资源简介

第6节　相似三角形
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 比例线段
1.性质:
(1)若=,则ad=bc(abcd≠0).
(2)合比性质:若=,则=(bd≠0).
(3)等比性质:如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=.
2.黄金分割:点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),
如果AC是线段BC和AB的比例中项,即==≈0.618,那么C叫作线段AB的黄金分割点.
知识点2 平行线分线段成比例
1.基本事实
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
2.推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
3.主要的几种形式
　图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　图3
如图1,当l3∥l4∥l5时,有=,=等.
如图2,当DE∥BC时,有=,=等.
如图3,当DE∥BC时,有==.
技巧提示
可通过一组平行线快速找到一组相似三角形.
知识点3 相似图形的性质与判定
1.定义:
(1)相似多边形:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫作相似多边形.
相似多边形对应边的比叫作相似比.
(2)相似三角形:如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,
那么这两个三角形叫作相似三角形.
2.相似三角形的性质:
(1)对应角相等,对应边成比例.
(2)周长之比等于相似比,
面积之比等于相似比的平方.
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.
3.相似三角形的判定:
(1)两角对应相等的两个三角形相似.
(2)两边对应成比例,
且夹角相等的两个三角形相似.
(3)三边对应成比例的两个三角形相似.
4.几种基本相似三角形图形:
(1)“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”);
(2)“斜交型”的相似三角形(需满足∠1=∠2,有“反A共角型”“反A共角共边型”“蝶型”);
(3)“垂直型”的相似三角形[有“双垂直共角型”“双垂直共角共边型(也称‘射影定理型’)”“三垂直型”].
核心方法
　　判定两个三角形相似的常规思考过程:
　　1.先找两对对应角相等,一般这个条件比较简单;
2.若只能找到一对对应角相等,则判断相等角的两夹边是否对应成比例;
3.若找不到角相等,则判断三边是否对应成比例;
4.若题目出现平行线,则直接运用基本定理得出相似的三角形.
知识点4 位似图形
1.定义:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫作位似图形,这个点叫位似中心.
2.位似的性质:
(1)位似图形的对应边成比例,对应角相等,它们的周长之比等于位似比,面积之比等于位似比的平方;
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;
(3)对应点的连线都经过位似中心.
3.作图步骤:①确定位似中心;②确定原图形中的顶点关于位似中心的对应点;③描出新图形.
技巧提示
给出位似比,但没有给出位似中心的情况下,一定要分两个方向,多种情况进行讨论,不要漏解.
【基础演练】
1.如图,在△ABC中,AB=10,D,E分别是AB,AC上的点,连接DE.
(1)若DE∥BC,=,则AD的长为 ,= ,△ADE与△ABC的周长之比为 ,= .
(2)若∠AED=∠B,写出图中的相似三角形: .
(3)已知AC=12,且△ADE与△ABC相似,若AE=5,则AD的长为 .
2.如图,在△ABC中,AB=10,E是AC边上的一点,连接BE,∠ABE=∠ACB.
(1)若AC=12,则AE= .
(2)若=,S△BEC=5,求△ABC的面积.
真题精粹·重变式
考向1 平行线分线段成比例
热点训练 1.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,若AC=6,则EC= ( )　　　 A. B. C. D.
考向2 相似三角形的性质与判定　6年1考
2.(2023·福建)阅读下列材料,回答问题.
任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度,如图1. 工具:一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度);测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点O处,对其视线可及的P,Q两点,可测得∠POQ的大小,如图3.
小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下: 测量过程:(ⅰ)在小水池外选点C,如图4,测得AC=a m,BC=b m; (ⅱ)分别在AC,BC上测得CM= m,CN= m;测得MN=c m. 求解过程:由测量知,AC=a m,BC=b m,CM= m,CN= m, ∴==,又∵①　　　　, ∴△CMN∽△CAB,∴=. 又∵MN=c m,∴AB=②　　　　 m. 故小水池的最大宽度为*** m.
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容.
(2)小明求得AB用到的几何知识是　　　　.
(3)小明仅利用皮尺,通过5次测量,求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程.
要求:测量得到的长度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;测量次数不超过4次
(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少,才能得满分).
考向3 图形的位似
热点训练 3.如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF的周长比是 .
考向4 相似三角形的应用
热点训练 4.数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度,他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米,此时旗杆影长为7.2米,则旗杆的高度为 米.
参考答案
回归教材·过基础
基础演练
1.(1)4　　2∶5　　(2)△ABC∽△AED
(3)6或
2.解析:(1)
(2)∵∠ABE=∠ACB,∠A=∠A,
∴△ABE∽△ACB,
∴2=,
∴2==.
∵S△BEC=5,
∴=,
∴S△ABC=9.
真题精粹·重变式
1.C
2.解析:(1)①∠C=∠C;②3c.
(2)相似三角形的判定与性质.
(3)测量过程:(ⅰ)如图,在小水池外选一点C,用测角仪在点B处测得∠ABC=α,在点A处测得∠BAC=β;
(ⅱ)用皮尺测得BC=a m.
求解过程:由测量知,在△ABC中,∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a.
过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△CBD中,cos∠CBD=,
即cos α=,所以BD=acos α.
同理,CD=asin α.
在Rt△ACD中,tan∠CAD=,
即tan β=,所以AD=,
所以AB=BD+AD=acos α+.
故小水池的最大宽度为acos α+m.
3.2∶5　4.12

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