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第5节　二次函数综合
真题精粹·重变式
考向1 二次函数与直线型问题
1.(2023·福建)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,M为抛物线的顶点,C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点,记线段AB的中点为E,直线AD,BC的交点为P.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若C(4,3),Dm,-,且m<2,求证:C,D,E三点共线.
(3)小明研究发现:无论C,D在抛物线上如何运动,只要C,D,E三点共线,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由.
2.(2019·福建)已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.
(1)若抛物线与x轴的公共点的坐标为(2,0),求a,c满足的关系式.
(2)设A为抛物线上的一个定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B,C,直线BD垂直于直线y=-1,垂足为D.当k=0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式;
②证明:对于每个给定的实数k,都有A,D,C三点共线.
解题指南　(2)①直线y=kx+1-k=k(x-1)+1,过定点(1,1),且当k=0时,直线l为直线y=1,平行于x轴,与y轴的交点为(0,1),即可求解.
②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值,两个k值相等即可求解.
核心方法
　　函数背景下关于三点共线证明(设三个点依次为A,B,C)的解题思路
方法一:取任意两点确立一条直线,求出该直线的解析式,代入第三点坐标,看是否满足该解析式,若满足,则A,B,C三点共线.
方法二:利用两条直线重合的方法证明,分别求出直线的解析式,直线AB:yAB=k1x+b1,直线AC:yAC=k2x+b2,若k1=k2,则两直线重合,即A,B,C三点共线.
方法三:运用两点之间线段最短证明,利用两点间的距离公式分别求线段AC,AB,BC的长,若AB+BC=AC,则A,B,C三点共线.
方法四:运用角(或角的三角函数值)相等证明,设直线AB,AC与x轴的夹角分别为α,β,证明α=β或α,β的对应三角函数值相等,则可得A,B,C三点共线.
方法五:运用平角的概念证明,任取一点D,证明∠ABD+∠DBC=180°,则可得A,B,C三点共线.
考向2 二次函数与角度问题
热点训练 3.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),且抛物线上任意不同的两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x10;当0y2,解决以下问题: ①求证:BC平分∠MBN. ②求△MBC外心的纵坐标的取值范围.
解题指南　(1)由点A的坐标确定出c的值,根据已知不等式判断出y1-y2<0,可得出抛物线的增减性,确定抛物线的对称轴为y轴,且开口向下,求出b的值,易得△ABC为等边三角形,确定点B的坐标,代入抛物线解析式即可. (2)①设点M(x1,-+2),N(x2,-+2),由MN与已知直线平行,得到k值相同,表示出直线MN的解析式,进而表示出ME,BE,NF,BF,求出tan∠MBE与tan∠NBF的值相等,进而得到BC为角平分线; ②三角形的外心即三条垂直平分线的交点,得到y轴为BC的垂直平分线,设点P为外心,利用勾股定理化简PB2=PM2,确定出△MBC外心的纵坐标的取值范围即可.
核心方法
　　函数背景下证明等角、倍角及和差的方法
方法一:通过构造直角三角形,求解角的相同三角函数值来证明角相等.
方法二:通过构造三角形(四边形),然后运用两点间的距离公式求出线段的长,证明该三角形为等腰三角形(特殊四边形),然后运用特殊图象的几何性质证明角相等或倍角.
方法三:运用角平分线的性质解决.
考向3 二次函数与最值及面积问题
4.(2024·福建)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A(-2,0),点C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式.
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
5.(2022·福建)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,4)两点.P是抛物线上一点,且在直线AB的上方.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若△OAB的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.
(3)OP交AB于点C,PD∥BO交AB于点D.记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为S1,S2,S3.判断+是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
解题指南　(2)过点P作PM⊥x轴于点M,PM与AB交于点N,过点B作BE⊥PM于点E.分别表达△OAB和△PAB的面积,根据题意列出方程求出PN的长.设出点P的坐标,进而表示PN的长,最后求出点P的坐标.
