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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
专题5.1.认识方程+5.2.等式的基本性质+专题5.3.一元一次方程和它的解
1、掌握并理解方程的概念，并掌握方程、等式的区别与联系；
2、掌握并理解一元一次方程的概念，及方程的解与解方程的区别与联系；
3、理解并掌握等式的两个基本性质，并能利用等式的基本性质解方程。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.方程与等式的辨别 2
考点2.根据实际背景列方程 3
考点3.方程的解 4
考点4.等式的基本性质 5
考点5.等式的基本性质的实际应用 6
考点6.利用等式的基本性质解方程 7
考点7.一元一次方程的辨别 9
考点8.根据一元一次方程的概念求参数 10
考点9.根据方程的解或解的情况求参数 11
模块3：能力培优 12
1.认识方程
1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数。．
2）方程的解：使方程两边相等的未知数的值。
2.等式的基本性质
性质1：等式两边同加上（或同减去）同一个数或式，所得结果任是等式。
用字母可以表示为：如果，那么。
性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式，（除数不能为零），所得结果任是等式。
用字母可以表示为：如果，那么或（c≠0）。
其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。
3.一元一次方程和它的解
1）一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程。
如何判断一元一次方程：
①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
2）一元一次方程的解：使一元一次方程两边相等的未知数的值，叫作一元一次方程的解，也叫方程的根。
3）解方程：求方程的解的过程叫作解方程。
考点1.方程与等式的辨别
例1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程的识别，理解并掌握方程的定义是解题关键．方程的定义：含有未知数的等式叫方程，据此即可获得答案．
【详解】解：A、 不含有未知数，故不是方程，不符合题意；
B、 是方程，符合题意；C、不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、不含有未知数，故不是方程，不符合题意．故选：B．
变式1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断选择即可．
【详解】A. ，不是等式，不是方程，不符合题意；
B. 是方程，符合题意；C. 不是等式，不符合题意；
D. 不含有未知数，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ．
【答案】②③④⑥
【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断．
【详解】解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；①和⑤分母中含未知数，是分式方程．
故答案为：②③④⑥．
考点2.根据实际背景列方程
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可．
【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，面积为6，则，故选：D．
变式1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）根据条件“比的一半大3的数等于的7倍”中的数量关系列出方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列方程，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，故答案为：．
变式2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
【详解】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，，故答案为：．
考点3.方程的解
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案．
【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意；
B、当时，，故此选项符合题意；
C、当时，，故此选项不符合题意；
D、当时，，故此选项不符合题意．故选：B．
变式1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解是的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将分别代入方程计算即可．
【详解】解：A、，不符合题意；B、，符合题意；
C、，不符合题意；D、，不符合题意；故选：B．
变式2．（24-25七年级上·河南漯河·开学考试）下列方程中，（ ）的解是．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了方程的解的定义，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，熟知方程的解的定义是解题关键．根据方程解的定义逐项代入即可判断．
【详解】解：当时，左边，左边右边，所以不是原方程的解，故原选项不合题意；
当时，左边，左边右边，所以不是原方程的解，故原选项不符合题意；
当时，左边，左边右边，所以不是原方程的解，故原选项不合题意；
当时，左边，左边右边，所以是原方程的解，故原选项合题意．
故选：．
考点4.等式的基本性质
例1．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知 ，则下列变形不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了等式的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
根据等式的性质逐项判定即可．
【详解】解：A、，成立，故此选项正确，不符合题意；
B、，当时，不成立，故此选项不正确，符合题意；
C、，成立，故此选项正确，不符合题意；
在、，成立，故此选项正确，不符合题意；故选：B．
变式1．（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得，∴正确，不符合题意；
、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得，∴或，∴错误，符合题意；
、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得，
∴正确，不符合题意；
、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得，
∴正确，不符合题意；故选：．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意；
B、若，则，原变形正确，符合题意；
C、若，则，原变形错误，不符合题意；
D、若，则，原变形错误，不符合题意；故选：B．
考点5.等式的基本性质的实际应用
例1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）天平托盘中形状相同的物体质量相等，能运用等式的性质说明如图所示的事实的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】A
【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
