资源简介

类型一　与点、直线相关问题的探究
(原创)已知抛物线y=ax2经过点A(2,-1).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,直线l过点A且与y轴右侧抛物线交于点B,若△ABO的面积为6,求直线l的解析式.
(3)如图2,直线CD与抛物线交于C,D两点,与y轴交于点(0,e),直线QC,QD与抛物线均只有一个公共点,若点Q的纵坐标为f,求e与f的数量关系.
解题指南　(1)代入点A即可求a.
(2)求直线解析式一般有两种思路:一种是确定k与b;另一种是已知两点.若用第一种方法,则需想方设法建立两个方程,求解两个未知量;若用第二种方法,则需想方设法求点B的坐标,此时,“同底等高”等积法的应用是关键.
(3)重点在设三条直线解析式和点C,D的坐标,再根据韦达定理求点C,D横坐标的关系,根据判别式Δ=0求参数间的关系,最后可找到e与f的数量关系.
1.已知二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5),点P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函数图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式.
(2)如图1,此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接AC,DQ,PQ. 若x2=x1+3,求证:的值为定值.
(3)如图2,点P在第二象限,x2=-2x1,若点M在直线PQ上,且横坐标为x1-1,过点M作MN⊥x轴于点N,求线段MN长度的最大值.
类型二　与角度相关问题的探究
(原创)已知抛物线y=ax2+bx+c经过点M(0,-2),N(2,6).
(1)求a,b满足的关系式.
(2)若该抛物线关于y轴对称,与x轴交于A,B两点,点P在第三象限的抛物线上.
①当∠APB=90°时,求此时点P的坐标;
②点Q在第一象限的抛物线上,点C(0,-4),连接CP,CQ,PQ.若直线OC平分∠PCQ,求证:P,O,Q三点共线.
(1)把M、N点的坐标代入解析式
得到方程组 消去c 得到结果
(2)①由抛物线关于y轴对称 可得b的值 结合(1)可得解析式 建立方程求点P的坐标
②证三点共线的方法:求表示两点的直线 验证第三点在该直线上 或证明对顶角相等
2.(原创)已知二次函数y=ax2+1(a<0)图象的顶点A,图象交x轴于B,C两点(点B在点C左侧),且△ABC为直角三角形,P,Q为该二次函数图象上的两个动点(点P在点Q的左侧),且∠POQ=90°.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)若点P的横坐标为,请求出tan∠PQO的值.
(3)是否存在点P,Q,使得△POQ为等腰直角三角形 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解题指南　(1)由抛物线对称性及c=1,可得点A的坐标为(0,1),代入(1)可求表达式.
(2)由已知条件求点P的坐标,可设tan∠PQO=n,通过构造“一线三等角”可用含n的代数式表示点Q坐标,最后代入二次函数解析式可求n的值;也可用k1·k2=-1,求出直线QO的解析式,进而求出点Q的坐标,最终通过三角函数定义可求tan∠PQO的值.
(3)继续如(2)的方法,构造“一线三等角”,通过设点P的坐标,可求出点Q的坐标,仍然通过代入抛物线解析式可求出结果.
类型三　与多边形相关问题的探究
(原创)已知抛物线y=x2+c的顶点为C,与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),且S△ABC=4.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点D在y轴上,且△BCD为钝角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.
(3)已知 BCPQ的顶点P在抛物线上,如果 BCPQ面积为某值时,符合条件的点P有且只有三个,求点P的坐标.
(1)用含c的式子表示点A,B,C的坐标
由△ABC的面积等于4求c的值
(2)分三种情
况讨论钝角 得y0的三
个取值范围 综合得
到结果
(3)在BC下方存在一个点P,在BC上方
存在两个点P
分别求出过点P且平行于BC的直线解析式
构造方程或方程组求点P的坐标
3.(原创) 已知直线l1:y=kx+b(k<0)交y轴于点A,与y=-2交于点Q,抛物线y=ax2+bx+c的顶点B在y=-2上,与x轴交于E,F两点(点E在点F左侧),已知四边形OBQF为正方形.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若直线l2:y=ex+f交y轴于点D且与直线l1关于y=-2对称.