(3)由PD∥OB,可得△DPC∽△BOC,所以CP∶CO=CD∶CB=PD∶OB,又因为=,=,所以+=.设直线AB交y轴于点F,则F0,.过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH交AB于点G,易证△PDG∽△OBF,所以PD∶OB=PG∶OF.设Pn,-n2+n(16.(2023·张家界)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)和B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,6).D为线段BC上的一动点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)如图1,求△AOD周长的最小值.
图1
(3)如图2,过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S,当S取得最大值时,求点P的坐标,并求出此时S的最大值.
图2
核心方法
　　函数背景下有关面积问题的解决方法
函数背景下的面积问题,主要是求三角形面积,四边形面积问题也可转化为求三角形面积问题.对于有关线段、周长、面积的最值问题,统一的解决方法是列出函数关系式,再根据函数的增减性求出最值.
　　三角形面积的求法一般分以下几种情况:
方法一:三角形有一边平行于坐标轴的,通过作这一边的垂线可求得该三角形面积.
方法二:三角形三边都没有平行坐标轴的,过顶点作坐标轴的垂线,利用三角形的面积=(水平宽×竖直高)求解.
方法三:通过作平行线,运用同底等高或等底等高的三角形面积相等这一原理,转化为面积相等且可以直接求解面积的方法求解.
考向4 二次函数与特殊多边形存在性问题的探究
热点训练 7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,-2),B(4,0)两点,直BC:y=-2x+8 交y轴于点C.D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F. (1)求该抛物线的表达式. (2)当GF=时,连接BD,求△BDF的面积. (3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标; ②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值. 解题指南　(3)①过点H作HM⊥EF于点M,证明△EMH≌△FGB(AAS),推出MH=GB,EM=FG,由HM=OG,可得OG=GB=OB=2,由题意直线AB的解析式为y=x-2,设E(a,-2a+8),Fa,a-2,根据MH=BG,构建方程求解,可得结论. ②因为△PHB的周长=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,所以要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小,因为PC+PB≥BC,所以当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小.
核心方法
　　函数背景下存在性问题的解题思路
函数背景下的存在性问题是一类考查在已知函数图象上是否存在某特殊点,使得该点与已知点构成特殊图象或取极值的问题,主要包括存在特殊三角形(等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形),特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形),以及存在与已知的三角形全等或相似的情况,还有构成的线段和差、三角形面积(周长)、四边形面积(周长)取最大(小)值.通常结合动点、函数与几何采用分类讨论、画分类简图、建立等式计算来解决.
代数法:找出动点所在的函数解析式,设出动点坐标并用一个未知数表示.运用两点间的距离公式,用参数表示出相关线段的长度.
(1)等腰三角形,通过线段相等得到代数等式.
(2)直角三角形,运用勾股定理获得等式,或k1·k2=-1.
(3)平行四边形,根据平移性质,运用平移前后对应点横纵坐标之间的差相等列出等式.
几何法:①直角三角形可构造相似三角形(通常为K型)得出等式;②等腰三角形通过三线合一求解;③全等或相似通过目标三角形边角关系,进而表达线段长,通过比例式得到等式;④矩形、菱形问题可以转化为直角三角形和等腰三角形问题加以解决.
8.(2023·湘潭)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,其中B(1,0),C(0,3).
(1)求这个二次函数的表达式. (2)在二次函数图象上是否存在点P,使得S△PAC=S△ABC 若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)Q是对称轴l上一点,且点Q的纵坐标为a,当△QAC是锐角三角形时,求a的取值范围.
参考答案
真题精粹·重变式
1.解析:(1)因为抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0),B(3,0),
所以解得
所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.
(2)证明:设直线CE对应的函数表达式为y=kx+n(k≠0),
因为E为AB的中点,所以E(2,0).
又因为C(4,3),
所以解得
所以直线CE对应的函数表达式为y=x-3.
因为点Dm,-在抛物线上,所以m2-4m+3=-,
解得m=或m=,
又因为m<2,所以m=,
所以D,-.
因为×-3=-,即D,-满足直线CE对应的函数表达式,
所以点D在直线CE上,即C,D,E三点共线.
