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专题四　代数推理题(2024年新增题型)
人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”:为什么说不是有理数
(1)【阅读与思考】
假设是有理数,那么存在两个互质的正整数p和q,使得=,
两边平方得2=,
即p2=　　　　.①
故p2是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.
设p=2s,代入①中,得　　　　,
即q2=　　　　,
所以q也是偶数,则p和q都是偶数,不互质,这与假设p和q互质矛盾.
这个矛盾说明,不能写成分数的形式,即不是有理数.
(2)【运用并解决】
类比上述的阅读与思考,推理说明不是有理数.
1.数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x,y均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下(n为正整数):
N 奇数 4的倍数
表示结果 1=12-02 3=22-12 5=32-22 7=42-32 9=52-42 …… 4=22-02 8=32-12 12=42-22 16=52-32 20=62-42 ……
一般结论 2n-1=n2-(n-1)2 4n=　　　　
按上表规律,完成下列问题:
①24=(　　　　)2-(　　　　)2;
②4n=　　　　.
(2)兴趣小组还猜测:像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2-y2(x,y均为自然数).师生一起研讨,分析过程如下:
假设4n-2=x2-y2,其中x,y均为自然数. 分下列三种情形分析: ①若x,y均为偶数,设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数,则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)为4的倍数,而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为偶数; ②若x,y均为奇数,设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数, 则x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=　　　　为4的倍数,而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为奇数; ③若x,y一个是奇数一个是偶数,则x2-y2为奇数. 而4n-2是偶数,矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知,猜测正确.
阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.
用代数推理的方法证明下列两个结论:
(1)设是一个四位数,若a+b+c+d可以被3整除,则这个数可以被3整除.
(2)已知函数y=x2.求证:当x>0时,y随x的增大而增大.
2.对于任意一个三位正整数,十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字,则称这个三位数为“极差数”.例如:对于三位数451,5-1=4,则451是“极差数”;对于三位数110,1-0=1,则110是“极差数”.求证:任意一个“极差数”一定能被11整除.
3.一个十位上的数字不为0的三位数m,若将m的百位数字与十位数字相加,所得和的个位数字放在m的个位数字右边,与m一起组成一个新的四位数,则把这个新四位数称为m的“生成数”.若再将m的“生成数”的任意一个数位上的数字去掉,可以得到四个三位数,则把这四个三位数之和记为S(m).例如:m=558,∵5+5=10,∴558的“生成数”是5580.将5580的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是580,580,550,558,则S(m)=580+580+550+558=2268.
(1)写出123的“生成数”,并求S(123)的值.
(2)说明S(m)一定能被3整除.
参考答案
例1　解析:(1)2q2;4s2=2q2;2s2.
提示:假设是有理数,那么存在两个互质的正整数p和q,使得=,
两边平方得2=,
即p2=2q2.①
故p2是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.
设p=2s,代入①中,得4s2=2q2,
即q2=2s2.
所以q也是偶数,则p和q都是偶数,不互质,这与假设p和q互质矛盾.
这个矛盾说明,不能写成分数的形式,即不是有理数.
(2)假设是有理数,那么存在两个互质的正整数p和q,使得=,
两边立方得2=,
即p3=2q3.①
故p3是偶数,因为只有偶数的立方才是偶数,所以p也是偶数.
设p=2s,代入①中,得8s3=2q3.
即q3=4s3,
所以q也是偶数,则p和q都是偶数,不互质,这与假设p和q互质矛盾.
这个矛盾说明,不能写成分数的形式,即不是有理数.
针对训练　1.解析:(1)①7;5.
②(n+1)2-(n-1)2.
(2)4(k2-m2+k-m).
例2　解析:(1)=1000a+100b+10c+d
=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d).
显然3(333a+33b+3c)能被3整除,因此,如果(a+b+c+d)能被3整除,那么就能被3整除.
(2)设x1>x2>0,则y1=,y2=,
y1-y2=-=(x1+x2)(x1-x2).
∵x1>x2>0,
∴x1+x2>0,x1-x2>0,
∴(x1+x2)(x1-x2)>0,
∴y1>y2,即当x>0时,y随x的增大而增大.
针对训练　2.证明:设任意一个“极差数”的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,
∵a=b-c,
∴100a+10b+c=100b-100c+10b+c=110b-99c=11(10b-9c),
∴100a+10b+c能被11整除,
∴任意一个“极差数”一定能被11整除
针对训练　3.解析:(1)依题意123的“生成数”为1233,
得另四个三位数:233,133,123,123,
∴S(123)=233+133+123+123=612.
(2)设m的百位数字、十位数字、个位数字分别为a,b,c(都是整数),
由题意得2≤a+b≤18.
当2≤a+b≤9时,
由m的“生成数”得到四个三位数为100b+10c+a+b,100a+10c+a+b,100a+10b+a+b,100a+10b+c,
∴S(m)=303a+123b+21c=3(101a+41b+7c),
即S(m)能被3整除.
当10≤a+b≤18时,由m的“生成数”得到四个三位数为100b+10c+a+b-10,100a+10c+a+b-10,100a+10b+a+b-10,100a+10b+c,
∴S(m)=303a+123b+21c-30,
即S(m)=3(101a+41b+7c-10),
∴S(m)也能被3整除.
综上所述,S(m)一定能被3整除.

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