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第4节　二次函数的图象与性质
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 二次函数的表达式
1.表达式的三种形式
一般式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c
顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 其中① 为顶点坐标
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 其中x1,x2为函数图象与x轴交点的横坐标
注:一般式通过配方法可转化为顶点式,通过因式分解可转化为交点式.
2.待定系数法确定二次函数的表达式
待定系数法
知识点2 二次函数的图象与性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象
顶点坐标 -,② -,
对称轴 x=- x=-
开口方向 向上 向下
（续表）
增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而③ 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而④
最值 当x=-时,最小值为 当x=-时,最大值为
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系
1.a决定开口方向与大小
2.a,b决定对称轴x=-的位置
3.c决定与y轴的交点位置
知识点4 二次函数图象的平移
y=ax2的图象y=a(x-h)2的图象y=a(x-h)2+k的图象
知识点5 二次函数与一元二次方程的关系
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)实际上是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在y=0时的一个特例.可用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式来判断二次函数图象与x轴的交点个数.
判别式 Δ=b2-4ac y=ax2+bx+c(a≠0) ax2+bx+c=0(a≠0) 图象分布
a>0 a<0
Δ>0 图象与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0), 且x1,2= 方程有⑦ 的实数根x1,x2,且x1,2=
Δ=0 图象与x轴有唯一交点(x1,0),且x1=- 方程有⑧ 的实数根x1,x2,且x1=x2=-
（续表）
Δ<0 图象与x轴无交点 方程无实数根
2.利用图象可确定不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集,也可比较一次函数与二次函数值的大小.
【基础演练】
1.(原创)如图,结合二次函数y=x2+4x-2的图象,请回答下列问题:
(1)抛物线开口向 .
(2)抛物线的顶点坐标为 .
(3)抛物线的对称轴为 .
(4)抛物线与y轴的交点坐标为 ,与x轴的交点坐标为 .
(5)当 时,y有最小值,最小值为 .
(6)当 时,y随x的增大而增大;当 时,y随x的增大而减小.
(7)若(-5,y1),(-3,y2),(2,y3)在抛物线上,则y1,y2,y3按从小到大的排序为 .
2.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A,B,且点A的横坐标在-1和0之间,图象与y轴交于负半轴,对称轴为直线x=1.对于该二次函数,下列结论正确的为 .(填序号)
①b2>4ac;
②a-b+c>0;a+b+c<0;
③若点(-0.1,y1),(1.5,y2)均在抛物线上,则y1>y2;
④a>0,b>0,c<0;
⑤点(2,c)一定在该抛物线上;
⑥2a+b=0;
⑦am2+bm≥a+b.
真题精粹·重变式
考向1 二次函数的图象与性质　6年6考
1.(2024·福建)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过A,B(3a,y2)两点,则下列判断正确的是 ( )
A.可以找到一个实数a,使得y1>a
B.无论实数a取什么值,都有y1>a
C.可以找到一个实数a,使得y2<0
D.无论实数a取什么值,都有y2<0
2.(2021·福建)二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点,下列说法一定正确的是 ( )
A.若y1y2>0,则y3y4>0
B.若y1y4>0,则y2y3>0
C.若y2y4<0,则y1y3<0
D.若y3y4<0,则y1y2<0
3.(2020·福建)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是二次函数y=ax2 -2ax图象上的点,以下结论正确的是 ( )
A.若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2
B.若|x1-1|>|x2-1|,则y1C.若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2
D.若y1=y2,则x1=x2
4.(2019·福建)若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1C.y35.(2023·福建)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y1),B(n-1,y2)两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且y16.(2022·福建)已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A,B两点,抛物线y=x2-2x-n与x轴交于C,D两点,其中n>0.若AD=2BC,则n的值为 .
考向2 二次函数的实际应用
热点训练 7.如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏. (1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用的旧墙AD的长. (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
核心突破·拓思维
考点 二次函数图象与性质
(原创)已知二次函数y=x2-4x+3,在所给的平面直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象.
(1)列表如下:
自变量x … 0 1 2 3 4 …
函数值y … 0 3 …
(2)描点,连线(用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序连接,注意自变量的取值范围).
(原创)结合函数表达式y=x2-4x+3及其图象解决下列问题.
(1)将函数写成y=(x+h)2+k的形式: .
(2)函数图象的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 .
(3)当x 时,y随x的增大而增大,当x 时,y随x的增大而减小.
(4)将抛物线y=x2先向右平移 个单位长度,再把得到的图象向 平移1个单位长度可以得到二次函数y=x2-4x+3的图象.
(5)当-1≤x≤时,y的取值范围为 ;当1≤x≤5时,y的取值范围为 .
(6)当x= 时,y=0;当x 时,y>0;当 时,y<0.
(7)当0≤x≤m(m>0)时,求y的最大值与最小值.
拓展:当x>2时,函数y=x2 -4ax+3的图象始终保持上升趋势,求a的取值范围.
核心方法
在填空题或选择题中对二次函数的图象与性质的考查,主要以考查函数的对称轴、增减、最值(区间极值)知识为主,函数多以多参数形式出现.解决此类问题的关键:
1.关于增减性、最值的问题利用对称性将点转到对称轴同侧;
2.将图象交点问题转化为函数与方程、不等式问题;
3.将函数有关知识的考查转化到研究函数图象上点的特征,再借助数形结合、参数推理运算.
