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4.已知a=(1,1),b=(1,0),若(a+Ab)⊥a,则实数A=
2024~2025学年第一学期高三年级期中学业诊断
A.-2
B.2
数学试卷
C.-1
D.1
(考试时间：上午8：00一10：00)
5.已知奇函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，则f(x)=
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分.
1
A.二+x
四
总分
题号
15
16
17
18
19
C.2+
2
得分
6.已知{a}是等比数列，且a,=1,a2a=8,S是数列{a}的前n项和，则下列结论正确的是
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
A.a4=16
B.S5=32
是符合题目要求的)
C.Sn=2a.-1
D.an=S,-1
1.已知集合A={x-20},则A∩B
7.已知△ABC的三个顶点在半径为2的球0的球面上，AB=1,AC=2,∠BAC=60°，则三棱锥
O-ABC的体积为
A.(-2,-1)
B.(3,4)
C.(-1,3)
D.(-2,-1)U(3,4)
2.已知复数z满足(z-1)i=1,则z=
CV3
2
A.1+i
B.1-i
8已知函数)=cas(cs-号(u>0)在（受m)上单调，在(0，雪）上存在极值点，则实数
C.-1+i
D.-1-i
ω的取值范围是
3.“灯>0”是“x>0,y>0”的
A.(1,2)
B.0
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
c()
专)
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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=3,b=V了，c=V2,则下列结论正确
的是
A.△ABC是锐角三角形
BB=牙
C.△ABC的雨积为号
D.AB的中线长为⑤
10.已知函数∫(x)满足对于任意x,y∈Z,都有f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y）,
且f(1)=1,则下列结论正确的是
A.f(2)=0
B.f（(x)的图象关于点(1,0)对称
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(2025)=-1
11.已知直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥BC,CC,=1,AC,与平面ABC和平面ABB,A,所成角均
为30°，则下列结论正确的是
A.直线AB与平面AB,C,所成角为30
B.直线AC,与平面BCC,B,所成角为45
C点C到直线AB,的距离为Y乎
D点C到平面AaC,的距离为5
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高三数学第4页（共10页）2024-2025 年第一学期高三年级期中试题
参考答案及评分建议
一．选择题： D B C A B C A B
二．选择题： 9.BC 10.AC 11. BCD
三．填空题: 12.145 113. ( ,1) 314.
2 3
四．解答题：
15.解：（1）由题意得 A {x |1 x 2}， B {y | y 0}， A B (1,2]； ………6 分
x a
（2）由题意得 f (x) 2 x 的定义域为R ，且 f (x)是奇函数，2
f (0) 1 a 0， a 1， f (x) 2 x 1 ， ………9分
2 x
f (x) 2 x 1 x 在 (1,2]
3 15
上单调递增， f (1) ， f (2) ，
2 2 4
当 x A B时， f (x) 3 15的值域为 ( , ] . ………13 分
2 4
2
16.解（1）设{an}的公比为 q
a a a q(q 1) 12,
，则 4 2 1
a3 a
2
1q 8,
a 2, a1 32, n
解得 1 或 1 （舍去）， an 2 (n N
*)； ………6 分
q 2 q 2
n *
（2）由（1）可得bn (n 4) 2 (n N )，
Sn ( 3) 2 ( 2) 2
2 (n 5) 2n 1 (n 4) 2n ，①
2Sn ( 3) 2
2 ( 2) 23 (n 5) 2n (n 4) 2n 1，②
① n 1②，整理得 Sn (n 5) 2 10， ………10 分
* n 1
所以对于任意的 n N ，不等式 (n 5) 2 10 (n 4) 2n 10恒成立，
*
即不等式 ( 2)n (10 4 ) 0对于任意的 n N 恒成立， ………12 分
