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5.5一次函数的简单应用十一大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知直线经过点，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如果直线经过一、二、四象限，则有（　 ）
A． B． C． D．
3．将一次函数的图象向下平移2个单位长度，且平移后的函数图象经过点，则平移后的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．若点在直线上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，都是关于的一次函数，的图象如图所示，若，下列说法正确的是（ ）
A．的图象与轴的交点位于轴的正半轴
B．的图象与轴的交点位于轴的正半轴
C．的图象经过原点
D．的图象经过第一、二、三象限
7．“数形结合”是我们解决问题常用的一种数学思想，请根据图象，可得关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数和，与x的部分对应值如表，与x的部分对应值如表：则当时，x的取值范围是（ ）
x … 0 1 … x … 0 1 …
… 3 5 … … 0 …
A． B． C． D．
9．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．以下叙述正确的有（ ）
①轿车行驶的速度为；
②货车行驶的速度为；
③线段所在直线的函数表达式为；
④两车出发2小时或4小时后相距．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数图像位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作轴的平行线，直线交“”型折线于点；若线段，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．－2 D．8
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．一次函数（）的图象经过点，则关于的不等式的解集是 ．
12．若方程组的解是，则两直线和的交点坐标为 ．
13．某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，则此销售人员的基本月收入（销售量为0时的月收入）是 元．
14．在同一平面直角坐标系中，函数和交于点A，则点A的纵坐标为 ．
15．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
16．记的最小值为，若的最大值为，则 ．
17．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为
18．如图，在平面直角坐标系中，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，直线是一次函数的图象，其与轴交于点，与轴交于点，点是该函数图象上第一象限内的一点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)连接，若，求点的坐标．
20．某种图书每本15元，书店规定：如果一次购买这种图书10本以上，超过10本的部分打八折付款．王老师想为本班学生购买这种图书，设他为学生购买这种图书本，付款金额为元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若王老师为本班学生购买这种图书45本，则王老师应给书店付款多少元？
21．画出函数图象．
(1)利用图象求方程的解；
(2)利用图象求不等式的解集；
(3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围．
22．小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖．
(1)小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
(2)写出甲、乙两个商店中，收款（元）关于购买本数（本）的关系式．
(3)小明现有24元钱，最多可买多少个本子？
23．某公司计划从厂家采购一批“秦岭四宝国潮档案袋”（以下简称：档案袋）和“秦岭四宝国潮手账本”（以下简称：手账本），
已知档案袋元/个，手账本元/本，经了解，厂家有两种优惠方案：
方案一：购买手账本没有优惠，购买档案袋不超过个时，每个都按九折优惠，超过个时，部分每个按七折优惠；
方案二：档案袋和手账本都按原价的八折优惠
若该公司购买（）个档案袋，本手账本．
(1)请分别求两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用（元）与（个）之间的函数关系式；
(2)若该公司决定购买档案袋个，请你通过计算，在两种方案中，帮助该公司选择所花总费用较少的一种．
(3)当该公司购买多少个档案袋时，选择方案一和方案二所需的总费用相同．
24．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接．
(1)求与的值；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
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5.5一次函数的简单应用十一大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知直线经过点，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足其函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【详解】解：直线经过点，
，
解得：，
故选：A．
2．如果直线经过一、二、四象限，则有（　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数图象所经过的象限，判断的符号即可．
【详解】解：∵直线经过一、二、四象限，
∴；
故选D．
3．将一次函数的图象向下平移2个单位长度，且平移后的函数图象经过点，则平移后的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的直线解析式，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度后的一次函数解析式为，
∵平移后的函数图象经过点，
∴，
∴，
∴平移后的直线解析式为，
故选：B．
4．若点在直线上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解答此题的关键．
先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据即可得出结论．
【详解】解：一次函数中，，
随的减小而增大，
，
．
故选：A．
5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．根据一次函数的性质可依次作判断．
【详解】解：、B．假设的图象过一、二、四象限，则，，的图象过一、三、四象限，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
C、D．假设的图象过一、三、四象限，则，，的图象过一、二、四象限，故C、D不符合题意．
故选：．