(3)△ABP的面积为定值,其面积为2.
提示:如图1,当C,D分别运动到点C',D'的位置时,C,D'与D,C'分别关于直线EM对称,此时仍有C',D',E三点共线.
设AD'与BC'的交点为P',则P,P'关于直线EM对称,即PP'∥x轴.
此时PP'与AM不平行,且AM不平分线段PP',
则P,P'到直线AM的距离不相等,即在此情形下△AMP与△AMP'的面积不相等,
所以△AMP的面积不为定值.
如图2,当C,D分别运动到点C1,D1的位置时,且保持C1,D1,E三点共线.此时AD1与BC1的交点P1到直线EM的距离小于点P到直线EM的距离,
所以△MEP1的面积小于△MEP的面积,故△MEP的面积不为定值.
又因为△AMP,△MEP,△ABP中存在面积为定值的三角形,故△ABP的面积为定值.
在(2)的条件下,∵A(1,0),B(3,0),C(4,3),D,-,
∴直线BC对应的函数表达式为y=3x-9,直线AD对应的函数表达式为y=-x+.
由解得
∴P,-2,此时△ABP的面积为2.
2.解析:(1)抛物线与x轴的公共点的坐标即函数的顶点坐标,
所以y=a(x-2)2=ax2-4ax+4a,
则c=4a.
(2)①如图1,直线y=kx+1-k=k(x-1)+1过定点(1,1),
且当k=0时,直线l为直线y=1,平行于x轴,与y轴的交点为(0,1).
图1
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴A为抛物线的顶点.
c=1,顶点A(1,0),抛物线的解析式为y=x2-2x+1.
②证明:如图2,由
图2
得x2-(2+k)x+k=0,
解得x=(2+k±),
∴xD=xB=(2+k-),yD=-1,
则D1+,-1,
yC=(2+k2+k),
∴C1+,1+,A(1,0),
∴直线AD表达式中的k值为
kAD==,
直线AC表达式中的k值为kAC=,
∴kAD=kAC,即A,C,D三点共线.
3.解析:(1)∵抛物线过点A(0,2),∴c=2.
当x10,得y1-y2<0,
∴当x<0时,y随x的增大而增大,
同理当x>0时,y随x的增大而减小,
∴抛物线的对称轴为y轴,且开口向下,即b=0.
以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,如图1所示,
图1
∴△ABC为等腰三角形.
∵△ABC中有一个角为60°,
∴△ABC为等边三角形,且OB=OA=2.
设线段BC与y轴的交点为D,则有BD=CD,且∠OBD=30°,
∴BD=OB·cos 30°=,OD=OB·sin 30°=1.
∵点B在点C的左侧,
∴点B的坐标为(-,-1).
∵点B在抛物线上,且c=2,b=0,
∴3a+2=-1,
解得a=-1,
则抛物线的解析式为y=-x2+2.
(2)①证明:由(1)知,点M(x1,-+2),N(x2,-+2).
∵直线MN与直线y=-2x平行,
∴设直线MN的解析式为y=-2x+m,则有-+2=-2x1+m,
即m=-+2x1+2,
∴直线MN的解析式为y=-2x-+2x1+2,
把y=-2x-+2x1+2代入y=-x2+2,解得x=x1或x=2-x1,
∴x2=2-x1,即y2=-(2-x1)2+2=-+4x1-10.
作ME⊥BC,NF⊥BC,垂足分别为E,F,如图2所示.
图2
∵点M,N位于直线BC的两侧,且y1>y2,则y2<-1∴ME=y1-(-1)=-+3,BE=x1-(-)=x1+,
NF=-1-y2=-4x1+9,BF=x2-(-)=3-x1.
在Rt△BEM中,tan∠MBE===-x1,
在Rt△BFN中,tan∠NBF=====-x1.
∵tan∠MBE=tan∠NBF,
∴∠MBE=∠NBF,
则BC平分∠MBN.