【详解】解：观察图形，左图得等式，右图得等式，利用等式性质1：等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；符合题意；故选：A．
变式1．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g．
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键．
设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可．
【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g．由题意可得：，，．
根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得，
将的两边同除以5，得，将和代入，得，
根据等式的基本性质1，将两边同时减，得，
根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得，
将代入，得，〇g，□g．故答案为：，．
变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）有13个乒乓球，有12个质量相同，另有一个较轻一点，如果用天平称，至少称（　　）次保证能找出这个乒乓球．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，首先要将13个乒乓球分成1、6、6三组，若一样重，则拿出的那一个是次品；若不一样重，再将轻的那6个分成3、3两组，进而再将轻的那3个分成1、1、1称量，即可求解．
【详解】解：首先要将13个乒乓球分成1、6、6三组，先称量6、6两组，若一样重，则拿出的那一个是次品；若不一样重，再将轻的那6个分成3、3两组，进而再将轻的那3个分成1、1、1称量，
从而可知至少需要3次才能找出次品．故选：C．
【点睛】本题考查了数学知识的应用，等式的性质，理解题意是解题的关键．
考点6.利用等式的基本性质解方程
例1．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）利用等式性质解方程
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】本题考查等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．
（1）两边同时加上4即可求解；（2）两边同时除以即可求解；
（3）方程两边同加上10，再除以5即可求解；（4）两边同时减去1，再除以3即可求解．
【详解】（1）解：，
两边同时加上4，得；
（2）解：，
两边同时除以，得；
（3）解：，
方程两边同加上10，得，
两边同时除以5，得；
（4）解：，
两边同时减去1，得，
两边同时除以3，得．
变式1．（23-24七年级上·河南商丘·期中）利用等式的性质解下列方程：
(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（）两边同时减即可求解；
（）两边同时加上，然后两边同时乘以，即可求解；,
本题考查了等式的基本性质，解题的根据是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
，
，
．
变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）回答下列问题，并说明变形的根据：(1)怎样从等式得到等式？(2)怎样从等式得到等式？(3)怎样从等式得到等式？
【答案】(1)两边同时减去，(2)两边同时除以5；(3)见解析
【分析】本题考查了等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．（1）根据等式的性质1可得到答案；
（2）根据等式的性质2可得到答案；（3）根据等式的性质2可得到答案；
【详解】（1）解：两边同时减去，
等式得到；
（2）解：两边同时除以5，
等式得到；
（3）解：两边同时乘以8，
等式得到．
考点7.一元一次方程的辨别
例1．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列等式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为次的整式方程，进行解答，即可．
【详解】A、不是整式方程，不符合题意；B、是一元一次方程，符合题意；
C、有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
D、不是等式，故选：B．
变式1．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是否是整式方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1只含有一个未知数．
【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意；
B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意；
C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意；
D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意．故选：A．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据定义即可求出答案．
【详解】解：A、不是方程，不是一元一次方程，本选项不符合题意；
B、是一元一次方程，本选项符合题意；
C、未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，本选项不符合题意；
D、有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意；故选：B．
考点8.根据一元一次方程的概念求参数
例1．（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程．
【详解】解：关于的方程是一元一次方程，
且，且．故选：C
变式1．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义与求解是解题的关键．根据一元一次方程的定义，即含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此求出的值，然后再求解方程即可．
【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，且，解得：，
原方程为：，解得：，故选：D
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到，求出m即可．
【详解】解：根据题意得：，解得：，故答案为：2．
考点9.根据方程的解或解的情况求参数
例1．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）若方程的解是，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】将代入方程，进行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【详解】解：∵方程的解是，∴，解得：；故选A．
变式1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式 ．
【答案】5
【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．将代入原方程即可求出，然后将其整体代入求值．
【详解】解：将代入原方程可得：，
∴，故答案为：5
变式2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入，计算即可作答．
【详解】解：依题意，代入，
得解得故答案为：