6．已知，都是关于的一次函数，的图象如图所示，若，下列说法正确的是（ ）
A．的图象与轴的交点位于轴的正半轴
B．的图象与轴的交点位于轴的正半轴
C．的图象经过原点
D．的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】设，，，设．根据题意得到，则，，即可得出，的图象与轴的交点位于轴的正半轴．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意：设，，，设．
，
，
，，
，
的图象与轴的交点位于轴的正半轴，
故选：A．
7．“数形结合”是我们解决问题常用的一种数学思想，请根据图象，可得关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到当一次函数的函数图象在正比例函数的函数图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知当一次函数的函数图象在正比例函数的函数图象下方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集为，
∴关于的不等式的解集是，
故选：C．
8．一次函数和，与x的部分对应值如表，与x的部分对应值如表：则当时，x的取值范围是（ ）
x … 0 1 … x … 0 1 …
… 3 5 … … 0 …
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式和一次函数的性质，解题关键是找到两函数的交点坐标．在同一平面直角坐标系画图，根据一次函数与不等式即可判断．
【详解】解：在同一坐标系画图：
当时，x的取值范围是．
故选：D．
9．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．以下叙述正确的有（ ）
①轿车行驶的速度为；
②货车行驶的速度为；
③线段所在直线的函数表达式为；
④两车出发2小时或4小时后相距．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键．
根据图形可得轿车行驶千米，用路程除以时间可得轿车的速度计可以判断①，
根据图形可得小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②；
设直线的解析式为：，待定系数法求解析式，继而得到点的坐标为，根据题意得出点坐标为：，然后待定系数法求解析式即可判断③；
待定系数法求得解析式，根据Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④．
【详解】解：由图象可得，轿车行驶千米，轿车的速度为：，故①正确；
由图象可得，货车行驶的速度为：，故②错误；
由题意可得所在直线为关于x的正比例函数，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得，
∴；
则时，，
∴点的坐标为，
∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶，
∴轿车行驶后需．
∴点坐标为：．
设线段所在直线的函数表达式为，
将点代入得：
，
解得，
∴线段所在直线的函数表达式为，
故③正确；
设段的函数解析式为，
将代入得：
，
解得，
∴．
Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，有，
，
解得；
Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，有，
，
解得．
即两车出发小时或小时后相距．
故④错误．
正确说法有两个，
故答案为：B．
10．将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数图像位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作轴的平行线，直线交“”型折线于点；若线段，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．－2 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数与坐标轴交点等知识，结合折叠的性质确定直线的解析式是解题关键．首先确定点、坐标，设翻折后的直线与轴交于点，由折叠的性质可得，利用待定系数法解得直线的解析式，再将代入一次函数与，解得，，结合即可求得的值．
【详解】解：如下图，
对于一次函数，
令，，即，
令，可得，解得，即，
根据题意，将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，
设翻折后的直线与轴交于点，由折叠的性质可得，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
∵直线交“”型折线于点，且，
可将代入一次函数，，
得，，
∴，即，
解得．
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．一次函数（）的图象经过点，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用一次函数的性质求不等式的解集，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
根据得到y随着x的增大而减小，再由图象经过点即可求出答案．
【详解】解：∵一次函数（），
∴y随着x的增大而减小，
∵一次函数（）的图象经过点，
∴当时，，
故答案为：．
12．若方程组的解是，则两直线和的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴两直线和的交点坐标为，
故答案：．
13．某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，则此销售人员的基本月收入（销售量为0时的月收入）是 元．
【答案】500
【分析】本题考查一次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值即可得出结果．
【详解】解：设一次函数的解析式为：，
把代入，得：
，解得：，
∴，
∴当时，，
即：销售人员的基本月收入（销售量为0时的月收入）是500元；
故答案为：500
14．在同一平面直角坐标系中，函数和交于点A，则点A的纵坐标为 ．
【答案】2
【分析】本题考查两条直线的交点问题，先联立方程组，然后两式相加消去，即可求出y，从而得解，掌握求两直线交点的方法是解题的关键．
【详解】解：联立方程组得：，
得：，
解得：，
即点A的纵坐标为2，
故答案为：2．
15．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两一次函数的交点的横纵坐标是两一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，进行求解即可．
【详解】解：∵函数和的图象交于点，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
16．记的最小值为，若的最大值为，则 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，根据题意作图，考虑与的交点即可；
【详解】解：由题意作出以下图形：与的交点，
∴联立，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
17．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键．
