资源简介

第7节　锐角三角函数
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 锐角三角函数的定义
定义:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)∠A的正弦:sin A==.
(2)∠A的余弦:cos A==.
(3)∠A的正切:tan A==.
技巧提示
锐角三角函数只能在直角三角形中使用,如果没有直角三角形,常通过作垂线构造直角三角形.
知识点2 特殊角的三角函数值
∠α三角函数值三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
知识点3 解直角三角形
1.定义
由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫作解直角三角形.(直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边长和2个锐角)
2.直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)已知三边之间的关系:a2+b2=c2.
(2)已知锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.
(3)边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.
3.解直角三角形的几种类型及解法
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边c和锐角A B=90°-A,a=csin A,b=ccos A
直角边a和锐角A B=90°-A,b=,c=
两条边 两条直角边a和b c=,由tan A=求角A,B=90°-A
直角边a和斜边c b=,由sin A=求角A,B=90°-A
知识点4 解直角三角形的常见实际应用
仰角、俯角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角
坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比), 用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,i=tan α=
方向角 一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成“北(南)偏东(西)××度”.如图,A点位于O点的北偏东30°方向,B点位于O点的南偏东60°方向, C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
【基础演练】
(原创)已知△ABC,∠B=30°,AB=6.
(1)如图1,∠C=90°,则sin B= ,AC= ,BC= ,点C到直线AB的距离是 .
(2)如图2,∠C=45°,则sin B= ,AC= ,BC= ,点C到直线AB的距离是 .
(3)如图3,∠C=135°,则sin B= ,AC= ,BC= ,点C到直线AB的距离是 .
真题精粹·重变式
考向1 锐角三角函数的计算
热点训练 1.sin 30°= .
考向2 解直角三角形
热点训练 2.如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则cos∠ADC的值为 ( ) A. B. C. D.
考向3 解直角三角形的应用　6年1考
3.(2022·福建)如图,衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51) ( )
A.9.90 cm
B.11.22 cm
C.19.58 cm
D.22.44 cm
4.(2024·福建)无动力帆船是借助风力前行的.如图,这是帆船借助风力航行的平面示意图,已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°,帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°,风对帆的作用力F为400 N.根据物理知识,F可以分解为两个力F1与F2,其中与帆平行的力F1不起作用,与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直,被舵的阻力抵消,f2与航行方向一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小,据此,建立数学型:F=AD=400N,则f2=CD= N.(单位:N.参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77)
热点训练 5.如图,小睿为测量公园一凉亭AB的高度,他先在水平地面点E处用高1.5 m的测角仪DE测得∠ADC=31°,然后沿EB方向向前走3 m到达点G处,在点G处用高1.5 m的测角仪FG测得∠AFC=42°.求凉亭AB的高度.(A,C,B三点共线,AB⊥BE,AC⊥CD,CD=BE,BC=DE.结果精确到0.1 m)(参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60,sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
核心突破·拓思维
考点1 解直角三角形
如图,AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC⊥BC,AB⊥AD,CA=CD.若tan∠BAC=,则tan∠DBC的值是 ( )
A. B. C. D.
解题指南　根据tan∠BAC=,得出∠BAC的度数,则在Rt△ACB中,设BC=1,则AC=.证明△CAD为等边三角形,过点D作DE⊥CA,交CA于点E,设CA与BD交于点F,则DE∥BC,从而∠DBC=∠FDE.设CF=x,则EF=-x,根据tan∠DBC=tan∠FDE列出关于x的方程,解得x的值,则可求得tan∠DBC的值.
如图,∠MON是一个锐角,以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM,ON于点A,B,再分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于点E.设OA=10,DE=12,则sin∠MON= .
核心方法
　　三角函数在几何图中的用法
1.当所求三角函数(角或边)在直角三角形中时,考虑直接代入锐角三角函数的定义求解.
2.当所求三角函数(角或边)不在直角三角形中时,可根据等角的锐角三角函数值相等,进行等量转换或作辅助线构造直角三角形.
考点2 解直角三角形的应用
如图,这是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB,BC为机械臂,OA=1 m,AB=5 m,BC=2 m,∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6m.
(1)求A,C两点之间的距离.
(2)求OD的长度.
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈2.24)
核心方法
　　解直角三角形的实际应用问题的方法
　　要读懂题意,分析背景语言,再理清题中各个量的具体意义及各个已知量和未知量之间的关系,把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题,具体方法如下:
1.紧扣三角函数的定义,寻找边角关系;
2.添加辅助线,构造直角三角形,作高是常用的辅助线添加方法(如图所示);
　　3.逐个分析相关直角三角形,构造方程求解,一般设最短的边为x,先分别在不同的直角三角形中用含x的代数式表示出未知边,再根据两个直角三角形边的数量关系(和、差或相等)列方程求出未知量.