①求证:k=-e;
②已知直线l1与抛物线交于G,H两点,当k为何值时,S△BGH=|k|S△AQD
解题指南　(1)根据题意画出大致草图,即可知抛物线关于y轴对称,即解析式为y=ax2+c,再由四边形OBQF为正方形,可得点B,F的坐标,代入即可得解析式.
(2)①两直线有四个参数,要判断其中两“k”的关系,重点是:a.尽量减少参数——根据已知条件,用一个参数表示另一个参数;b.根据已知条件建立关于两“k”的方程;其中的a.由两直线均过Q(2,2)可解决,b.由对称性得AB=DB,建立方程解决.
②表达两个三角形面积的方法选择很重要,其中表示S△BGH用铅垂高AB乘点H,G的水平距离,同时,设点H,G的坐标,利用韦达定理或求根公式用含k的代数式表示xG-xH,最终代入所给的方程求出k的值.
类型三　与多边形相关问题的探究
(原创)已知抛物线y=x2+c的顶点为C,与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),且S△ABC=4.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点D在y轴上,且△BCD为钝角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.
(3)已知 BCPQ的顶点P在抛物线上,如果 BCPQ面积为某值时,符合条件的点P有且只有三个,求点P的坐标.
(1)用含c的式子表示点A,B,C的坐标
由△ABC的面积等于4求c的值
(2)分三种情
况讨论钝角 得y0的三
个取值范围 综合得
到结果
(3)在BC下方存在一个点P,在BC上方
存在两个点P
分别求出过点P且平行于BC的直线解析式
构造方程或方程组求点P的坐标
3.(原创) 已知直线l1:y=kx+b(k<0)交y轴于点A,与y=-2交于点Q,抛物线y=ax2+bx+c的顶点B在y=-2上,与x轴交于E,F两点(点E在点F左侧),已知四边形OBQF为正方形.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若直线l2:y=ex+f交y轴于点D且与直线l1关于y=-2对称.
①求证:k=-e;
②已知直线l1与抛物线交于G,H两点,当k为何值时,S△BGH=|k|S△AQD
解题指南　(1)根据题意画出大致草图,即可知抛物线关于y轴对称,即解析式为y=ax2+c,再由四边形OBQF为正方形,可得点B,F的坐标,代入即可得解析式.
(2)①两直线有四个参数,要判断其中两“k”的关系,重点是:a.尽量减少参数——根据已知条件,用一个参数表示另一个参数;b.根据已知条件建立关于两“k”的方程;其中的a.由两直线均过Q(2,2)可解决,b.由对称性得AB=DB,建立方程解决.
②表达两个三角形面积的方法选择很重要,其中表示S△BGH用铅垂高AB乘点H,G的水平距离,同时,设点H,G的坐标,利用韦达定理或求根公式用含k的代数式表示xG-xH,最终代入所给的方程求出k的值.
类型四　与取值范围及最值相关问题的探究
(原创)如图,P(x1,y1),Q(x2,y2)是二次函数y=a(x+1)2+2(a<0)图象上位于对称轴异侧的两点,A为抛物线的顶点,且x2-x1=2.
(1)当y1=y2时,S△PQA=1,求此时抛物线的解析式.
(2)二次函数的最大值与最小值的差为2,求a的取值范围.
(1)用含a的式子表示△PQA的面积
△PQA的面积等于1,求a的值
得到解析式
(2)分两种情况:y1≥y2,y1≤y2讨论
得a的取值范围 综合得到结果
4.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,抛物线与y轴交于点C,P为线段OC上一点(不与端点重合),直线PA,PB分别交抛物线于点E,D,设△PAD的面积为S1,△PBE的面积为S2,求的值.
(3)如图2,K是抛物线的对称轴与x轴的交点,过点K的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M,N,过抛物线顶点G作直线l∥x轴,Q是直线l上一动点.求QM+QN的最小值.
参考答案
例1　解析:∵(1)抛物线y=ax2经过点A(2,-1),
∴-1=4a,
解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-x2.
