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宜春一中2024-2025学年第一学期高二期中考试数学试卷
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B D C C D CD BCD
题号 11
答案 ACD
8．解：设，是抛物线上任一点，显然，
抛物线内以为圆心的圆能过原点，则的最小值是，
，
所以时，取得最小值，
若，则点不可能是原点，即抛物线的顶点，不合题意，
若，即，则时，，此时圆半径为，最大值是2.
故选：D．
11.解：依题意，正方形的对角线，则，
，，，
对于A，，A正确；
对于B，由，得，B错误；
对于C，，
于是，又为三个向量的公共起点，因此四点共面，C正确；
对于D，，，
直线与直线所成角的余弦值为，D正确.
故选：ACD
三、填空题
12． 2
13 .
14．
解：当，表示椭圆第一象限部分；
当，表示双曲线第四象限部分；当，表示双曲线第二象限部分；
当，不表示任何图形；以及两点，作出大致图象如图：
曲线上的点到的距离为，
根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，
直线与距离为，
曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1，
联立，消得，
，且，
所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点，
考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为，
所以，所以的取值范围是.
15．解：（1），，故.
（2）由（1）可得，，
因为向量，垂直，故，
整理得到：，故或.
16．解：（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1，
直线方程为，即，
由，解得，所以点的坐标是.
由点在直线上，设点，
于是边的中点在直线上，
因此，解得，即得点，直线的斜率，所以直线的方程为，即.
17．解：（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，
因为椭圆的离心率为，即，
所以，，所以椭圆方程为
（2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意；
所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所：
联立得，设，则，
根据焦点弦公式可得，
解得，，所以直线方程为或
18．解：（1）由题知，，
因为，所以
，
而，，
，
所以，即的长度为.
（2）因为，所以，
所以，
在中，，
所以，即，又因为，所以平面，
而平面，所以，即为到直线的距离，
而，所以三角形为等边三角形，即，
即到直线的距离为.
（3）设，则
，
当时，这时的最小，且为.
19．解：（1）由题意可知椭圆满足，
故.
（2）（i）由测量数据可得，，故，，墙壁所在直线，
易知直线斜率存在，设，可得，
设切线，联立，
则，
相切可得，
则，则，
切点，
，
故，，，，
故，则.
（ii）设动点，则，不妨设过点的两条切线法向量为，
过点的两条切线法向量为，均为非零向量，
故切线方程为和，
则满足和.
由此可知两组切线分别对应平行，四边形是平行四边形，过圆心做一组切线的垂线，垂足为,由于关于原点对称，故也关于原点对称，又,
故故，故平行四边形是菱形.
下面研究菱形的面积：
过作PR的垂线GH，则，由（i）可知,故，
设，则有：，解得，则，
其中的取值范围是，
设，在上是单调函数，故的取值范围是.宜春一中2024-2025学年第一学期高二年级期中考试
数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　）
A． B． C． D．
3．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.）
9．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．已知直线，则直线的倾斜角为
D．若两直线与平行，则
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．
C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个
11．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，下列说法正确的是（ ）
A．
B．点的坐标为
C．，，，四点共面
D．直线与直线所成角的余弦值为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12．若直线是双曲线的一条渐近线，则 .
13．圆与圆相交所得公共弦长为 ．
14．已知实数满足，则的取值范围是为 .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. ）
15．（13分）已知点，，，设，．
(1)求，夹角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
16．（15分）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程．
17．（15分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程．
18．（17分）在平行六面体中，，，.
(1)求的长；
(2)求到直线的距离；
(3)动点在线段上运动，求的最小值.
19．（17分）中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径，
(1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？
(2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.
（i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想.
（ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围.

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