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2025年甘肃省兰州市初中学业水平考试
数学　仿真模拟卷（一）
注意事项：全卷共120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列实数是无理数的是（　　）
A. B. C. D.－5
2. 如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想.下列是该玉琮俯视图的是（　　）
第2题图　　　　　　A　　　　　 　B　　　　　 　C　　　　　 　D
3.下列运算正确的是（　　）
A.2x4÷x3＝2x B.（x3）4＝x7 C.x4＋x3＝x7 D.x3·x4＝x12
4. 兰州老街灯会“龙游老街，梦圆辉煌”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（　　）
第4题图
A.9 B.10 C.11 D.12　　　　　　　　
5.如图，四边形ABCD内接于☉O，连接AO，DO，已知△AOD是等边三角形，DO是∠ADC的平分线，则∠ABC＝（　　）
第5题图
A.30° B.40° C.60° D.80°
6.将直线y＝mx＋2（m≠0）向右平移4个单位长度，平移后的直线经过点（3，－4），则m＝（　　）
A.4 B.5 C.6 D.－6
7.关于x的方程x2－2x＋a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a＋1）在（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（　　）
A.1 B.3 C.5 D.45
9. 据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌各用上、中、下三匹马比赛，在同等级的马中，齐威王的马比田忌的马跑得快，但每人较高等级的马都比对方较低等级的马跑得快.双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马只赛一次，赢得两局者为胜.如果齐威王首局出上马，田忌首局出下马，则田忌获胜的概率是（　　）
A. B. C. D.
10.已知抛物线y＝x2－2x＋3，下列结论错误的是（　　）
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x＝1
C.抛物线的顶点坐标为（1，2） D.当x＞1时，y随x的增大而减小
11. 西汉初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，如图1，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法.如图2，“反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角”.如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置，已知法线OC⊥MN，反射光线AO与水平线的夹角∠AOD＝56°，则平面镜MN与水平线BD的夹角∠NOD的大小为（　　）
图1　　 　图2　　 　图3
第11题图
A.24° B.28° C.34° D.56°
12.如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，动点G从点A出发以1 cm/s的速度沿AC→CB的方向运动，运动到点B时停止，动点H从点A出发，以 cm/s的速度沿AB方向运动，运动到点B时停止.设△AGH的面积为y cm2，运动时间为x s，y与x的函数图象如图2所示，则AC的长为（　　）
图1　　 　图2
第12题图
A.2 cm B.3 cm C.3 cm D.4 cm
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13.分解因式：x2－16y2＝　　　　　　　.
14.如图，在矩形ABCD中，E是边AD的中点，连接BE交对角线AC于点F.若AC＝6，则AF的长为　　　　　.　　　　　
第14题图
15.传送带是一种传送工具，可以运输各种形状的物料.如图，已知某一条传送带转动轮的半径为20 cm，如果该转
动轮转动了两周后又转过120°，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）　　　　　cm.
第15题图
16.某学习小组做随机抛掷一枚纪念币的试验，整理的试验数据如表：
抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000
“正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083
“正面向上”的频率 0.520 0.511 0.529 0.518 0.522 0.519 0.521
下面有三个推断：
①抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次.
其中正确的是　　　　　.（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（4分）计算：（3＋）（3－）－（－1）2.
18.（4分）解不等式组：.
19. （4分）先化简，再求值：÷（x－1－），取你喜欢的整数x代入求值.
20.（6分）如图，已知正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（2，3），D为x轴正半轴上一点，过点D作CD⊥x轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且CD＝6.
（1）求k1，k2的值；
（2）连接AB，求△ABC的面积.
第20题图
21.（6分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O.
（1）判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝AE，AF＝1，求DG的长.
第21题图
22.（6分）如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置OA，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高高度为3 m.水柱落地处离池中心的水平距离为3 m.小刚以柱形喷水装置OA与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.水柱喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求柱形喷水装置的高度.
图1 　图2
第22题图
23.（6分）观察发现：折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国.折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支.折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧；②两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E；③连接AD.
操作体验：（1）根据“观察发现”中的步骤，作图；
推理论证：（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动.如图2，①将长方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，得到折痕MN，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕MN上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点F，连接AE，BE，DE，FE.小亮根据上面步骤得出DE＝AB，请你补全括号里的证明依据；
证明：∵MN⊥AD，MA＝MD，
∴AE＝DE.（　　　　　　　 依据1　　　　　　　　）
∵AB＝AE，
∴DE＝AB.（　　　　　　　 依据2　　　　　　　　）
依据1：　　　　　　　　　　　 ；依据2：　　　　　　　　　　　　 .
拓展探究：（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用.如图3，某地有两个村庄M，N和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P.（保留作图痕迹，不写作法）
图1　　 　图2　　　 图3
第23题图
24.（6分）中华人民共和国2019－2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示.
