资源简介

第2节　一般三角形及其性质
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 三角形的分类
三角形
知识点2 三角形中的重要线段
图形 特征 性质 备注
中线 AD是△ABC的中线, D是BC边的中点 BD=CD, S△ABD=S△ACD=S△ABC 重心:三角形的三条中线 的交点,它到三角形顶点的 距离等于它到该顶点对边 中点的距离的2倍
高线 AD是△ABC的一条 高线,D是垂足 AD⊥BC, 即∠ADC=∠ADB=90° 垂心:三角形的三条高线 的交点
角平分线 线段AD平分∠BAC ∠1=∠2=∠BAC 内心:三角形的三条角平分 线的交点,它到三角形三边 的距离相等
中位线 DE是△ABC的中位线 DE∥BC且DE=BC 遇到中点时,常构造三角形 的中位线,利用中位线的性 质解题
知识点3 三角形的基本性质
1.三角形的三边关系
(1)三角形的两边之和大于第三边.若已知△ABC的三边分别为a,b,c,则①a+b>c;②a+c>b;③b+c>a.
(2)三角形的三边关系也可以理解为三角形的任意两边之差都小于第三边,即a-bb>c).
2.三角形的稳定性:如果三角形的三条边固定,那么三角形的形状和大小就完全确定,三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.
技巧提示
(1)三角形的稳定性是三角形的特性,是其他任何多边形都不具备的性质.
(2)三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,如钢架桥、房屋架梁等,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.
3.三角形的内角和定理
(1)三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.
(2)证明方法:剪拼成平角,通过作平行线构造平角,或构造两平行线下的同旁内角,如图:
4.三角形的外角性质
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
【基础演练】
1.(原创) 已知线段a,c和∠α.
(1)求作△ABC,使∠ABC=∠α,AB=a,BC=c.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)结合(1)所画的图形,写出△ABC的一些性质:
边: .
角: .
其他: .
(3)若D为BC边上一点(不与端点重合),连接AD.
①当AD为中线时,可得结论: .
②当AD为角平分线时,可得结论: .
③当AD为高时,可得结论: .
2.在△ABC中:
(1)若∠A-∠B=40°,∠C=70°,则∠A= °,∠B= °,此时三角形是 三角形.
(2)若∠BAC=50°,∠C=70°,AD⊥BC,AE平分∠BAC,则∠DAE= °.
(3)若D为BC的中点,AB-AC=2 cm,△ACD的周长等于7 cm,则△ABD的周长等于 cm.
真题精粹·重变式
考向1 三角形的三边关系、角的关系 6年1考
1.(2023·福建)若三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 ( )
A.1 B.5 C.7 D.9
热点训练 2.下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是 ( ) A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5 3.下列图形中具有稳定性的是 ( ) A.三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 4.如图,∠B=30°,∠CAD=65°,且AD平分∠CAE,则∠ACD等于 ( ) A.95° B.65° C.50° D.80° 5.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上,则∠1的度数为 ( ) A.70° B.75° C.80° D.85° 6.将一副三角尺按如图所示的位置摆放,则α-β= °. 7.三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则实数a的取值范围为 .
考向2 三角形中的重要线段
8.(2022·福建)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.若BC=12,则DE的长为 .
热点训练 9.如图,在△ABC中,BD为AC边上的中线,已知BC=8,AB=5,△BCD的周长为20,则△ABD的周长为 ( ) A.17 B.23 C.25 D.28 10.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点D,BD=.若E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为 ( ) A. B. C.1 D. 11.若线段AM,AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线,则 ( ) A.AMAN C.AM≤AN D.AM≥AN
参考答案
回归教材·过基础
基础演练
1.(1)解析:如图,△ABC为所作图形.
(2)AB+BC>AC;AB-BC(3)①BD=DC,S△ABD=S△ACD=S△ABC
②∠BAD=∠DAC=∠BAC
③AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°,S△ABC=AD·BC
2.(1)75　 35 　锐角 　(2)5　(3)9
真题精粹·重变式
1.B　2.C　3.A　4.D　5.B　6.45　7.-38.6　9.A　10.C　11.C

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