相遇,理由如下:
由题可知,对于乙同学,s与t的关系为s=50(t-53),53≤t≤71.
即s=50t-2 650(53≤t≤70).
当53≤t<60时,甲在电影院内,乙在路上行走,两人不会相遇;
当60≤t≤70时,解方程组可得t=67.5.
因为60≤67.5≤70,即在甲从电影院到体育馆的路上,两人会相遇.
所以他们会在路上相遇.
变式1　解析:(1)设生产A种品牌运动鞋每双的成本为m元,B种品牌运动鞋每双的成本为n元,
依题意得
解得
答:生产A种品牌运动鞋每双的成本为85元,B种品牌运动鞋每双的成本为100元.
(2)设生产A种品牌运动鞋x万双,则生产B种品牌运动鞋(100-x)万双,
则利润w=(115-85)x+(125-100)(100-x)-ax=(5-a)x+2500.
又
解得60≤x≤80.
①当5-a>0,即a<5时,w随x的增大而增大,
∴此时当x=80时,wmax=2900-80a;
②当5-a=0,即a=5时,w=2500;
③当5-a<0,a>5时,w随x的增大而减小,∴此时当x=60时,wmax=2800-60a.
综上所述,当a<5时,鞋厂选择生产A种品牌运动鞋80万双,B种品牌运动鞋20万双能获得最大利润;
当a=5时,利润均为2500万元;
当a>5时,鞋厂选择生产A种品牌运动鞋60万双,B种品牌运动鞋40万双能获得最大利润.
变式2　解析:(1)设乙种图书的售价为x元/本,
则=+10,
解得x=25,
经检验,x=25是所列方程的解,
∴1.4x=35.
答:甲、乙两种图书的售价分别为每本35元、25元.
(2)设甲种图书进货a本,售完这两种图书的利润为w元,
则25a+20(1 000-a)≤23 000,即a≤600.
w=(35-25-3)a+(25-20-1)(1 000-a)=3a+4 000,
∵3>0,
∴w随a的增大而增大,
∴当a=600时,w有最大值,最大值为3×600+4 000=5 800<5 830,
∴所获利润不能达到5 830元.

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