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键．
根据方程的定义求解即可．
【详解】解：①中不含有未知数，不是方程；
②不是等式，不是方程；③、④符合方程的定义；
⑤是代数式，不是等式，不是方程；综上，方程有2个．故本题选：A．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）是下列方程（ ）的解．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，将分别代入四个选项，能使得方程左边等于右边即为方程的解．
【详解】解：把代入，A、左边，右边，因此不是的解，故不符合题意；
B、左边，右边，因此是的解，故符合题意；
C、左边，右边，因此不是的解，故不符合题意；
D、左边，右边，因此不是的解，故不符合题意；故选：B．
3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．
把代入方程，得到关于a的方程，求解即可．
【详解】解：∵关于的方程的解是，
∴，解得．故选：B
4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．，且，则
【答案】B
【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：若，因为等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，
∴，故A正确，不符合题意；
若，当时，不一定成立，故B错误，符合题意；
若，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，
∴，故C正确，不符合题意；
若，且，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，
∴，故D正确，不符合题意；故选：B
5．（23-24七年级上·山东德州·期中）把等式变形为是根据（ ）．
A．等式左右两端都加上 B．在等式左右两端都加上
C．在等式左右两端都加上 D．在等式左右两端都加上
【答案】C
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数（或字母），等式仍成立．利用等式的性质即可求解．
【详解】解：把等式变形为是根据在等式左右两端都加上．故选：C．
6．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（　　）

A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质．
【详解】解：观察图形，使等式的两边都加，得到，利用等式性质1，所以成立．
故选：．
7．（24-25七年级上·广东·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定．
【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意；②是一元二次方程，不符合题意；
③是一元一次方程，符合题意；④是分式方程，不符合题意；
⑤是代数式，不是方程，不符合题意．故选：A．
8．（2023七年级上·江苏·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值为（ ）
A． B．1 C．2023 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，平方根，代数式求值；
根据一元一次方程的定义知，且，据此可求出，然后可求得代数式的值．
【详解】解：将方程整理为：，
∵方程是关于x的一元一次方程，
∴，，解得：，∴，故选：B．
9．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知关于的方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．先根据方程的解定义可得，从而可得，再进一步即可得答案．
【详解】解：由题意得：，
∴，∴，∴，故选：A．
10．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）关于的方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于的方程有解，得出，然后求出结果即可．
【详解】解：∵关于的方程有解，
∴，解得：，即的取值范围是，故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·山东·课后作业）如果，那么 ，其依据是 ．
【答案】 等式的基本性质1
【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等式的基本性质1，左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立，进行填空即可．
【详解】解：
故答案为：，等式的基本性质1
12．（23-24七年级上·广东广州·期中）如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式．
【详解】解：由题可知，，则，则，故答案为：．
13．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）若是关于x的一元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，以及代数式求值，熟记“只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程”是解题关键．根据一元一次方程的定义，求出，再代入计算求值即可．
【详解】解：是关于x的一元一次方程，，，，
，故答案为：．
14．（24-25七年级上·浙江·期中）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且；根据题意只要求得即可求得方程．本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【详解】解：∵一元一次方程形式是，是常数且；由题意可知，．
则将与的值代入中得：，解得：，
所以该一元一次方程为：．故答案为：（答案不唯一）．
15．（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，∴，
∴，故答案为：7．
16．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ．
x 0 1 2
7 5 3 1
【答案】2
【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．据表格提供的数据可直接得出方程的解．
【详解】解：根据表格得：当时，，
故的的解为．故答案为：2．
17．（24-25七年级上·浙江·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可．
【详解】解：把代入方程，得：
，即，整理得：，
无论k为何值，它的解总是1，，，解得：，，
则，故答案为：．
18．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的整数根，
∴，
∵，且，，，，是五个不同的整数，
∴，，，，也是五个不同的整数，
∵，
∴，即，
∵，∴，∴，故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·浙江·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是方程，见解析
(2)是方程
(3)不是方程，见解析
(4)不是方程，见解析
(5)是方程
(6)不是方程，见解析
【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得．
【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数．
（2）解：是方程．
（3）解：不是方程，理由是：不是等式．