第24题图
（以上数据引自《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》）
根据以上信息回答下列问题：
（1）2019－2023年全国居民人均可支配收入的中位数为　　　　.
（2）下列结论正确的是　　　　.（填序号）
①2019－2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势；
②2019－2023年全国居民人均可支配收入实际年增长速度先下降后上升；
③2019－2023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低.
（3）2019－2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
25.（6分）甘州木塔建于隋开皇二年（公元582年），至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图1）.某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，木塔OA垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角∠ADF，∠AEF的度数（点O，C，B在同一条直线上，A，B，C，D，E，F，O均在同一平面内），再测得B，C两点之间的距离.
数据收集：测角仪BD＝CE＝1.5 m，测得BC＝29.7 m，∠ADF＝34.6°，∠AEF＝63.4°.
问题解决：求甘州木塔OA的高度.（参考数据：sin34.6°≈0.57，cos34.6°≈0.82，tan34.6°≈0.69，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00.结果精确到0.1 m）
图1　 　　图2
第25题图
26.（7分）如图，已知△ABD内接于☉O，AB是☉O的直径，过点B作☉O的切线，与AD的延长线交于点C，且AD＝CD，已知E是AB左侧圆周上的一点，连接EC.
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）当E是的中点时，求sin∠BCE的值.
第26题图
27.（8分）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题.若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN＝45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.
【初步尝试】（1）如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN.用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系，并说明理由；
【类比探究】（2）小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由.
图1　 　　图2　 　　图3
第27题图
28.（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”.已知点A的坐标为（0，1）.
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，－2），C2（2，2），C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是　　　　　　；
（2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝－2x－3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；
（3）如图3，点B为x轴上的一动点，直线y＝4x＋b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围.
图1　　　 图2　　　 图3
第28题图
2025年兰州市初中学业水平考试
数学　仿真模拟卷（一）
1.A　2.D　3.A　4.D　5.C　6.C　7.A　8.C　9.B 10.D　11.B　12.C
13.（x＋4y）（x－4y）　14.2　15.π　16.②③
17.解：原式＝9－5－（3－2＋1） 3分
＝2. 4分
18.解：，
解不等式①，得x≥－3， 1分
解不等式②，得x＜2， 2分
∴不等式组的解集是－3≤x＜2. 4分
19.解：原式＝÷
＝·
＝·
＝. 3分
由以上步骤可知，x不等于0，－1，2，－2.
当x＝1时，原式＝＝－1.（答案不唯一） 4分
20.解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点
B（2，3），∴k2＝2×3＝6. 1分
又∵正比例函数y＝k1x的图象经过点B（2，3），
∴3＝2k1，解得k1＝，
∴k1＝，k2＝6. 3分
第20题解图
（2）如解图，过点B作BH⊥CD于点H.
由（1）可知，正比例函数的表达式为y＝x，
反比例函数的表达式为y＝.
∵点C在正比例函数y＝x的图象上，且CD⊥x轴，CD＝6，∴点C的纵坐标为6.
对于y＝x，当y＝6时，x＝4，
∴点C的坐标为（4，6），
∴OD＝4，点A的横坐标为4. 5分
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴点A的坐标为（4，），∴AD＝，
∴AC＝CD－AD＝6－＝，BH＝4－2＝2，
∴S△ABC＝AC·BH＝××2＝. 6分
21.解：（1）四边形ABEF为正方形.理由如下： 1分
∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°.
∵EF⊥AD，∴∠DAB＝∠B＝∠EFA＝90°，
∴四边形ABEF为矩形， 2分
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∴四边形ABEF为正方形. 3分
（2）∵四边形ABEF为正方形，AF＝1，
∴BE＝AF＝1. 4分
∵DG⊥AE，∴∠AGD＝∠B＝90°.
在△ADG和△AEB中，， 5分
∴△ADG≌△AEB（AAS），
∴DG＝BE＝1. 6分
22.解：（1）由题意可知，抛物线的顶点为（1，3），因此设该抛物线的表达式为y＝a（x－1）2＋3（0≤x≤3）.
∵该抛物线经过点（3，0），
∴0＝a（3－1）2＋3，解得a＝－，
∴该抛物线的表达式为y＝－（x－1）2＋3（0≤x≤3）. 3分
（2）当x＝0时，y＝－（0－1）2＋3，解得y＝.
答：柱形喷水装置的高度为 m. 6分
23.解：（1）作图如解图1. 2分
（2）依据1：线段垂直平分线的性质；依据2：等量代换. 4分
（3）如解图2，点P1，P2即为所求. 6分
图1　 　　图2
第23题解图
24.解：（1）35128. 2分
（2）①. 4分
（3）39218－30733＝8485（元）.
答：收入最高的一年比收入最低的一年多8485元. 6分
25.解：由题意，得DB＝CE＝OF＝1.5 m，
DE＝BC＝29.7 m.
