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山大附中2024~2025学年第一学期期中考试
高二年级数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
3. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平行六面体的各棱长均为1，
，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6. 若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆
上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知曲线，则（ ）
A．当时，是圆
B．当时，是椭圆且一焦点为
C．当时，是椭圆且焦距为
D．当时，是焦点在轴上的椭圆
10．如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）
A．存在点满足
B．满足的点的轨迹长度是
C．满足平面的点的轨迹长度是
D．满足的点的轨迹长度是
11．通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．
C．四边形的内切圆过焦点，
D．轴，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ．
13．，函数的最小值为 ．
14．如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则直线所成角余弦值为 ．
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
已知空间三点，，，设．
(1)求和的夹角的余弦值；
(2)若向量与互相垂直，求的值．
16.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，AB边上中线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)求的面积．
17.（本小题满分15分）
已知圆C：和定点，直线l：（）.
(1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围．
18.（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度；
(3)若，线段上是否存在一点，使平面 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19.（本小题满分17分）
已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，．若，且当直线轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；
(3)记的面积为，求的最大值．山大附中2024~2025学年第一学期期中考试
高二年级数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：武海瑞
一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】可变形为，，，选D
2．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的条件分析判断即可
【详解】若直线与直线垂直，
则，得，或，
所以命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A
3. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把圆的方程化为标准方程即可求解
【详解】由可得，
所以圆心坐标和半径分别是，故选：B
4．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取为空间向量的基底，因为，，，所以，.
因为，
所以
，
所以.
故选：C
5．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案.
【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，
则椭圆方程为，
则，且，
解得，，
故该卫星远地点离地面的距离为
，
又，所以.
故选：A
6. 若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆与圆的对称性可得，再利用几何关系，求点的轨迹方程.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由圆与圆关于直线对称，
可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上，所以，解得，
经检验，满足题意，则点坐标为，
设圆心为坐标为，则，整理得，
即圆心的轨迹方程为.
故选：D.
7．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
运用点差法求得m的值，进而可求得椭圆的焦距.
【详解】如图所示，
依题意，直线的斜率为，设，
则，且 ，
由 两式相减得：，
于是，解得，
此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的焦距为.
故选：B.
8．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.
【详解】如下图所示：
在椭圆中，，
则，
圆的圆心，半径，
圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得，
，
由椭圆的几何性质可得，即，
由圆的几何性质可得，
所以，
所以的最小值是.
故选：C.
二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知曲线，则（ ）
A．当时，是圆
B．当时，是椭圆且一焦点为
C．当时，是椭圆且焦距为
D．当时，是焦点在轴上的椭圆
【答案】AC
【分析】分别将值代入方程，化简即可判断A、B、C，举例即可说明D.
【详解】对于A项，当时，曲线C可化为是圆，A正确；
对于B项，当时，曲线C可化为是焦点在轴上的椭圆，B错误；
对于C项，当时，曲线是椭圆，且，所以，故C正确；
对于D项，当时，曲线不是椭圆，故D错误.
故选：AC.
10．如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）
A．存在点满足
B．满足的点的轨迹长度是
C．满足平面的点的轨迹长度是
D．满足的点的轨迹长度是
【答案】ACD
【分析】利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度即可.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则有，,，，，，
对于A选项，若，则，且，，故轨迹方程为，当时，，点既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点存在，A正确
对于B选项，，，
，在底面内轨迹的长度是以A为圆心，1为半径的圆周长的
故长度为，B错误
对于C选项，，，设面的法向量
故有，解得，故
平面， ，的轨迹方程为
，在底面内轨迹的长度为，C正确
对于D选项，，
，，的轨迹方程为
，在底面内轨迹的长度为，D正确
故选：ACD
11．通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A． B．
C．四边形的内切圆过焦点， D．轴，且
【答案】BC
【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；根据向量数量积判断B；由四边形的内切圆过焦点，，结合面积公式求出判断C；由轴求出的坐标，结合斜率公式计算离心率判断D.
【详解】由可知：，，，，，，
对于A，若，则，
所以，即，
所以，与已知不符，故A错误；
对于B，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，所以，故B正确；
对于C，四边形的内切圆过焦点，，
所以，
所以，
整理得，
所以，解得（舍去）或
所以，故C正确；
对于D，当轴，时，则，
，，
所以，所以，整理得，
所以，所以，与已知不符，故D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．圆与圆的公共弦所在直线的方程为 .
【答案】
【分析】将两圆方程作差，消去、项，可得出两圆公共弦所在直线的方程.
【详解】将两圆方程作差可得，即.
因此，圆和圆的公共弦所在直线的方程为.
故答案为：.
13．，函数的最小值为 ．
【解析】设点，和直线，到l的距离分别为，
易知，显然.
当且仅当重合时取得等号.
故答案为：
14．如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为 ．
【答案】0
【详解】如图，过点作直线，过点作直线与点
设
由题意可知：，∴
在圆台中，
∴以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设夹角为，则
故答案为：0.
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
已知空间三点，，，设
(1)求和的夹角的余弦值；
(2)若向量与互相垂直，求的值．
【答案】(1)．
(2)或．
【分析】（1）利用计算即可；
（2）利用求解即可．
【详解】（1）由已知，
，
所以，
（2）因为，
，
因为与垂直，
所以，
即，解得或．
所以或．
16.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，AB边上中线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据设出直线的方程，利用的坐标求得直线的方程，通过联立的方程求得点的坐标.
（2）求得点坐标，然后求得到直线的距离，利用两点间的距离公式求得，进而求得的面积.
【详解】（1）∵，BH的方程为，
不妨设直线AC的方程为，
将代入得，解得，
∴直线AC的方程为，
联立直线AC，CD的方程，即，
解得点C的坐标为；
（2）设，则，∵点在上，点在上，
所以，解得，
直线的方程为，
则到直线的距离为，
又，，则，
17.（本小题满分15分）
已知圆C：和定点，直线l：（）.
(1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长.
（2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）圆C：，圆心，半径，
当时，直线l的方程为，
所以圆心C到直线l的距离，
故弦长为.