②∵y轴为BC的垂直平分线,
∴设△MBC的外心为P(0,y0),则PB=PM,即PB2=PM2,
根据勾股定理得3+(y0+1)2=+(y0-y1)2.
∵=2-y1,
∴+2y0+4=2-y1+(y0-y1)2,即y0=y1-1,
由①得-1∴-则△MBC外心的纵坐标的取值范围是-4.解析:(1)由题意,将A(-2,0),C(0,-2)代入 y=x2+bx+c得
∴
∴二次函数的表达式为y=x2+x-2.
(2)由题意,设点P(m,n)(m<0,n>0),
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,
∴=2,即=2,
∴=2.
又CO=2,
∴n=2CO=4.
由m2+m-2=4,
∴m1=-3,m2=2 (舍去).
∴点P的坐标为(-3,4).
5.解析:(1)将A(4,0),B(1,4)代入y=ax2+bx,
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x.
(2)解析设直线AB的解析式为y=kx+t,
将A(4,0),B(1,4)代入y=kx+t,
∴
解得
所以直线AB所对应的解析式为y=-x+.
∵A(4,0),B(1,4),
∴S△OAB=×4×4=8,
∴S△OAB=2S△PAB=8,即S△PAB=4.
如图1,过点P作PM⊥x轴于点M,PM与AB交于点N,过点B作BE⊥PM于点E,
图 1
∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=PN·BE+PN·AM=PN×3=PN=4,
∴PN=.
设点P的横坐标为m(1则Pm,-m2+m,
Nm,-m+,
∴PN=-m2+m--m+=,
解得m=2或m=3,
∴P2,或(3,4).
(3)存在.
∵PD∥OB,
∴∠DPC=∠BOC,∠PDC=∠OBC,
∴△DPC∽△BOC,
∴CP∶CO=CD∶CB=PD∶OB.
∵=,=,
∴+=.
如图2,设直线AB交y轴于点F,则F0,.过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH交AB于点G.
图2
∵∠PDC=∠OBC,
∴∠PDG=∠OBF.
∵PG∥OF,
∴∠PGD=∠OFB,∴△PDG∽△OBF,
∴PD∶OB=PG∶OF,
∴PG∶OF=CP∶CO.
设Pn,-n2+n(1由(2)可知,PG=-n2+n-,
∴+===PG=-n-2+.
∵1∴当n=时,+取得最大值,最大值为.
6.解析:(1)由题意可知,设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),
将(0,6)代入上式得6=a(0+2)(0-6),解得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-(x+2)(x-6)=-x2+2x+6.
(2)如图,作点O关于直线BC的对称点E,连接EC,EB.
∵B(6,0),C(0,6),∠BOC=90°,
∴OB=OC=6.
∵O,E关于直线BC对称,
∴四边形OBEC为正方形,
∴E(6,6),
连接AE,交BC于点D,由对称性|DE|=∣DO∣,
此时|DO|+|DA|有最小值,最小值为AE的长,
∴AE===10.
∵△AOD的周长为DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值为10,
∴△AOD的周长的最小值为10+2=12.
(3)由已知点A(-2,0),B(6,0),C(0,6).
设直线BC的表达式为y=kx+b.
将B(6,0),C(0,6)代入y=kx+b,
则
解得
∴直线BC的表达式为y=-x+6,
同理可得直线AC的表达式为y=3x+6.
∵PD∥AC,
∴可设直线PD的表达式为y=3x+a',
由(1)设Pm,-m2+2m+6,
将P点坐标代入直线PD的表达式得a'=-m2-m+6,
∴直线PD的表达式为y=3x-m2-m+6,
由
得
∴Dm2+m,-m2-m+6.
∵P,D都在第一象限,
∴S=S△PBD+S△PAD=S△PAB-S△DAB
=|AB|·-m2+2m+6--m2-m+6
=×8×-m2+m
=-m2+9m
=-(m2-6m)
=-(m-3)2+,
∵-<0,
∴当m=3时,S有最大值,最大值为,
此时P点的坐标为3,.