在东海一次军事演习中,某潜艇由西向东航行,如图,到达A处时,测得某岛上的敌方预警雷达C位于它的北偏东70°方向,且与潜艇相距500海里,再航行一段时间后于当天晚上6:00到达B处,测得岛上的敌方预警雷达C位于它的北偏东37°方向.上级要求潜艇以每小时20节(海里)速度继续航行,到达岛的正南方向的D处20分钟后使用舰对岸导弹攻击,摧毁假设敌方预警雷达C,求发起攻击的时间.(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin37°≈0.6,cos37°≈0.80,
tan37°≈0.75)
[真情境]图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为3.4 m.当起重臂AC长度为9 m,张角∠HAC为118°时,求操作平台C离地面的
高度.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 28°≈0.47,cos 28°≈0.88,tan 28°≈0.53)
综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度,如图,塔AB前有一座高为DE的观景台,已知CD=6 m,∠DCE=30°,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
(1)求DE的长.
(2)设塔AB的高度为h(单位:m).
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号);
②求塔AB的高度(tan 27°取0.5,取1.7,结果取整数).
参考答案
回归教材·过基础
基础演练
(1)　3　3　　(2)　3　3+3　
(3)　3　3-3　
真题精粹·重变式
1.　2.B　3.B
4.128　解析:如图,
∵∠PDA=70°,∠PDQ=30°,
∴∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=70°-30°=40°,∠1=∠PDQ=30°.
∵AB∥QD,
∴∠BAD=∠ADQ=40°.
在Rt△ABD中,F=AD=400 N,∠ABD=90°,
∴F2=BD=AD·sin∠BAD=400·sin40°≈400×0.64=256(N).
由题意可知,BD⊥DQ,
∴∠BDC+∠1=90°,
∴∠BDC=90°-∠1=60°.
在Rt△BCD中,BD=256 N,∠BCD=90°,
∴f2=CD=BD·cos∠BDC=256×cos60°=256×=128(N).
故答案为128.
5.解析:由题意得BC=FG=DE=1.5 m,DF=GE=3 m,∠ACF=90°.
设CF=x m,
则CD=CF+DF=(x+3)m.
在Rt△ACF中,∠AFC=42°,
∴AC=CF·tan 42°≈0.9x(m).
在Rt△ACD中,∠ADC=31°,
∴tan 31°==≈0.6,
∴x=6.
经检验,x=6是原方程的根,
∴AB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(m),
∴凉亭AB的高度约为6.9 m.
核心突破·拓思维
例1　D　解析:∵tan∠BAC=,
∴∠BAC=30°.
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°.
设BC=1,则AC=.
∵AB⊥AD,
∴∠BAD=90°,
∴∠DAC=60°.
∵CA=CD,
∴△CAD为等边三角形.
过点D作DE⊥CA,交CA于点E,设CA与BD交于点F,如图所示.
则CE=AC=,DE=AD·sin 60°=×=.
设CF=x,则EF=-x.
∵AC⊥BC,DE⊥CA,
∴DE∥BC,
∴∠DBC=∠FDE,
∴tan∠DBC=tan∠FDE,
∴=,
∴=,
解得x=,
∴tan∠DBC==.
变式　
例2　解析:(1)如图,过点A作AE⊥CB,垂足为E,
在Rt△ABE中,AB=5,∠ABE=37°.
∵sin∠ABE=,cos∠ABE=,
∴≈0.60,≈0.80,
∴AE=3,BE=4,
∴CE=6.
在Rt△ACE中,由勾股定理得AC==3≈6.7 m.
(2)如图,过点A作AF⊥CD,垂足为F,
∴FD=AO=1,
∴CF=5.
在Rt△ACF中,由勾股定理得AF==2,
∴OD=2 m≈4.5 m.
变式1　解析:在Rt△ACD中,
cos∠ACD=,
则CD=AC·cos∠ACD≈500×0.34=170(海里).
在Rt△BCD中,tan∠BCD=,
则BD=CD·tan∠BCD≈170×0.75=127.5(海里),127.5÷20=6.375(小时),
6+6.375+=12.375+,
即晚上12点42分30秒发起攻击.
变式2　解析:如图,作CE⊥BD于点E,AF⊥CE于点F,
∴∠FEB=90°,∠AFE=90°.
又∵∠AHE=90°,∴四边形AHEF为矩形,
∴EF=AH=3.4 m,∠HAF=90°,
∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°.
在Rt△ACF中,∵sin∠CAF=,
∴CF=9×sin 28°≈9×0.47=4.23(m),
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m).
答:操作平台C离地面的高度约为7.6 m.
变式3　解析:(1)由题意得DE⊥EC,
在Rt△DEC中,CD=6 m,∠DCE=30°,
∴DE=CD=3(m),∴DE的长为3 m.
(2)①由题意得BA⊥EA,
在Rt△DEC中,DE=3 m,∠DCE=30°,
∴CE=DE=3(m),
在Rt△ABC中,AB=h m,∠BCA=45°,
∴AC==h(m),
∴AE=EC+AC=(3+h)m,∴线段EA的长为(3+h)m.
②如图,过点D作DF⊥AB,垂足为F,
由题意得DF=EA=(3+h)m,DE=FA=3 m.
∵AB=h m,∴BF=AB-AF=(h-3)m,
在Rt△BDF中,∠BDF=27°,
∴BF=DF·tan 27°≈ m,
∴h-3=,解得h=3+6≈11,
∴AB=11 m,
∴塔AB的高度约为11 m.

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