（2）设，则，
由，，得.
化简得，
所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆.
又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点，
所以，
解得，
所以m的取值范围是.

18.（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点.

(1)求证：平面.
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
(3)若，线段上是否存在一点，使平面 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
(3)存在，
【分析】（1）连结交于点，可知.然后根据线面平行的判定定理，即可得出平面；
（2）建立空间直角坐标系，再根据线面角的向量方法求解可得的长度；
（3）令，再根据与平行列式求解，进而根据空间向量模长求解即可.
【详解】（1）

连结交于点.
因为四边形是正方形，
所以是的中点，
又是的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）
因为平面，平面，所以．
因为四边形为正方形，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
以点为坐标原点，过点作的平行线为轴，分别以、为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
设平面的法向量为，，，，
则，令，则，，
则，
设与平面所成角为，
，
解得或，
所以的长度或.
（3）存在，理由如下：
因为，结合（2），，，
所以，，，
令，
则，
所以，所以，
设平面法向量为，
则，令，则，，
所以，
因为平面，所以，
所以有，解得，所以，
因为，
所以.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；
(3)记的面积为，求的最大值．
【答案】(1)；(2)为定值，证明见解析；(3)
【分析】（1）由，，及可求得，；
（2）可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性；
（3）根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值．
【详解】（1）设椭圆的右焦点为，，则，
由，得，
又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得，
则，
联立，解得，，，
所以椭圆的方程为
（2）证明如下：
显然，直线不与轴垂直，可设的方程为，
联立椭圆方程，消去并整理得，
又设，，由韦达定理得
从而，
，
所以，
即，故得证．
（3）由知，
所以
．
令，，
则，设函数，
由对勾函数性质易知在上为增函数，
得，即时，，
此时取得最大值为．

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