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第 4 章
4.3　对数
人教A版2019必修第一册
4.3.2 对数的运算
学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．
2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
3.掌握换底公式及其推论．
4.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
目录
CATALOG
01.对数的运算性质
03.题型强化训练
02.利用对数的运算性质化简、求值
04.小结及随堂练习
01
对数的运算性质
4.3.2 对数的运算
导入新知
在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质。你认为可以怎样研究？
探究：
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
探究：
通过了对对数概念的学习，我们掌握了指数式和对数式的互化，那么我们能否利用指数幂运算性质，得出相应的对数运算性质呢？
如我们知道aman = am+n ，那么 m+n如何表示，能用对数式运算吗？
根据指数和对数之间的关系，可得：
设 ， ，
所以：
这样我们就得到了对数的一个运算性质：
同底对数相加，底数不变，真数相乘。
提问：你能根据指数的性质am÷an =am-n,(am)n =amn, 按照以上的方法推出对数的其它运算性质吗？
同底对数相减，底数不变，
真数相除。
对数的运算性质：
同底对数相加,底数不变,真数相乘;
特别注意
同底对数相减,底数不变,真数相除。
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
1
02
利用对数的运算性质化简、求值
4.3.2 对数的运算
例3求下列各式的值
【答案】（1）4；（2）27；（3）-2；（4）2；（5）；（6）1
【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算
【解析】
（1）直接根据指数幂的运算性质进行运算；
（2）直接根据指数幂的运算性质进行运算；
（3）直接根据对数的运算性质进行运算；
（4）先用换底公式化为同底的对数，再根据对数的运算性质进行运算；
（5）先用换底公式化为同底的对数，再根据对数的运算性质进行运算；
（6）直接根据换底公式进行运算．
数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数．
探究：
根据对数的定义，你能用logca和logcb表示logab（其中a，c均大于0且不等于1，b大于0）吗？
我们把上式叫做对数换底公式.
提问：你能用对数换底公式证明以下等式吗？
（其中a,b,c均大于0且不等于1）
提问：你能用对数换底公式证明以下等式吗？
（其中a,b,c均大于0且不等于1）
提问：你能用对数换底公式证明以下等式吗？
（其中a,b,c均大于0且不等于1）
1
由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍．类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数．
例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍．
想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？
03
题型强化训练
4.3.2 对数的运算
能力提升
题型一　对数运算性质的应用
能力提升
题型一　对数运算性质的应用
【感悟提升】　对数式化简与求值的策略
“合”：将同底的两对数的和(差)合并成积(商)的对数，即公式逆用．
“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即公式的正用．
“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg2＋lg5＝1，进行化简与求值．
能力提升
题型二　换底公式的应用
【答案】BCD
能力提升
题型二　换底公式的应用
能力提升
题型二　换底公式的应用
【感悟提升】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
能力提升
题型三　对数运算的综合应用
能力提升
题型三　对数运算的综合应用
能力提升
题型三　对数运算的综合应用
【感悟提升】
1．应用对数的运算性质解对数方程的三种方法
(1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解．
能力提升
题型三　对数运算的综合应用
【感悟提升】
2．对数式、指数式综合运算的技巧
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
能力提升
题型四　实际问题中的对数运算
能力提升
题型四　实际问题中的对数运算
能力提升
题型四　实际问题中的对数运算
【感悟提升】解决对数应用题的一般步骤
04
小结及随堂练习
4.3.2 对数的运算
1.知识清单：(1)对数的运算性质．(2)对数运算性质的运用．(3)利用对数的运算性质化简、求值．
2.方法归纳：
转化法．
3.常见误区：
要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则．
1. 对数运算性质：
2. 对数换底公式：
3. 对数换底公式导出的三个性质：
作业
4.3.2 对数的运算
教科书第140 141页习题4. 4第3、5、9、10、12、13题.
D
C
8．某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？
10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？
人教A版2019必修第一册
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感谢您的聆听恩施市第二中学校本课程 课型：新授课 编制人：冯仁桥 高一年级 班 姓名
（1） lg 5 100； （2） log2 47 25
4.3 4.3.2 对数的运算 导学案
【变式】求下列各式的值：
学习目标：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．2.能熟练运用
对数的运算性质进行化简求值．3.掌握换底公式及其推论．4.能熟练运用对数的运算性质进行 2 5 4
化简求值． （1）83； （2）3333 ； （3） log2 0.25； （4） log2 20 log4 25；
重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能用换底公式进
行求值、化简．
难点：1.理解和掌握对数的性质；2.掌握对数式与指数式的关系 ,学会对数式与指数式的互化
（5） log2 3 log27125； （6） log3 2 log2 5 log5 3.
一、 导入新知
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手
指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数
ln x
2 y
例4 用 lnx, ln y, ln z表示 ．
等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等．从人们对天文、航天、航 3 z
海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家
x2 y 2 3 2 3 1 1
开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而 解： ln ln x y ln z ln x ln y ln z 2ln x ln y ln z3 z 2 3 ．
使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作用．
已知 lg6＝a, lg15＝b，试用 a，b表示 lg24和 lg120.
一、对数的运算性质 【变式】
问题 1 将指数式M＝ap ＋，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap q能
否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)
例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所
M ap
问题 2 －结合问题 1，若 ＝ ＝ap qq ，又能得到什么结论？N a 了解，例如，地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为
lg E 4.8 1.5M ．
问题 3 结合问题 1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是
二、应用新知
2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
例3 求下列各式的值：
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恩施市第二中学校本课程 课型：新授课 编制人：冯仁桥 高一年级 班 姓名
【变式】科学家研究发现，地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级M A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3
之间的关系是 lgE 4.8 1.5M .据中国地震台网测定，2022年 1月 8日，11时 24分在智利
练习（第 126页）
中部沿岸近海发生 5.9级地震，1时 45分在中国青海海北州门源县发生 6.9级地震，
E2
设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为 E1，门源县地震所释放的能量为E2，则 的 1．求下列各式的值：E1
近似值为（ ）
（1） log3(27 92)； （2） lg5 lg 2； （3） ln 3 ln
1
； （4）log3 5 log315．3
A．15 B．20 C．32 D．35
三、 能力提升
题型一 对数运算性质的应用
【练习 1】下列计算正确的是（ ） 2．用 lg x， lg y， lg z表示下列各式：
A． a3 2 a9 B． log2 6 log2 3 1 xy21 2 3 xy
3 x
1 1 （ ） lg(xyz) ； （ ） lg ； （ ） lg ； （4） lg ．2 2
C． z z y za 2 a 2 0 D． log3 4 2log3 4
题型二 换底公式的应用
【练习 2】(多选题）已知2x 3，3y 4，则（ ）
1 1
A． x 3 B． x y C． xy 2 D． 22 x y
题型三 对数运算的综合应用 3．化简下列各式：
3
1 3x 1
【例题 】若 f x a ln a
1 3x 3x 1
为偶函数，则 （ ）
（1） log2 3 log3 4 log4 5 log5 2 ； （2）2(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)．
A．1 B 1．0 C． 1 D． 2
题型四 实际问题中的对数运算
【例题 4】一种放射性元素最初的质量为500g，按每年10%衰减．则这种放射性元素的
半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结
习题 4.3（P126--127）
果精确到0.1，已知 lg 2 0.3010， lg3 0.4771）
第 2 页 共 2 页

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