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章节构建一　多边形与平行四边形
回归教材·过基础
【考点清单】
知识点1 多边形的性质
1.内角和:n边形的内角和是① .
2.外角和:任意多边形的外角和都是② .
3.多边形的对角线:从n边形的一个顶点出发可以画(n-3)条对角线,因此n边形对角线的总条数是③ 条.
技巧提示
注意:多边形内角和随着边数的增加而增大,边数增加一条,内角和就增加一个平角度数,而多边形的外角和不变.
知识点2 正多边形
1.定义
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫作正多边形.
2.性质
(1)各边相等,各内角相等,各外角相等.
(2)外角和:正n边形每一个内角的度数为④ ,每一个外角的度数为⑤ .
(3)正多边形中,当边数是奇数(2n-1)(其中n≥2,n是正整数)时,正多边形是轴对称图形,对称轴的条数是⑥ 条.
当边数是偶数2n时,正多边形是轴对称图形,对称轴的条数是⑦ 条.也是中心对称图形,对称中心是其外接圆的圆心.
知识点3 平行四边形的判定和性质
1.性质
2.判定
3.面积:S=底×高.
【基础演练】
1.(原创)如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,回答下列问题:
(1)图中所有的线段中,
相等的有: ,依据是 ;
平行的有: ,依据是 .
(2)图中的角中,
相等的有: ,依据是 ;
互补的有: ,依据是 .
(3)图中的三角形中,
全等的有: ,依据是 .
(4)有关面积的结论有: ,依据是 .
(5)有关对称性的结论有: ,依据是 .
2.(原创)如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O, 添加一个条件,使得四边形ABCD为平行四边形.添加的条件可以是　　　　,依据是什么
(1)从边的角度考虑可以添加:
① ,依据是 ;
② ,依据是 ;
③ ,依据是 .
(2)从角的角度考虑可以添加:
,依据是 .
(3)从对角线的角度考虑可以添加:
,依据是 .
3.(原创)如图,在△ABC中,O为AC的中点.求作点D,使得四边形ABCD是平行四边形.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
4.(原创)在 ABCD中,AC,BD交于点O,M为边AD上的一动点,连接MO并延长交BC于点N,如图所示,解决下列问题:
(1)AM与CN相等吗 证明你的结论.
(2)若AM=DM,连接AN,CM,如图所示.
①求证:四边形ABNM为平行四边形.
②如图,当BA=BN=2,∠BAN=60°时,求四边形ANCM的周长和面积.
(3)如图,直线MN分别交BA,DC的延长线于点E,F.
①求证:AE=CF.
②若 ABCD的周长为18,OM=2,求四边形MNCD的周长.
真题精粹·重变式
考向1 多边形内角和与外角和　6年4考
1.(2021·福建)如图,点F在正五边形ABCDE的内部,△ABF为等边三角形,则∠AFC等于 ( )
A.108° B.120° C.126° D.132°
2.(2019·福建)已知一个正多边形的一个外角为36°,则该正多边形的边数为 ( )
A.12 B.10 C.8 D.6
3.(2022·福建)四边形的外角和度数是 .
4.(2020·福建)如图,若该六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于 .
热点训练 5.若一个n边形的内角和为360°,则n等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6
考向2 平行四边形的性质与判定　6年2考
6.(2023·福建)如图,在 ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为 .
7.(2019·福建)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED,点B,C的对应点分别是E,D.
　　图1　　　　　　　图2
(1)如图1,当点E恰好在AC上时,求∠CDE的度数.
(2)如图2,若α=60°,F是边AC的中点,求证:四边形BFDE是平行四边形.
热点训练 8.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E,F分别是AC,AB的中点,O是DF的中点,EO的延长线交线段BD于点G,连接DE,EF,FG. (1)求证:四边形DEFG是平行四边形. (2)当AD=5,tan∠EDC=时,求FG的长.
9.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,BF平分∠DBC,交CD于点F. (1)请用尺规作∠ADB的平分线DE,交AB于点E.(保留作图痕迹,不写作法) (2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形.请将下面的证明过程补充完整. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∴∠ADB=∠　　　　(两直线平行,内错角相等). 又∵DE平分∠ADB,BF平分∠DBC, ∴∠EDB=∠ADB,∠DBF=∠DBC. ∴∠EDB=∠DBF. ∴DE∥　　　　 (　　　　　)(填推理的依据). 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BE∥DF. ∴四边形DEBF为平行四边形(　　　　 )(填推理的依据).