2 0, 8
解得 2 ，
2 10 4 0, 3
实数 的取值范围是[2, 8]. ………15分
3
3 1
17.解：（1）由题意得 f (x) sin 2x cos 2x sin(2x )， ………3 分
2 2 6
f (A) sin(2A ) 1， 0 5 A ， 2A ， A ，
6 2 6 6 6 3
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2sin B 3sinC 2b 3c b 3，由正弦定理可得 ，即 c， ………5 分
2
a 7 2 2，由余弦定理得 a b c2 2bc cos A 7 c2 7，
4
c 2，b 3； ………7 分
（2）由题意得 g(x) f (x ) sin(2x ) cos 2x， ………9 分
3 2
g(B) cos 2B 0， 0 B ， 0 2B ， B ， ………10 分
2 4
m 3 n cos AcosC sin AsinC cos(A C) cos(2A )， ………13 分
4
A 3 2 ， 2A ， cos(2A 3 ) 1，
4 2 4 4 4 2 4
m n 2的取值范围为 ( ,1] . ………15 分
2
18.（1）证明：连接OA， AB PA ， PAB 60 ，
△ PAB 是正三角形， PB AB PA， z
P Q
同理可得 PC AB， PB PC，
O是 BC的中点， OP BC， ………2 分 M
AB AC， OA BC， C
O
AB AC ， OA OB 1 BC ， A
2 y
x B
OP BC PB2 OP2 2， OB ，
PA 2 PB2 OP2 OB2 OP2 OA2 ， OP OA， ………4 分
OA BC O， OP 平面 ABC； ………6 分
（2）由（1）得OP OA，OP OB，OA OB，以O为原点，OA,OB,OP所在直线
分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB 2 ，则 A(1,0,0)，
B(0,1,0)，C(0, 1,0)，P(0,0,1)， BQ AP， Q( 1,1,1)，
显然OP (0,0,1)是平面 ABC的一个法向量， ………8 分

设m (x, y, z) BCQ m BC, 2y 0,是平面 的一个法向量，则
m BQ, x z 0,
取 z 1，则 x 1, y 0， m (1,0,1)， ………10 分
cos m,OP m OP 1 2 ， 二面角 A BC Q的大小为135 ；……12 分
|m ||OP | 2 2
（3）假设存在点M ，设 BM BQ(0 1)，则 BM BQ ( ,0, )，
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AM AB BM ( 1 ,1, )， ………13 分
7直线 AM 与平面 BCQ所成角的正弦值为 ，
7
| cos m, AM | | m AM | | 1 1 | ， ………15 分
|m || AM | 2 (1 )2 1 2 7
1 3 BM 1 或 （舍去）， . ………17 分
2 2 BQ 2
19.（1）证明：由题意得曲线 y f (x)在点 (an , f (an ))处的切线方程为
y f (an ) f (an )(x an )，即 y e
an ean (x an )，
令 y 0，解得 x an 1，则 an 1 an 1，即 an 1 an 1 (n N
*)，
所以数列{an}是以 a1为首项、 1为公差的等差数列； ………5 分
* f (a ) a a 1
（2）由（1）可得 an 1 an 1 (n N )，所以 n 1 e n 1 n ，f (an ) e
所以数列{ f (an )}是以 f (a
1
1)为首项、 为公比的等比数列，e
ea1 3(e4 1)
其前 4项的和为 ea1 3(e2 1)(e 1) (e2 1)(e 1)，
e 1
所以实数 a1 3； ………10 分
1 x3 x 1 ex
（3）原不等式等价于m 2 2 在 (0, )上恒成立，x
1 x3 x 1 ex 2
h(x) 2 x 0 h (x) (x 2)(x 2x 2 2e
x )
令 ， ，则
x2 2x3
，
t(x) x2令 2x 2 2ex ， x 0，则 t (x) 2(x 1 ex ) 0，
所以 t(x)在 (0, )上递减，所以 t(x) t(0) 0，
令 h (x) 0，则 x 2；令 h (x) 0，则0 x 2，
7 e2
所以 h(x)在 (0,2)上递增，在 (2, )上递减，所以 h(x) h(2) ，
4
m 7 e
2
所以实数 的取值范围为[ , ) . ………17 分
4
注：以上各题其它解法请酌情赋分.
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