7.解析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过A(0,-2),B(4,0)两点,
∴
解得
∴y=x2-x-2.
(2)∵B(4,0),A(0,-2),
∴OB=4,OA=2.
∵GF⊥x轴,OA⊥x轴,
在Rt△BOA和Rt△BGF中,tan∠ABO==,
即=,
∴GB=1,
∴OG=OB-GB=4-1=3,
当x=3时,yD=×9-×3-2=-2,
∴D(3,-2),即GD=2,
∴FD=GD-GF=2-=,
∴S△BDF=·DF·BG=××1=.
(3)①如图1,过点H作HM⊥EF于点M.
图1
∵四边形BEHF是矩形,
∴EH∥BF,EH=BF,
∴∠HEF=∠BFE.
∵∠EMH=∠FGB=90°,
∴△EMH≌△FGB(AAS),
∴MH=GB,EM=FG.
∵HM=OG,
∴OG=GB=OB=2.
∵A(0,-2),B(4,0),
∴直线AB的解析式为y=x-2.
∵直线BC的解析式为y=-2x+8,EF⊥x轴.
∴E(2,4),F(2,-1),
∴FG=1,EG=4.
∵EM=FG,
∴4-yH=1,
∴yH=3,
∴H(0,3).
②如图2,BH===5.
图2
∵PH=PC+2,
∴△PHB的周长=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,
要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小.
∵PC+PB≥BC,
∴当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小.
∵BC===4,
∴△PHB周长的最小值为4+7.
8.解析:(1)将点B(1,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c,则
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴顶点坐标为(2,-1),
当y=0时,x2-4x+3=0,
解得x1=1,x2=3,
∴A(3,0),则OA=3.
∵C(0,3),则OC=3,
∴△AOC是等腰直角三角形.
∵S△PAC=S△ABC,
∴P到AC的距离等于B到AC的距离.
∵A(3,0),C(0,3),设直线AC的解析式为y=kx+3,
∴3k+3=0,解得k=-1,
∴直线AC的解析式为y=-x+3,
如图1,过点B作AC的平行线,交抛物线于点P,
图1
设BP的解析式为y=-x+d,将点B(1,0)代入得-1+d=0,解得d=1,
∴直线BP的解析式为y=-x+1,
解得或
∴P(2,-1).
∵PA==,PB==,AB=3-1=2,
∴PA2+PB2=AB2,
∴△ABP是等腰直角三角形,且∠APB=90°,
如图1,延长PA至点D,使得AD=PA,过点D作AC的平行线DE,交x轴于点E,则DA=PA,则符合题意的点P在直线DE上,
∵△APB是等腰直角三角形,DE∥AC,AC⊥PD,
∴∠DAE=∠BAP=45°,PD⊥DE,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=AD=AP=2,
∴E(5,0),设直线DE的解析式为y=-x+e,
∴-5+e=0,解得e=5,∴直线DE的解析式为y=-x+5.
联立
解得或
∴P,或P,.
综上所述,P(2,-1),P,或P,.
(3)①当a>0时,如图2,过点C作CG⊥AC交x=2于点G,当点Q与点G重合时,△ACQ是直角三角形,当∠AQC=90°时,△ACQ是直角三角形,
图2
设AC交x=2于点H,
∵直线AC的解析式为y=-x+3,
则H(2,1),
∴CH==2,
∴∠CHG=∠OCH=45°,
∴△CHG是等腰直角三角形,
∴HG=CH=×2=4,
∴G(2,5).
设Q(2,q),则AQ2=12+q2,CQ2=22+(q-3)2=q2-6q+13.
∵AC2=32+32=18,
∴18=q2-6q+13+12+q2,
解得q=(舍去)或q=,
∴Q2,.
∵△QAC是锐角三角形,
∴②当a<0时,如图3,
图3
同理可得AQ2+QC2=AC2,
即18=q2-6q+13+12+q2,
解得q=或q=(舍去),
由(2)可得AM⊥AC时,M(2,-1),
∴-1综上所述,当△QAC是锐角三角形时,

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