考向3 多边形对角线
热点训练 10.若从一个n边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点,把这个多边形分割成6个三角形,则n的值是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 11.若一个n边形的对角线总条数等于其边数,则n的值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①(n-2)×180°　②360°　③　④
⑤　⑥(2n-1)　⑦2n　⑧对角线的交点
基础演练
1.(1)AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD　平行四边形的对边相等,对角线互相平分　AB∥CD,AD∥BC　平行四边形的对边互相平行
(2)∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD　平行四边形的对角相等　∠ABC+∠BCD=180°,∠ABC+∠BAD=180°,∠ADC+∠DCB=180°,∠ADC+∠DAB=180°
平行四边形的邻角互补
(3)△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB,△AOB≌△COD,△AOD≌△COB　全等三角形的判定定理(SSS,ASA,AAS,SAS)
(4)SAOB=S△BOC=S△COD=S△DOA=S△ABC=S△ADC=S△ABD=S△CBD=S ABCD　全等三角形的面积相等,等底(同底)等高的三角形面积相等,平行线间距离相等
(5)中心对称图形,对称中心是点O　中心对称图形概念
2.(1)① AB=CD,AD=BC　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　②AB∥CD,AD∥BC　两组对边分别平行的四边形是平行四边形　③AB∥CD,AB=CD或AD∥BC,AD=BC　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(2)∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD　两组对角分别相等的四边形是平行四边形(答案不唯一)
(3)OA=OC,OB=OD　对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.解析:如图,四边形ABCD即所求(画法不唯一).
4.(1)解析:AM=CN.
证明:∵点M关于点O的对称点为N,
∴OM=ON.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,
∴∠OAM=∠OCN.
∵∠AOM=∠CON,
∴△OAM≌△OCN(AAS),
∴AM=CN.
(2)①证明:由(1)可得AM=CN.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD,BC∥AD.
∵AM=DM,
∴AM=DM=BN=NC,
∴四边形ABNM是平行四边形.
②解析:∵BA=BN=2,∠BAN=60°,
∴△ABN是等边三角形,
∴AB=AN=BN.
∵AM=DM,
∴NC=AN=BN=2,
∴四边形ANCM的周长=2(AN+NC)=8.
作AE⊥BC(图略),在Rt△ABE中,
∵BA=BN=2,∠BAN=60°,
∴AE=,
∴四边形ANCM的面积=NC×AE=2.
(3)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠E=∠F.
∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF.
②解析:由上述结论可知AM=CN,DM=BN,OM=ON,
∴CN+CD+MD+MN=BC+CD+2MO=9+4=13.
真题精粹·重变式
1.C　2.B　3.360°　4.30°　5.B　6.10
7.解析:(1)在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,
∴∠BCA=60°.
由旋转性质,得DA=AC,∠DAE=∠BAC=30°,
∴∠ACD=∠ADC=(180°-∠DAE)=75°.
又∠EDA=∠BCA=60°,
∴∠CDE=∠ADC-∠EDA=15°.
(2)证明:在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,
∴BC=AC.
∵F是AC的中点,
∴BF=FC=AC=BC,
∴∠FBC=∠ACB=60°.
由旋转性质得BC=DE,∠DEA=∠ABC=90°,∠BCA=∠ADE=60°,∴DE=BF.
如图,延长BF交EA于点G,则∠BGE=∠GBA+α=90°,
∴∠BGE=∠DEA,
∴DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
8.解析:(1)证明: ∵E,F分别是AC,AB的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC,
∴∠EFO=∠GDO.
∵O是DF的中点,
∴OF=OD,
在△OEF和△OGD中,
∴△OEF≌△OGD(ASA),
∴EF=GD,
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∵E是AC的中点,
∴DE=AC=CE,
∴∠C=∠EDC,
∴tan C==tan∠EDC=,
即=,
∴CD=2,
∴AC===,
∴DE=AC=.
由(1)可知,四边形DEFG是平行四边形,
∴FG=DE=.
9.解析:(1)作图如下:
DE即所求.
(2)答案为DBC; BF;内错角相等,两直线平行;两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
10.C　11.B

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