(2)方法一:如图1,设直线l交x轴于点E,
图1
设直线l的解析式为y=kx+b.
∵点A在直线l上,
∴2k+b=-1,即b=-2k-1,
令y=0,则x=-,
即OE=-.
设点B(xB,yB),
则S△AOB=S△OEB-S△OEA =-(-1-yB) =-(1+yB),
联立得x2+kx+b=0,
∴xA+xB=-4k,即xB=-4k-2,
∴yB=-=-4k2-4k-1,
∴S△AOB=-(-4k2-4k)=4k2+6k+2.
又∵S△AOB=6,即4k2+6k+2=6,
解得k1=-2,k2=(不符合题意,舍去),
∴b=-2k-1=3,
∴直线l的解析式为y=-2x+3.
方法二:∵点 A(2,-1),
∴直线OA的解析式为y=-x,
如图2,过点B作BE∥OA交y轴于点E,连接AE,则S△AOB=S△AOE=6,
∴OE×2=6,
∴OE=6,∴点E的坐标为(0,-6),
则直线BE的解析式为y=-x-6,
解得或
∴B(6,-9),
设直线l的解析式为y=kx+b,
∴解得
∴直线l的解析式为y=-2x+3.
(3)设直线CD的解析式为y=kx+e,
由
得x2+kx+e=0,
设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) ,
∴x1·x2=4e.
设直线CQ的解析式为y=ax+c,
由整理得x2+ax+c=0.
∵CQ与抛物线只有一个公共点,
∴Δ=a2-c=0,
∴c=a2,
∴x2+ax+a2=0,解得x1=x2=-2a,
同理:设直线DQ的解析式为y=bx+d,可得d=b2,x3=x4=-2b,
∴-2a·(-2b)=4e,
∴ab=e,
联立即
解得
∴Q(-a-b,-ab).
∵点Q的纵坐标为f,
∴f=-ab=-e.
针对训练　1.解析:(1)∵二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5),
∴5=-4+c,∴c=9,
∴y=-x2+9.
(2)证明:当y=0时,0=-x2+9,
∴x1=-3,x2=3,∴B(3,0).
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴
∴
∴y=-x+3.
设P(x1,-+9),则Q(x1+3,-(x1+3)2+9),D(x1,-x1+3),
∴PD=-+9-(-x1+3)=-+x1+6=(x1+2)(-x1+3),CD=-x1+3,
∴==3,
∴的值为定值.
(3)设P(x1,-+9),则Q(-2x1,-4+9),
设直线PQ的解析式为y=mx+n,
∴
∴
∴y=x1x-2+9,
当x=x1-1时,y=x1(x1-1)-2+9=-+,
∴当x1=-时,线段MN长度的最大值为.
例2　解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点M(0,-2),N(2,6),
∴
把①代入②得,2a+b=4.
(2)①∵抛物线关于y轴对称,
∴x=-=0,即b=0.
又由(1)知2a+b=4,c=-2,
∴a=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-2,
令y=0,即2x2-2=0,则x1=1,x2=-1,
∴A(-1,0),B(1,0),
设点P(m,2m2-2).
方法一:如图1,过点A作AC⊥PC,过点B作BD⊥PD.
图1
∵∠C=∠D=90°,
且∠APC+∠CAP=90°,
∠APC+∠BPD=90°,
∴∠CAP=∠BPD,
∴△ACP∽△PDB,
∴=,则=,
=,化简得1-m2=,
解得m1=-,m2=(舍去),
此时2m2-2=-,
∴P-,-.
方法二:如图2,连接PO.
图2
∵O为AB的中点,
∴PO=AB,
即=1,
整理得4m4-7m2+3=0,
令n=m2,则4n2-7n+3=0,
解得n1=,n2=1(舍去),
∴m2=,
解得m1=-,m2=(舍去),
此时,2m2-2=-,
∴P-,-.
②证明:如图3,连接PO,QO,过点P作PE⊥y轴,交y轴于点E,过点Q作QF⊥y轴,交y轴于点F,
图3
设P(x1,2-2),Q(x2,2-2).
