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第四章 指数函数与对数函数
4. 2.1 指数函数的概念
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.2.1节《指数函数的概念》。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，以及函数性质基础上，通过实际问题的探究，建立的第四个函数模型。其研究和学习过程，与先前的研究过程类似。先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、直观想象、及由特殊到一般的思想方法。
课程目标 学科素养
1.通过研究旅游人次变化和碳14衰减变化的过程，进一步体会指数函数概念的抽象过程，发展数学抽象和数学建模素养； 2.掌握指数函数的概念，经历用指数函数概念解决简单数学问题和实际问题，提升学生的数学运算，逻辑推理、数学建模素养； 3.了解增长率，衰减率的概念，进一步理解指数增长和指数衰减的概念。 a.数学抽象：指数函数的概念； b.逻辑推理：指数函数的底数特点； c.数学运算：待定系数法求指数函数解析式； d.直观想象：指数函数图像； e.数学建模：在实际问题中建立指数函数模型；
重点：理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．
难点：理解指数函数增长变化迅速的特点；
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教学过程 设计意图 核心教学素养目标
（一）、创设问题情境 对于幂 ，我们已经把指数 的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数． （二）、探索新知 问题１　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图 观察图象和表格，可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）；Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 　　
做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： １年后，游客人次是２００１年的1.111倍； ２年后，游客人次是２００１年的1.112倍； ３年后，游客人次是２００１年的1.113倍； …… x年后，游客人次是２００１年的1.11x倍． 如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么 y＝ 1.11x （x∈[０，＋∞））． ① 这是一个函数，其中指数x是自变量． 问题２　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么； 死亡1年后，生物体内碳14含量为（1-p)1； 死亡2年后，生物体内碳14含量为（1-p)2 ； 死亡3年后，生物体内碳14含量为（1-p)3 ；…… 死亡5730年后，生物体内碳14含量为（1-p)5730 ． 根据已知条件， （1-p)5730＝,从而1-p=,所以p=1-． 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x ， 即, （x∈[０，＋∞））． 这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以1-减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． 如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和 ，那么函数y＝ 1.11x 和 可以表示为的形式， 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___. 思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1 1．思考辨析 (1)y＝x2是指数函数．(　　) (2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ （三）典例解析 例1．已知指数函数设f(x)＝ax(a>0, 且a≠1),且f(3)=π 求f(0)，f(1)，f(-3)的值； 分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值； (

) 跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且f ＝ ， 则f(－2)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f ＝得a＝， 所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝. [规律方法]　 1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)ax的系数必须为1. 2．求指数函数的解析式常用待定系数法 例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况． 解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x）和g（x），则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x． 利用计算工具可得， 当x=0时，f（0）－g（0）＝412000． 当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）． 结合图可知：当x＜10.22时，f（x）＞g（x）， 当x＞10.22时，f（x）＜g（x）． 当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303． 这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x）， 这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了． 开门见山，通过对指数幂运算及函数概念和性质学习的铺垫，提出研究课题：指数函数。培养和发展数学抽象和数学建模的核心素养。 探究问题： 探究1.通过景区门票价格制定与参观景区人数，两个变量函数关系的建立，体会数学源于生活，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养； 通过典例问题的分析，让学生体验实际问题分析方法，及指数函数变化特点。培养分析问题与解决问题的能力； 探究2.通过生物体死亡时间与体内碳14含量，函数关系的建立，体会指数函数应用的广泛性，并建立指数函数的概念。体会由特殊到一般的研究方法，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养； 通过典例分析，进一步熟悉指数函数的概念，及认识到指数函数变化迅速的特点；
三、当堂达标 1．下列函数一定是指数函数的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x3 C．y＝3·2x D．y＝3－x 【答案】D　[由指数函数的定义可知D正确．] 2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　）． 【答案】C　[由指数函数的增长速度及定义，可知C正确．] 3．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】∪(1，＋∞) [由题意可知解得a>，且a≠1， 所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．] 4．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________. 【答案】x　[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝2， ∴a＝(a＝－舍去)，∴f(x)＝x.] 通过练习巩固本节所学知识，巩固指数函数的概念，及了解指数函数变化特点，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。
四、小结 1、指数函数概念 函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R . 五、作业 作业1：教材第118也习题4.2复习巩固第1题和第2题，综合运用第4题，第7题。 作业2：阅读思考教材第115页的“放射性物质的衰减”。 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；

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