（4）解：不是方程，理由是：不是等式．
（5）解：是方程．
（6）解：不是方程，理由是：不含未知数．
【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键．
20．（23-24七年级·海南儋州·阶段练习）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；
（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得．
【详解】（1）解：设这个班女生有人，
由题意列方程为．
（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，
由题意列方程为．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
21．（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值．
【答案】4或或1
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值．
【详解】解：分两种情况：
（1），，
当时，，此时；
当时，，此时；
（2），，
解得，，；
当时，，即；
当时，由原方程，得，不符合题意．
22．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列方程的变形是否正确？为什么？
(1)由，得．
(2)由，得．
(3)由，得．
(4)由，得．
【答案】(1)不正确，理由见解析
(2)不正确，理由见解析
(3)不正确，理由见解析
(4)不正确，理由见解析
【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确；
（2）根据左边除以7，右边乘，可得变形不正确；
（3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确；
（4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确．
【详解】（1）解：由，得，不是，故原变形不正确，
∵方程左边减3，右边加3，
∴变形不正确；
（2）解：由，得，不是，故原变形不正确，
∵左边除以7，右边乘，
∴变形不正确；
（3）解：由，得，不是，故原变形不正确，
∵左边乘2，右边加2，
∴变形不正确；
（4）解：由，得，不是，故原变形不正确，
∵左边加x减3，右边减x减3，
∴变形不正确．
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边不是都加或都减同一个数，左右大小关系发生了变化，等式的两边不是都乘或都除同一个数（不为0），左右大小关系发生了变化．
23．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是方程的解法，等式的基本性质的应用；
（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去7，再同时减去，最后同时除以2即可；
（2）先按照比例的基本性质变为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时乘以3，再同时减去2即可；
（3）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去60，再在方程两边同时减去，最后在方程两边同时除以即可；
（4）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可．
【详解】（1）解：，
化简，得，
两边同时减去7，得，
即，
两边同时减去，得，
即，
两边同时除以2，得，
即；
（2）解：，
∴，
即，
两边同时乘3，得，
即，
两边同时减去2，得，
即；
（3）解：
化简，得，
两边同时减去60，得，
即，
两边同时减去，得
即，
两边同时除以，得，
即；
（4）解：，
两边同时乘以6，得，
化简，得，
两边同时加上12，得，
两边同时减去x，得，
两边同时除以5，得．
24．（23-24七年级上·山东·课堂例题）有一个爱思考的同学，他平时总喜欢思考问题．有一天他对妈妈说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个方程．等式两边同时加2，得①，即．等式两边同时除以，得②．”你认为这个同学的说法正确吗？如果正确，请说明上述①②步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正．
【答案】不正确；详见解析
【分析】根据等式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：不正确．
①正确，运用了等式的性质1；
②不正确，等式两边不能同时除以，因为可能为0．改正：由，等式两边同时减去，得；
等式两边同时除以3，得．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式基本性质，1、等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式仍然成立。 2、等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
25．（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程(是常数)的解总是，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把代入方程计算，求出与的值，即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：
去分母得：，
整理得：，
∵不论取什么实数，关于的方程(是常数的解总是，
∴，
解得：，
则．
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专题5.1.认识方程+5.2.等式的基本性质+专题5.3.一元一次方程和它的解
1、掌握并理解方程的概念，并掌握方程、等式的区别与联系；
2、掌握并理解一元一次方程的概念，及方程的解与解方程的区别与联系；
3、理解并掌握等式的两个基本性质，并能利用等式的基本性质解方程。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.方程与等式的辨别 2
考点2.根据实际背景列方程 3
考点3.方程的解 4
考点4.等式的基本性质 5
考点5.等式的基本性质的实际应用 6
考点6.利用等式的基本性质解方程 7
考点7.一元一次方程的辨别 9
考点8.根据一元一次方程的概念求参数 10
考点9.根据方程的解或解的情况求参数 11
模块3：能力培优 12
1.认识方程
1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数。．
2）方程的解：使方程两边相等的未知数的值。
2.等式的基本性质
性质1：等式两边同加上（或同减去）同一个数或式，所得结果任是等式。
用字母可以表示为：如果，那么。
性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式，（除数不能为零），所得结果任是等式。
用字母可以表示为：如果，那么或（c≠0）。
其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。
3.一元一次方程和它的解
1）一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程。
如何判断一元一次方程：
①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
2）一元一次方程的解：使一元一次方程两边相等的未知数的值，叫作一元一次方程的解，也叫方程的根。
3）解方程：求方程的解的过程叫作解方程。
考点1.方程与等式的辨别
例1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（　　）