∵直线OC平分∠PCQ,
即tan∠PCE=tan∠QCF,
∴=,即=,
整理,得2(x1x2+1)(x1+x2)=0.
∵x1≠-x2,
∴x1x2+1=0,即x1=-.
方法一:
设直线PO的解析式为y=kx(k≠0),
则2-2=kx1,即k=2x1-,
∴直线PO的解析式为y=2x1-x,
把x=x2代入解析式,
得y=2x1x2-
=2-x2-
=2-2=y2,
∴点Q在直线PO上,
即P,O,Q三点共线.
方法二:
===,
===,
即=.
∵=,即=,
∴=.
∵∠QFO=∠PEO=90°,
∴△QFO∽△PEO,
即∠QOF=∠POE,
∴P,O,Q三点共线.
针对训练　2.解析:(1)由二次函数表达式y=ax2+1,得对称轴为直线x=0,
∴A(0,1),AB=AC.
∵△ABC为直角三角形,
∴∠BAC=90°,
即∠ACO=45°.
∵∠AOC=90°,
∴CO=AO=1,
即C(1,0),
代入y=ax2+1,得0=a+1,
∴a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-x2+1.
(2)把x=代入y=-x2+1,得y=,
即P,,
如图1,过P作PE⊥y轴,交y轴于点E,过Q作QF⊥y轴,交y轴于点F.
图1
∵∠POQ=90°,
∴∠POE+∠QOF=90°.
∵∠POE+∠EPO=90°,
∴∠EPO=∠QOF.
∵∠PEO=∠QFO=90°,
∴△PEO∽△OFQ,
设=n,则==n,
即OF=,FQ=,
∴Q,-,
把点Q代入y=-x2+1,得-=-2+1,
即16n2+8n-9=0,
解得n1=,n2=(舍去),
∴tan∠PQO=.
(3)如图2,过P,Q分别作PG⊥x轴、QH⊥x轴,交点分别为G,H,
图2
如(2)可证△PGO∽△OHQ,
若PO=QO,
则△PGO≌△OHQ,
此时,OH=PG,QH=OG,
设P(n,-n2+1),
则OH=PG=-n2+1,QH=OG=-n,
∴Q(-n2+1,-n),
代入y=-x2+1,得-n=-(-n2+1)2+1,
整理得(n+1)2(n-1)2=n+1,
即(n+1)[(n+1)(n-1)2-1]=0,
∴(n+1)n(n2-n-1)=0,
∴n=-1或n=0或n2-n-1=0,
即n1=-1,n2=0,n3=,n4=,
∴存在点P,Q,使得△POQ为等腰直角三角形,
此时,P(-1,0)或P(0,1)或P,或P,.
例3　解析:(1)令x=0,得y=c,
∴C(0,c),即OC=-c,
令y=0,即x2+c=0,
解得x1=-,x2=,
即A(-,0),B(,0),
∴AB=2,
由S△ABC=4,得·2·(-c)=4,
∴c=-2,
即抛物线的解析式为y=x2-2.
(2)如图,已知∠BOC=90°,
由(1)知OA=OB=OC=2,
即∠OBC=∠OCB=45°,
①当∠BCD为钝角时,
则点D在点C下方,即yD<-2;
②当∠BDC为钝角时,
则点D在点O下方,且在点C上方,即-2③当∠CBD为钝角时,
则点D在(0,2)上方,即yD>2.
综上所述,点D纵坐标的取值范围为yD<-2或-22.
(3)如图,作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1,直线l交y轴于点E,作直线m∥BC,交y轴于点F,且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离.
∵BC的解析式为y=x-2,
∴设直线l的解析式为y=x+m,
由x2-2=x+m得
x2-2x-4-2m=0.
∵Δ=0,
∴4-4(-4-2m)=0,
∴m=-,
∴x2-2x+1=0,y=x-,
∴x=1,y=-,
∴P11,-.
∵E0,-,C(0,-2),
∴F0,-,
∴直线m的解析式为y=x-,
∴
解得
∴P21+,-+,P31-,--,
综上所述,点P1,-或P1+,-+或P1-,--.
