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第一单元 《长方体和正方体》 单元复习讲义（讲义）
六年级数学上册专项精练（知识梳理+素养目标+易错集锦+专项精练）
（导图高清，可放大.）
1、核心素养目标：
（1）数学运算能力：学生能够熟练掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法，并能灵活运用到实际问题中。
（2）空间想象能力：学生能够准确地想象和描述长方体和正方体的三维结构，以及它们的展开图。
（3）逻辑推理能力：学生能够通过逻辑推理，理解长方体和正方体的性质，并能解决相关的几何问题。
（4）实践应用能力：学生能够将长方体和正方体的知识应用到实际生活中，解决实际问题。
2、学习目标：
（1）掌握长方体和正方体的特征，能计算它们的表面积和体积。
（2）通过观察、操作、推理等方法，理解长方体和正方体的性质和计算公式。
（3）培养学生对几何图形的兴趣，激发学生探索空间图形的热情，增强学生解决实际问题的信心。
1、长方体的特征：长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。
2、 长方体的长、宽、高的含义：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。
1、沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。
2、正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。
1、意义：长方体（或正方体）6个面的总面积。
2、计算方法：
（1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽 ×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。
（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。
3、稍复杂的长方体和正方体表面积的计算：在运用长方体和正方体的表面积解决生活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。
1、体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。
2、容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
3、相邻体积单位间的进率：体积单位常用到，相邻进率是1000；立方分米立方米，它们进率是1000；立方分米立方厘米，它们进率是1000。
1、长方体的体积=长×宽×高，字母公式为?V=abh。
2、 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为?V=a3。
3、长方体、正方体体积的统一公式
①底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
②体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。
一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。
（1）3面涂色的小正方体有8个。
如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。
易错点拨：（1）对长方体的特征理解不全面，误认为长方体只有相对面的面积相等。
（2）一般情况，长方体只有相对面的面积相等。但当长方体中有两个相对的面是正方形时，另外四个面的面积都相等，也就是说另外四个面中相邻的面的面积也相等。
易错点拨：
（1）求物体原材料的面积的时候，分不清求几个面的面积。
（2）要求物体的表面积，首先要想清楚该物体要计算几个面的面积。有些题目中有明确的说明：“无盖”底部和四壁”等，应除去上面的面积;有些题目要联系实际情况作出判断，比如，计算通风管的表面积时，上、下面的面积不需要计算。在解答时，可以根据实际情况画一画示意图，有助于正确分析题意。
易错点拨：（1）求容积与求体积的方法相同，但数据要求不一样，容易产生错误。
（2）体积是物体所占空间的大小，计算时的长、宽、高数据应当从外部测量;容积是容器所能容纳物体的体积，计算时的长、宽、高应从物体内部测量。计算时要注意分清。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
计算题
1．计算长方体的表面积和体积。
【答案】表面积：208cm2；体积：192cm3
【分析】根据长方体表面积公式：面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】（8×6＋8×4＋6×4）×2
＝（48＋32＋24）×2
＝（80＋24）×2
＝104×2
＝208（cm2）
8×6×4
＝48×4
＝192（cm3）
表面积是208cm2，体积是192cm3。
2．计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。
【答案】表面积：736平方厘米；体积：1176立方厘米
【分析】组合体的表面积＝长是12，宽是10，高是8的长方体的表面积＋棱长是6厘米的正方体的侧面积；根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体侧面积公式：侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，求出组合体的表面积；
组合体的体积＝长是12，宽是10，高是8的长方体的体积＋棱长是6厘米的正方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。
【详解】（12×10＋12×8＋10×8）×2＋6×6×4
＝（120＋96＋80）×2＋36×4
＝（216＋80）×2＋144
＝296×2＋144
＝592＋144
＝736（平方厘米）
12×10×8＋6×6×6
＝120×8＋36×6
＝960＋216
＝1176（立方厘米）
3．求下面这个零件的体积。（单位：厘米）
【答案】160立方厘米
【分析】这个零件由两个长方体组成，长方体的体积＝长×宽×高，据此求出两个长方体的体积，相加即可。
【详解】10×5×2＋（8－2）×5×2
＝100＋60
＝160（立方厘米）
4．求出下面组合图形的表面积和体积。（单位：厘米）
【答案】表面积：244平方厘米；体积：219立方厘米
【分析】观察图形可知，求表面积，表面积是长方体的表面积与正方体4个面的面积之和，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体表面积公式：棱长×棱长×5，代入数据，即可；求体积，体积是长方体的体积与正方体的体积之和；根据长方体的体积公式：长×宽×高；正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长；代入数据，即可解答。
【详解】表面积：
（8×4＋8×6＋4×6）×2＋3×3×4
＝（32＋48＋24）×2＋9×4
＝（80＋24）×2＋36
＝104×2＋36
＝208＋36
＝244（平方厘米）
体积：8×4×6＋3×3×3
＝32×6＋9×3
＝192＋27
＝219（立方厘米）
5．求下图的表面积和体积。（单位：分米）
【答案】表面积：216平方分米；
体积：208立方分米
【分析】根据题意，去掉小正方体，表面积不变；体积就是原来大正方体的体积减去去掉的小正方体的体积，据此列式解答。
【详解】表面积：
6×6×6
＝36×6
＝216（平方分米）
体积：
6×6×6－2×2×2
＝216－8
＝208（立方分米）
6．求如图正方体的体积和长方体的表面积。