A． B． C． D．
变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ．
考点2.根据实际背景列方程
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）根据条件“比的一半大3的数等于的7倍”中的数量关系列出方程为 ．
变式2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ．
考点3.方程的解
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解是的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·河南漯河·开学考试）下列方程中，（ ）的解是．
A． B． C． D．
考点4.等式的基本性质
例1．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知 ，则下列变形不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
考点5.等式的基本性质的实际应用
例1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）天平托盘中形状相同的物体质量相等，能运用等式的性质说明如图所示的事实的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
变式1．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g．
变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）有13个乒乓球，有12个质量相同，另有一个较轻一点，如果用天平称，至少称（　　）次保证能找出这个乒乓球．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点6.利用等式的基本性质解方程
例1．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）利用等式性质解方程
(1) (2) (3) (4)
变式1．（23-24七年级上·河南商丘·期中）利用等式的性质解下列方程：(1)；(2)．
变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）回答下列问题，并说明变形的根据：(1)怎样从等式得到等式？(2)怎样从等式得到等式？(3)怎样从等式得到等式？
考点7.一元一次方程的辨别
例1．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列等式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
考点8.根据一元一次方程的概念求参数
例1．（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式1．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（ ）
A．1 B．0 C． D．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是 ．
考点9.根据方程的解或解的情况求参数
例1．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）若方程的解是，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
变式1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式 ．
变式2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为 ．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）是下列方程（ ）的解．
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．，且，则
5．（23-24七年级上·山东德州·期中）把等式变形为是根据（ ）．
A．等式左右两端都加上 B．在等式左右两端都加上
C．在等式左右两端都加上 D．在等式左右两端都加上
6．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（　　）

A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
7．（24-25七年级上·广东·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023七年级上·江苏·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值为（ ）
A． B．1 C．2023 D．
9．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知关于的方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）关于的方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·山东·课后作业）如果，那么 ，其依据是 ．
12．（23-24七年级上·广东广州·期中）如果，那么 ．
13．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）若是关于x的一元一次方程，则的值为 ．
14．（24-25七年级上·浙江·期中）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ．
15．（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
16．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ．
x 0 1 2
7 5 3 1
17．（24-25七年级上·浙江·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ．
18．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·浙江·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
20．（23-24七年级·海南儋州·阶段练习）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
21．（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值．
22．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列方程的变形是否正确？为什么？
(1)由，得． (2)由，得．
(3)由，得．(4)由，得．
23．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式．
(1) (2) (3) (4)
24．（23-24七年级上·山东·课堂例题）有一个爱思考的同学，他平时总喜欢思考问题．有一天他对妈妈说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个方程．等式两边同时加2，得①，即．等式两边同时除以，得②．”你认为这个同学的说法正确吗？如果正确，请说明上述①②步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正．
25．（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程(是常数)的解总是，求的值．
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