设EF＝x m，∴DF＝DE＋EF＝（29.7＋x） m.
在Rt△AEF中，∠AEF＝63.4°，
∴AF＝EF·tan63.4°≈2x（m）. 2分
在Rt△ADF中，∠ADF＝34.6°，
∴AF＝DF·tan34.6°≈0.69（x＋29.7） m，
∴2x＝0.69（x＋29.7），解得x≈15.64， 4分
∴AF＝2x＝31.28（m），
∴AO＝AF＋OF＝31.28＋1.5≈32.8（m）.
答：甘州木塔OA的高度约为32.8 m. 6分
26.解：（1）△ABC是等腰直角三角形.理由如下： 1分
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC，∴AB＝BC. 2分
∵BC与☉O相切于点B，OB为☉O的半径，∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形. 3分
第26题解图
（2）如解图，连接OE，设CE与OB交于点F.
∵E是的中点，
∴∠BOE＝90°，∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF， 4分
∴＝＝＝，
∴BF＝OB＝AB＝BC. 6分
令BF＝x，则BC＝3x，∴FC＝＝x，
∴sin∠BCE＝＝. 7分
27.解：（1）MN＝DM＋BN.理由如下： 1分
由旋转的性质，可知AE＝AM，BE＝DM，∠EAM＝90°，∠ABE＝∠D＝90°，∴E，B，C三线共线.
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝∠EAM－∠MAN＝45°＝∠MAN.
在△EAN和△MAN中， ， 2分
∴△EAN≌△MAN（SAS），∴EN＝MN.
∵EN＝BE＋BN，∴MN＝DM＋BN. 3分
（2）MN＝BN－DM.理由如下： 4分
如解图1，在BC上取BE＝MD，连接AE.
∵AB＝AD，∠B＝∠ADM＝90°，∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM.
∵∠DAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAE＋∠DAN＝45°，
∴∠EAN＝45°＝∠MAN.
在△EAN和△MAN中， ，
∴△EAN≌△MAN（SAS），∴EN＝MN.
∵EN＝BN－BE，∴MN＝BN－DM. 5分
图1　 　　图2
第27题解图
（3）MN＝DM＋BN.理由如下： 7分
如解图2，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AN＝AE，BN＝DE.
∵∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠ADE＋∠ADC＝180°，∴E，D，C三点共线.
由（1）同理可得△EAM≌△NAM（SAS），
∴MN＝DM＋DE＝DM＋BN. 8分
28.解：（1）C1，C2. 2分
【解法提示】∵C1（0，－2），∴AC1＝3＞2＝AB，且△ABC为直角三角形，AB为直角边，故C1是线段AB的“从属点”.∵C2（2，2），∴AC2＝＞2＝AB，且△ABC为直角三角形，AB为直角边，故C2是线段AB的“从属点”.∵C3（1，0），此时AB不是直角边，故C3不是线段AB的“从属点”.∵C4（0，3），∴AC4＝2＝AB，故C4不是线段AB的“从属点”.
（2）设点P的坐标为（a，－2a－3 ），
①当∠ABP＝90°时，由题意可知OA＝OB＝1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，∴∠OBP＝45°.
如解图1，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，BP交y轴于点E，可知△OBE和△FPE为等腰直角三角形，
∴OE＝OB＝1，PF＝EF＝－a，∴OF＝1－a，
则1－a＝2a＋3，解得a＝－，
∴点P的坐标为（－，－），此时AP＞AB. 3分
图1　 　　图2
第28题解图
②当∠BAP＝90°时，如解图2，过点P作PG⊥x轴，垂足为G，AP交x轴于点H.
同理可知∠OAP＝45°＝∠AHO＝∠PHG，
∴△AOH和△PHG为等腰直角三角形，
∴AO＝HO＝1，PG＝HG＝2a＋3，∴OG＝2a＋4，
∴2a＋4＝－a，解得a＝－，
∴点P的坐标为（－，－），
此时AP＝AH＋HP＞AB.
综上所述，点P的坐标为（－，－）或（－，－）. 5分
（3）b＞5或b＜－4. 9分
【解法提示】如解图3，AC＝AE＝AB，由“从属点”的定义可知线段AB的“从属点”在射线CC1，EE1，直线BD上.当b＞0，点B和原点重合时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，则点C在线段MN上，此时点C（－1，1），代入y＝4x＋b，解得b＝5.当b＞5时，总能找到点B，满足条件.当b＜0时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，如解图4，当点E和M重合时，∵AB＝AE，∴△ABE为等腰直角三角形，可得AO＝EO＝1，将E （1，0）代入y＝4x＋b，解得b＝－4.当b＞－4时，射线CC1，EE1，直线BD无法与线段MN产生两个交点，当b＜－4时，总能找到点B，满足条件.综上所述，b的取值范围是b＞5或b＜－4.
图3 　图4
第28题解图
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