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第3节　反比例函数
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 反比例函数的概念
反比例函数 定义 形如y=(k为常数,k≠0)的函数叫作反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数
标准形式 y=,其他表达形式:y=kx-1或xy=k(k为常数,k≠0)
结构特征 k≠0,以分式的形式出现,分母中x的指数为1
函数关系 判断 判定两个变量是否成反比例函数关系,需看它们能否写成反比例函数的表达式,或者两个变量的积是不是一个固定且不为0的常数
知识点2 反比例函数的图象与性质
反比例函数 y=
k的符号 k>0 k<0
图象
性质 图象的两个分支分别位于第一、三象限,在各个分支上,y随x的增大而① 图象的两个分支分别位于第② 象限,在各个分支上,y随x的增大而③
对称性 是中心对称图形——关于④ 成中心对称
是轴对称图形——既关于直线y=x对称,也关于直线⑤ 对称
易错警示 比较反比例函数值的大小时,首先要判断自变量的取值是否同号,即看它们是否在同一个象限内,若不在,则不能运用性质进行比较,此时可以通过画草图直观地判断
技巧提醒
1.反比例函数的图象是由两条曲线组成的,且关于原点成中心对称;
2.连线时,注意要用平滑的曲线连接各点;3.随着|x|的增大,双曲线逐渐向坐标轴靠近,但永远不与坐标轴相交,因为在反比例函数y=中,x≠0且y≠0.
知识点3 反比例函数中“k”的几何意义
一点一垂线(及变形):S阴影=
一点两垂线(及变形):S阴影=⑥ 两点一垂线:S阴影=⑦
两点两垂线:S阴影=⑧
知识点4 利用函数图象确定不等式ax+b>或ax+b<的解集的方法(三线四区法)
如图,过交点A(xa,ya),B(xb,yb)分别作x轴的垂线,它们连同y轴把平面分为四部分,相应标为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 在Ⅰ、Ⅲ部分,反比例函数图象位于一次函数图象的上方,则不等式ax+b<的解集为x在Ⅱ、Ⅳ部分,反比例函数图象位于一次函数图象的下方,则不等式ax+b>的解集为⑨
【基础演练】
1.(原创)已知反比例函数y=.
(1)在平面直角坐标系中画出y=的图象.
(2)该反比例函数的图象在第 象限,且在每个象限内,y随x的增大而 .
(3)当y>1时,x的取值范围为 ;当x>2时,y的取值范围为 .
(4)若(-3,a),(1,b),(2,c)是该反比例函数图象上的点,则a,b,c的大小关系是 (用“<”连接).
(5)在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A,B,
点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为 .
2.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,顶点A,C在双曲线y=(k1>0)上,顶点B,D在双曲
线y=(k2<0)上,且BD经过点O.若k1+k2=8,则菱形ABCD面积的最小值是 .
真题精粹·重变式
考向1 反比例函数的概念、图象与性质及k的几何意义6年3考
1.(2024·福建)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与☉O交于A,B两点,且点A,B都在第一象限.若点A(1,2),则点B的坐标为 .
2.(2022·福建)已知反比例函数y=的图象分别位于第二、四象限,则实数k的值可以是 (需写出一个符合条件的实数).
3.(2021·福建)若反比例函数y=的图象过点(1,1),则k的值等于 .
热点训练 4.已知反比例函数y=(k≠0),且在各自象限内,y随x的增大而增大,则下列点可能在这个函数图象上的是 ( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(3,0) D.(-3,0) 5.如图,在平面直角坐标系中有P,Q,M,N四个点,其中恰有三点在反比例函数y=(k>0)的图象上. 根据图中四点的位置,判断这四个点中不在函数y=的图象上的点是 ( ) A.P B.Q C.M D.N
核心方法
　　反比例函数图象的3个重要特点
1.反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它们关于原点成中心对称.
2.反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不能与坐标轴相交,在画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势.
3.反比例函数图象的位置和函数的增减性,是由k的符号决定的;反比例函数的图象位置和函数的增减性可以判断k的符号.
考向2 反比例函数与一次函数
热点训练 6.如图,直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则△ABC面积的最小值为 .
考向3 反比例函数与特殊四边形　6年3考
7.(2023·福建)如图,正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=和y=的图象的四个分支上,则实数n的值为 ( )
A.-3 B.- C. D.3
8.(2020·福建)设A,B,C,D是反比例函数y=图象上的任意四点,现有以下结论:
①四边形ABCD可以是平行四边形;
②四边形ABCD可以是菱形;
③四边形ABCD不可能是矩形;
④四边形ABCD不可能是正方形.
其中正确的结论是 (写出所有正确结论的序号).
9.(2019·福建)如图,菱形ABCD的顶点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,函数y=(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,且经过B,D 两点,若AB=2,∠DAB=30°,则k的值为 .