针对训练　3.解析:(1)依题意可得如图1所示的函数图象,
可得顶点B的坐标为(0,-2),
图1
∴抛物线的解析式为y=ax2-2.
又由四边形OBQF为正方形,可得点F(2,0),
∴0=4a-2,解得a=,
∴抛物线的解析式为y=x2-2.
(2)①结合(1)判断可得点Q(2,-2).
∵Q在直线l1上,
∴2k+b=-2,即b=-2k-2,
即A(0,-2k-2).
∵l1,l2关于y=-2对称,
∴Q在直线l2上,
即2e+f=-2,f=-2e-2,
即D(0,-2e-2).
∵由对称得AB=BD,
∴-2k-2+2=-2+2e+2,
即k=-e.
②如图2,设H(x1,y1),G(x2,y2).
图2
∵S△BGH=AB·(x2-x1),
S△AQD=AD·BQ=2·AB,
若S△BGH=|k|S△AQD,
则(x2-x1)=-k·2,即(x2-x1)=-4k,
联立方程
得x2-2kx+4k=0,
∴
∵x2-x1===2,
∴2=-4k,即3k2+4k=0,
∴k1=-,k2=0(舍去),
∴当k=-时,S△BGH=|k|S△AQD.
例4　解析:(1)依题意,得抛物线的对称轴为直线x=-1,顶点A(-1,2).
∵y1=y2,
∴P,Q两点关于直线x=-1对称,
即Q(0,a+2),P(-2,a+2),
∴S△PQA=×2·[2-(a+2)]=-a.
又∵S△PQA=1,
∴a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)2+2.
(2)∵P,Q在对称轴的异侧,
①当y1≥y2时,则0≤x2<1,
此时,函数的最大值为2,最小值为y2=a(x2+1)2+2.
∵二次函数的最大值与最小值的差为2,
∴2-[a(x2+1)2+2]=2,
∴a=-.
又∵1≤(x2+1)2<4,
∴-2≤-<-,
∴-2≤a<-.
②当y1≤y2时,则-3此时,函数的最大值为2,最小值为y1=a(x1+1)2+2.
∵二次函数的最大值与最小值的差为2,
∴2-[a(x1+1)2+2]=2,
∴a=-.
又∵1≤(x1+1)2<4,
∴-2≤-<-,
∴-2≤a<-.
综上所述,当二次函数的最大值与最小值的差为2时,-2≤a<-.
针对训练　4.解析:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)设P(0,p),直线AP的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),据题意得
解得
∴y=px+p,
联立得
解得或
∴E(3-p,-p2+4p).
设P(0,p),直线BD的解析式为y=k2x+b2(k2≠0),
据题意得解得
∴y=-x+p,
联立得
解得或
∴D,
S1=S△ABD-S△ABP=AB·(yD-yP)=2=(3p-p2),
S2=S△ABE-S△ABP=AB·(yE-yP)=2(-p2+4p-p)=2(3p-p2),
∴=.
(3)设直线MN为y=kx+d,由K(1,0)得k+d=0,
∴d=-k,
∴y=kx-k.
设M(m,-m2+2m+3),N(n,-n2+2n+3),
联立直线MN与抛物线
得x2+(k-2)x-k-3=0,
Δ=(k-2)2-4(-k-3)=k2+16>0,
根据根与系数的关系可得m+n=2-k,mn=-k-3,
如图,作点N关于直线l的对称点N',连接MN',
由题意得直线l:y=4,则N'(n,n2-2n+5),
∴QM+QN=QM+QN'≥MN',
过点M作MF⊥NN'于点F,则F(n,-m2+2m+3).
则N' F=,
FM=.
在Rt△MFN'中,
MN'2=MF2+N'F2=(m-n)2+[m2+n2-2(m+n)+2]2
=(m+n)2-4mn+[(m+n)2-2mn-2(m+n)+2]2
=(2-k)2-4(-k-3)+[(2-k)2-2(-k-3)-2(2-k)+2]2
=k4+17k2+80≥80,
即当k=0时,MN'2=80,此时MN'=4,
故QM+QN的最小值为4.

展开更多......

收起↑