可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ．
【详解】解：可知过原点，
∵中，时，，
∴当过点时，，
得；
当与平行时，
得．
由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：．
故答案为： ．
18．如图，在平面直角坐标系中，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据待定系数法求函数解析式是关键．先求出，分两种情况，，分别求出点E的坐标，表示出的长，进而即可求解．
【详解】解：∵，D为线段的中点，
∴，
①当时，设的解析式为：，
把，代入，
解得：，
∴，
设的解析式为：，
把代入，
解得：，
∴的解析式为：，
联立，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，最小，此时，；
②当时，则，的解析式为：，
当时，，即，
∵，
∴当时，最小，此时，，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，直线是一次函数的图象，其与轴交于点，与轴交于点，点是该函数图象上第一象限内的一点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)连接，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先由三角形的面积公式求出点C的横坐标，再代入一次函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得，
解得，
∴该一次函数的表达式为；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∴．
20．某种图书每本15元，书店规定：如果一次购买这种图书10本以上，超过10本的部分打八折付款．王老师想为本班学生购买这种图书，设他为学生购买这种图书本，付款金额为元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若王老师为本班学生购买这种图书45本，则王老师应给书店付款多少元？
【答案】(1)；
(2)王老师应给书店付款元．
【分析】本题考查了列一次函数关系式，确定题目中各数量之间的关系是解题的关键．
（1）先求出购买本书的金额，再表示出超过本书的金额，然后相加得出答案；
（2）由于，直接代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，
∴与之间的函数关系式为：；
（2）解：王老师为本班学生购买这种图书45本，
∴，
∴，
∴王老师应给书店付款元．
21．画出函数图象．
(1)利用图象求方程的解；
(2)利用图象求不等式的解集；
(3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解；
（2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集；
（3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，当时，，
，
作直线，如图所示．
当时，，所以方程的解为；
（2）解：当时，，所以不等式的解集为；
（3）解：值在的范围内，相应的的取值范围是．
22．小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖．
(1)小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
(2)写出甲、乙两个商店中，收款（元）关于购买本数（本）的关系式．
(3)小明现有24元钱，最多可买多少个本子？
【答案】(1)甲商店，理由见解析
(2)甲商店：；乙商店：
(3)小明用24元最多可买28本
【分析】此题考查了一次函数的应用，函数关系式，解题时首先认真审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，然后解答即可．
（1）根据题意，到甲购买10本以上，第11本按标价的卖，如果买20本，则付款，到乙买收款：即可得到答案；
（2）当时，分别根据题意列出函数关系式，即可得到答案；
（3）将分别代入（2）中函数关系式，进行求解即可．
【详解】（1）解：甲商店．
甲店收款为：（元，
乙店收款为：（元，
，
买20本时，到甲店购买省钱；
（2）解：甲商店：时，，即；
乙商店：时，，即；
（3）解：将代入得：
，
所以24元钱最多在甲商店可买28本，
将代入得：
，
所以24元钱最多在乙商店可买26本，
答：小明用24元最多可买28本．
23．某公司计划从厂家采购一批“秦岭四宝国潮档案袋”（以下简称：档案袋）和“秦岭四宝国潮手账本”（以下简称：手账本），
已知档案袋元/个，手账本元/本，经了解，厂家有两种优惠方案：
方案一：购买手账本没有优惠，购买档案袋不超过个时，每个都按九折优惠，超过个时，部分每个按七折优惠；
方案二：档案袋和手账本都按原价的八折优惠
若该公司购买（）个档案袋，本手账本．
(1)请分别求两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用（元）与（个）之间的函数关系式；
(2)若该公司决定购买档案袋个，请你通过计算，在两种方案中，帮助该公司选择所花总费用较少的一种．
(3)当该公司购买多少个档案袋时，选择方案一和方案二所需的总费用相同．
【答案】(1)方案一：；方案二：
(2)方案二
(3)个
【分析】（）根据题意写成函数解析式即可；
（）将代入（）中相应的函数解析式，求出两种方案下的花费情况，然后比较大小，即可求解；
（）根据题意列出方程即可求解；
本题考查一次函数的应用，根据题意正确写出相应的函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：方案一：当时，，
当时，，
综上，；
方案二：；
（2）解：方案一的费用：元，
方案二的费用：元，
∵，
∴选择方案二所花总费用较少；
（3）解：由题意得，，
解得，
答：该公司购买个档案袋时，选择方案一和方案二所需的总费用相同．
24．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接．
(1)求与的值；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，掌握一次函数的图像和性质是解题的关键是；
（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式进行求解，然后再代入正比例函数解析式进行求解即可；
（2）由点的坐标可得出点、的坐标，进而可得出的长度，由的长度结合三角形的面积公式即可求出的面积；
（3）假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为，，分及两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出关于的方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得，
解得：，
∴，
把代入正比例函数得，
∴；
（2）解：轴，，
把代入中，
解得：，
，
把代入中，
解得：，
，
，
又，
，
，
（3）假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为，
，
，
是以为腰的等腰三角形，
分及两种情况考虑；
当时，有，
解得：，
点的坐标为或
当时，有，
解得：，（舍去），
点的坐标为或或
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