热点训练 10.(拓展)如图,矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为 . 11.如图,△OAB为等边三角形,点B在x轴的正半轴上,S△OAB=4.若反比例函数y=(k≠0)图象的一支经过点A,则k的值是 ( ) A. B.2 C. D.4
考向4 反比例函数的实际应用
热点训练 12.已知电灯电路两端的电压U为220 V,通过灯泡的电流强度I(单位:A)的最大限度不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R(单位:Ω),下列说法正确的是 ( ) A.R至少2 000 Ω B.R至多2 000 Ω C.R至少24.2 Ω D.R至多24.2 Ω 13.密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图所示,当V=5 m3时,ρ=1.98 kg/m3. (1)求密度ρ关于体积V的函数解析式. (2)若3≤V≤9,求二氧化碳密度ρ的变化范围.
核心突破·拓思维
考点1 反比例函数与特殊四边形
如图,在矩形OABC和正方形CDEF中,点A在y轴正半轴上,点C,F均在x轴正半轴上,点D在边BC上,BC=2CD,AB=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上,则这个反比例函数的表达式是 .
核心方法
　　对于反比例函数与特殊四边形知识综合考查的问题,解决的重点应在图形和图象都具有的对称性这一性质,通过解决特殊四边形的点、线段、面积等问题,转化为反比例函数图象上的点的坐标或反比例函数面积的相关问题,从而解决问题.
如图,菱形ABCD的两个顶点A,C在反比例函数y=的图象上,对角线AC,BD的交点恰好是坐标原点O,已知B(-1,1),∠ABC=120°,则k的值是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
如图,矩形OABC的顶点A在反比例函数y=(x<0)的图象上,顶点B,C在第一象限,对角线AC∥x轴,且交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6,cos∠OAC=,则k= .
考点2 求反比例函数的比例系数k
如图,矩形ABCD的边AB与y轴平行,顶点A的坐标为(1,m),C(3,m+6),反比例函数y=(x>0)的图象同时经过点B与点D,则k的值为 .
如图,一次函数y=x-1的图象与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象相交于点A(m,2),与y轴交于点B.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)点D在一次函数y=x-1的图象上,且横坐标为4,过点D作y轴的平行线,交反比例函数的图象于点E,连接BE.求△BDE的面积.
参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①减小　②二、四　③增大　④原点　⑤y=-x　⑥|k|
⑦|k|　⑧2|k|　⑨xbxa
基础演练
1.(1)
(2)一、三　减小　(3)0(5)(-1,-2)
2.16
真题精粹·重变式
1.(2,1)　解析:根据圆和反比例函数都是轴对称图形,点A与点B关于直线y=x对称.
设直线AB的解析式为y=-x+b,
将点A(1,2)的坐标代入得2=-1+b,解得b=3,
∴直线AB的解析式为y=-x+3.
∵点A(1,2)在反比例函数图象上,
∴反比例函数的解析式为y=.
联立方程组
解得或
∴点B(2,1).
故答案为(2,1).
2.-2　3.1　4.B　5.C　6.6
7.A　解析:如图,连接正方形的对角线.由正方形的性质知对角线交于原点O,过点A,B分别作x轴的垂线.垂足分别为C,D,点B在函数y=上.
∵四边形是正方形,
∴AO=BO,∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°,
∴∠CAO=90°-∠AOC=∠BOD,
∴△AOC≌△OBD(AAS),
∴S△AOC=S△OBD==.
∵点A在第二象限,
∴n=-3.
故选A.
8.①④　9.6+2　10.　11.D　12.A
13.解析:(1)设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=(k≠0).
∵当V=5 m3时,ρ=1.98 kg/m3,
∴1.98=,∴k=9.9,
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=(V>0).
(2)∵k=9.9>0,
∴当V>0时,ρ随V的增大而减小,
∴当3≤V≤9时,≤ρ≤,
即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3.
核心突破·拓思维
例1　y=　解析:∵四边形OABC是矩形,
∴OC=AB=3.
∵四边形CDEF是正方形,
∴CD=CF=EF.
∵BC=2CD,
∴设CD=m,BC=2m,
∴B(3,2m),E(3+m,m).
设该反比例函数的表达式为y=,
∴3×2m=(3+m)·m,解得m=3或m=0(不合题意,舍去),
∴B(3,6),∴k=3×6=18,
∴这个反比例函数的表达式是y=.
变式1　C　解析:∵四边形ABCD是菱形,
∴BA=AD,AC⊥BD.
∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∵点B(-1,1),∴OB=,∴AO==.
∵直线BD的解析式为y=-x,∴直线AC的解析式为y=x.
∵OA=,∴点A的坐标为(,).
∵点A在反比例函数y=的图象上,
∴k=×=3.故选C.
变式2　-
例2　9
变式　解析:(1)将y=2代入y=x-1得x=6,
∴点A的坐标为(6,2).
∵点A在反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象上,
∴k=2×6=12,
∴反比例函数的表达式为y=(x>0).
(2)将x=4代入一次函数y=x-1得y=1,即点D的坐标为(4,1),
∴点E的坐标为(4,3),
∴DE=3-1=2,∴S△BDE=DE·xD=×2×4=4.

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