资源简介

专题三　阅读与思考
阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容,请认真阅读,并完成相应任务.
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象: 等边半正多边形 研究思路: 类比三角形、四边形,按“概念-性质-判定”的路径,由一般到特殊进行研究. 研究方法: 观察(测量、实验)-猜想-推理证明 研究内容: 【一般概念】对于一个凸多边形(边数为偶数),若其各边都相等,且相间的角相等、 相邻的角不相等,我们称这个凸多边形为等边半正多边形. 如图1,我们学习过的菱形(正方形除外)就是等边半正四边形, 类似地,还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义,对等边半正六边形研究如下: 概念理解: 如图2,如果六边形ABCDEF是等边半正六边形,那么AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F,且∠A≠∠B. 性质探索: 根据定义,探索等边半正六边形的性质,得到如下结论: 内角:等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°. 对角线:……
任务:
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容:　　　　.
(2)如图3,六边形ABCDEF是等边半正六边形.连接对角线AD,猜想∠BAD与∠FAD的数量关系,并说明理由.
(3)如图4,△ACE是正三角形,☉O是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
1.阅读材料:
如图1,四边形ABCD是矩形,△AEF是等腰直角三角形,记∠BAE为α,∠FAD为β,若tan α=,则tanβ=.
图1
证明:设BE=k.
∵tan α=,∴AB=2k.
易证△AEB≌△EFC(AAS),∴EC=2k,CF=k,
∴FD=k,AD=3k,∴tan β===.
若α+β=45°,则当tan α=时,tan β=,
同理,若α+β=45°,则当tan α=时,tan β=.
根据上述材料,完成下列问题:
如图2,直线y=3x-9与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,与x轴交于点B.将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E,过点A作AM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥y轴于点N,已知OA=5.
图2
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求tan∠BAM,tan∠NAE的值.
(3)求直线AE的解析式.
2.阅读与思考
数学是一个不断观察,不断归纳和不断思考的过程.下面是小明五一游玩后,写在日记中的一个数学小片段. 图1为某游乐场摩天轮.五一休息之际,小明妈妈带着小明和小刚乘坐摩天轮,图2和图3是摩天轮的平面示意图,小明乘坐A车厢,小刚乘坐B车厢,∠AOB=90°,妈妈站在摩天轮正下方C处(人的身高忽略不计),OC⊥MN于点C.当摩天轮转动后到达图2的位置,妈妈发现,A,B两处车厢刚好在同一视线上,此时仰角∠ACN=60°;当摩天轮转动到图3的位置时,妈妈看小明的视线CA刚好与☉O相切于点A,且CA平分∠OCM.点M,N,O,A,B,C在同一平面内. 图1 图2 图3 在图2中,小明发现OC=OB. 理由:如图,过点O作OH⊥AB于点H, ∴∠OHB=90°. ∵OA=OB,∠OHC=90°,∴AH=BH(依据1). ∵∠AOB=90°,∴OH=AB(依据2). 在Rt△OAB中,由勾股定理,得AB==OB. ∵OC⊥MN于点C,∠NCA=60°, ∴∠OCA=∠NCO-∠NCA=30°. 在Rt△OCH中,sin∠OCH=, ∴OH=OC,∴OC=AB,∴OC=OB.
(1)任务一:直接写出小明推理中的依据1和依据2.
(2)任务二:若摩天轮的半径为80 m,求图3中小明与妈妈之间的距离AC.
参考答案
例　解析:(1)240.
(2)∠BAD=∠FAD.
理由:如图1,连接BD,FD.
∵六边形ABCDEF是等边半正六边形,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠C=∠E,
∴△BCD≌△FED,∴BD=FD.
在△ABD和△AFD 中,
∴△BAD≌△FAD,∴∠BAD=∠FAD.
(3)答案不唯一,
作法一(如图2):
作法二(如图3):
如图,六边形ABCDEF即所求.
针对训练　1.解析:(1)设A(t,3t-9),∴OM=t,AM=3t-9.
∵OA=5,∴t2+(3t-9)2=52,解得t=4或t=1.4,
∴A(4,3)或(1.4,-4.8)(此时A在第四象限,不符合题意,舍去),
把A(4,3)代入y=(x>0),得3=,解得m=12,
∴反比例函数的解析式为y=(x>0).
(2)在y=3x-9中,令y=0,得0=3x-9,解得x=3,∴B(3,0),∴OB=3.
由(1)知A(4,3),∴OM=4,AM=3,
∴BM=OM-OB=4-3=1,
∴tan∠BAM==.
∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°,∴∠MAN=90°.
∵∠BAE=45°,∴∠BAM+∠NAE=45°.
由若α+β=45°,当tan α=时,则tan β=可得tan∠NAE=.
(3)由(2)知tan∠NAE=,∴=.
∵A(4,3),∴AN=4,ON=3,∴=,∴NE=2,
∴OE=ON-NE=3-2=1,∴E(0,1).
设直线AE的解析式为y=kx+b.
把A(4,3),E(0,1)代入,得解得
∴直线AE的解析式为y=x+1.
针对训练　2.解析:(1)依据1:垂径定理.
依据2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(2)如图,连接AC.
∵AC与☉O相切于点A,∴∠OAC=90°.
∵OC⊥MN,∴∠OCM=90°.
∵CA平分∠OCM,
∴∠OCA=ACM=45°,
∴∠AOC=45°,∴AC=OA=80 m,
∴小明与妈妈之间的距离AC是80 m.

展开更多......

收起↑