【答案】125立方厘米；1360平方厘米
【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【详解】①5×5×5＝125（立方厘米）
②（20×16＋20×10＋16×10）×2
＝（320＋200＋160）×2
＝680×2
＝1360（平方厘米）
7．下面是一个长方体的展开图，求这个长方体的表面积和体积。
【答案】108平方厘米；72立方厘米
【分析】根据长方体的展开图可知，这个长方体的长是6cm，宽是4cm，高是：（12－6）÷2＝3cm；再根据长方体的表面积和体积公式计算即可。
【详解】（12－6）÷2
＝6÷2
＝3（cm）
表面积：
（6×4＋4×3＋3×6）×2
＝（24＋12＋18）×2
＝54×2
＝108（平方厘米）
体积：
6×4×3
＝24×3
＝72（立方厘米）
8．计算下面图形的体积．
（1） （2）
【答案】（1）360立方分米
（2）125立方米
【详解】（1）6×6×10＝360（立方分米）
答：这个长方体的体积是360立方分米．
（2）5×5×5＝125（立方米）
答：这个正方体的体积是125立方米．
9．计算如图图形的表面积和体积．
【答案】450平方厘米，500立方厘米
【详解】5×5×6×3
＝25×6×3
＝150×3
＝450（平方厘米）；
5×5×5×4
＝125×4
＝500（立方厘米）；
答：它的表面积是450平方厘米，体积是500立方厘米．
10．求下列图形的表面积和体积．
(1) (2)
【答案】（1）表面积是52平方分米，体积是24立方分米
（2）表面积是150平方分米，体积是125立方分米
【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答．
（2）根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据分别代入公式解答．
【详解】（1）（4×3+4×2+3×2）×2
＝（12+8+6）×2
＝26×2
＝52（平方分米）；
4×3×2＝24（立方分米）；
答：这个长方体的表面积是52平方分米，体积是24立方分米．
（2）5×5×6＝150（平方分米）；
5×5×5＝125（立方分米）；
答：这个正方体的表面积是150平方分米，体积是125立方分米．
11．求下面图形的表面积和体积．
【答案】（1）1350cm2 3375cm3 （2）516dm2 720dm3
【详解】（1）15×15×6=1350(cm2)
15×15×15=3375(cm3)
（2）(15×6+15×8+6×8)×2=516(dm2)
15×6×8=720(dm3)
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六年级数学上册专项精练（知识梳理+素养目标+易错集锦+专项精练）
（导图高清，可放大.）
1、核心素养目标：
（1）数学运算能力：学生能够熟练掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法，并能灵活运用到实际问题中。
（2）空间想象能力：学生能够准确地想象和描述长方体和正方体的三维结构，以及它们的展开图。
（3）逻辑推理能力：学生能够通过逻辑推理，理解长方体和正方体的性质，并能解决相关的几何问题。
（4）实践应用能力：学生能够将长方体和正方体的知识应用到实际生活中，解决实际问题。
2、学习目标：
（1）掌握长方体和正方体的特征，能计算它们的表面积和体积。
（2）通过观察、操作、推理等方法，理解长方体和正方体的性质和计算公式。
（3）培养学生对几何图形的兴趣，激发学生探索空间图形的热情，增强学生解决实际问题的信心。
1、长方体的特征：长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。
2、 长方体的长、宽、高的含义：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。
1、沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。
2、正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。
1、意义：长方体（或正方体）6个面的总面积。
2、计算方法：
（1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽 ×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。
（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。
3、稍复杂的长方体和正方体表面积的计算：在运用长方体和正方体的表面积解决生活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。
1、体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。
2、容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
3、相邻体积单位间的进率：体积单位常用到，相邻进率是1000；立方分米立方米，它们进率是1000；立方分米立方厘米，它们进率是1000。
1、长方体的体积=长×宽×高，字母公式为?V=abh。
2、 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为?V=a3。
3、长方体、正方体体积的统一公式
①底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
②体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。
一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。
（1）3面涂色的小正方体有8个。
如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。
易错点拨：（1）对长方体的特征理解不全面，误认为长方体只有相对面的面积相等。
（2）一般情况，长方体只有相对面的面积相等。但当长方体中有两个相对的面是正方形时，另外四个面的面积都相等，也就是说另外四个面中相邻的面的面积也相等。
易错点拨：
（1）求物体原材料的面积的时候，分不清求几个面的面积。
（2）要求物体的表面积，首先要想清楚该物体要计算几个面的面积。有些题目中有明确的说明：“无盖”底部和四壁”等，应除去上面的面积;有些题目要联系实际情况作出判断，比如，计算通风管的表面积时，上、下面的面积不需要计算。在解答时，可以根据实际情况画一画示意图，有助于正确分析题意。
易错点拨：（1）求容积与求体积的方法相同，但数据要求不一样，容易产生错误。
（2）体积是物体所占空间的大小，计算时的长、宽、高数据应当从外部测量;容积是容器所能容纳物体的体积，计算时的长、宽、高应从物体内部测量。计算时要注意分清。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
计算题
1．计算长方体的表面积和体积。
2．计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。
3．求下面这个零件的体积。（单位：厘米）
4．求出下面组合图形的表面积和体积。（单位：厘米）
5．求下图的表面积和体积。（单位：分米）
6．求如图正方体的体积和长方体的表面积。
7．下面是一个长方体的展开图，求这个长方体的表面积和体积。
8．计算下面图形的体积．
（1） （2）
9．计算如图图形的表面积和体积．
10．求下列图形的表面积和体积．
(1) (2)
11．求下面图形的表面积和体积．
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