已知点P(-2,y1),Q(4,y2),M(m,y3)均在抛物线y=ax2+bx+c上,其中2am+b=0.若y3≥y2>y1,则m的取值范围是 ( )
A.m<-2 B.m>1
C.-2如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中00;③2a-c>0;④不等式ax2+bx+c>-x+c的解集为0已知点A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线y=ax2-2ax+4(a≠0)上,若x1A.当a>-1时,y1B.当a>-1时,y1>y2
C.当a<-1时,y1D.当a<-1时,y1>y2
已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是 ( )
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
如图,二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标.
(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.
①当m=2时,求n的值;
②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.
参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①(h,k)　②　③增大　④减小　⑤左侧　⑥右侧　⑦两个不相等　⑧两个相等
基础演练
1.(1)上　(2)(-2,-6)　(3)x=-2　(4)(0,-2)　(-2-,0),(-2+,0)　(5)x=-2　-6　(6)x>-2　x<-2　(7)y22.①②③⑤⑥⑦
真题精粹·重变式
1.C　解析:∵二次函数的解析式为y=x2-2ax+a(a≠0),
∴该二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=-=a,顶点坐标为(a,a-a2).
当a>0时,0<∴a-a2当a<0时,a<<0,
∴a-a2故A,B错误.
当a>0时,0a>0;
当a<0时,3a<2aa,不一定大于0.
故C正确,D错误.
故选C.
2.C　3.C　4.D
5.-1∵a>0,
∴抛物线开口向上.
∵y1∴若点A在对称轴x=1的左侧,点B在对称轴x=1的右侧,
则由题意可得
不等式组无解;
若点B在对称轴x=1的左侧,点A在对称轴x=1的右侧,
则由题意可得
解得-1∴n的取值范围为-1故答案为-16.8　解析:针对于抛物线y=x2+2x-n,
令y=0,则x2+2x-n=0,
∴x=-1±.
针对于抛物线y=x2-2x-n,
令y=0,则x2-2x-n=0,
∴x=1±.
∵抛物线y=x2+2x-n=(x+1)2-n-1,
∴抛物线y=x2+2x-n的顶点坐标为(-1,-n-1).
∵抛物线y=x2-2x-n=(x-1)2-n-1,
∴抛物线y=x2-2x-n的顶点坐标为(1,-n-1),
∴抛物线y=x2+2x-n与抛物线y=x2-2x-n的开口大小一样,与y轴相交于同一点,顶点到x轴的距离相等,
∴AB=CD.
∵AD=2BC,
∴抛物线y=x2+2x-n与x轴的交点A在左侧,B在右侧,抛物线y=x2-2x-n与x轴的交点C在左侧,D在右侧,
∴A(-1-,0),B(-1+,0),C(1-,0)m,D(1+,0),
∴AD=1+-(-1-)=2+2,
BC=-1+-(1-)=-2+2,
∴2+2=2×(-2+2),
∴n=8.
7.解析:(1)设AB=x米,则BC=(100-2x)米,
根据题意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45.
当x=5时,100-2x=90>20,不符合题意,舍去;
当x=45时,100-2x=10.
答:AD的长为10米.
(2)设AD=y米,
∴S=y(100-y)=-(y-50)2+1 250.
若a≥50,则当y=50时,S的最大值为1 250;
若0综上所述,当a≥50时,S的最大值为1 250;当0核心突破·拓思维
例1　解析:(1)3;-1;0.
(2)描点,连线如下:
例2　解析:(1)y=(x-2)2-1　(2)上　x=2　(2,-1)
(3)>2　<2　(4)2　下 　(5)-≤y≤8　-1≤y≤8
(6)1或3　>3或<1　1(7)①当0②当2≤m≤4时,函数y的最大值为3,最小值为-1;
③当m>4时,函数y的最大值为m2-4m+3,最小值为-1.
拓展:解析:函数y=x2 -4ax+3的二次项系数为1>0,所以图象开口向上,对称轴右侧y随x的增大而增大,根据对称轴公式可求得函数y=x2 -4ax+3图象的对称轴为直线x=-=2a,
因为当x>2时,函数y=x2 -4ax+3的图象始终保持上升趋势,所以只需保证对称轴不在直线x=2的右侧,即2a≤2,解得a≤1.
变式1　B
变式2　①③
变式3　D　解析:由抛物线y=ax2-2ax+4(a≠0)得y=a(x-1)2+4-a,故抛物线的对称轴是直线x=1.
①当a>0时,抛物线开口向上,1-a<1,直线x==在对称轴x=1的左侧,即点A比点B距离对称轴更远,∴y1>y2.
②当-1∴当a>-1,且x1③当a<-1时,抛物线开口向下,1-a>2,直线x==在对称轴x=1的右侧,即点B比点A距离对称轴更远,∴y1>y2.
综合①②③,故选D.
变式4　D
变式5　解析:(1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,
得4-2a+3=3,∴a=2,∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴图象的顶点坐标为(-1,2).
(2)①由题意知点Q(2,n)在该二次函数图象上,
∴n=4+4+3=11.
②n的取值范围是2≤n<11.
提示:∵点Q到y轴的距离小于2,
∴|m|<2,∴-2

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