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甘肃省2025年初中毕业、高中招生考试
数学　仿真模拟卷(三)
考生注意:本试卷满分为150分,考试时间为120分钟.
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.下列各数中,比-1小的数是 (　　)
A.-2 B.0 C.1 D.2
2. 敦煌是中华民族古老文明的象征,是人类文化中的一朵奇葩.敦煌壁画是敦煌石窟艺术的内容之一,具有较高的艺术价值.下列壁画中不是轴对称图形的是 (　　)
A B C D
3. 世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城,其海拔高度记为“+4410米”,表示高出海平面4410米;全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的,其最大钻深记为“-15250米”.“-15250米”表示的意义为 (　　)
A.高于海平面15250米 B.低于海平面15250米
C.比“拉索”高15250米 D.比“拉索”低15250米
4.计算:(-2a3b)2·b2= (　　)
A.-2a6b4 B.4a6b4 C.-4a6b4 D.4a6b3
5.已知△ABC∽△DEF,相似比为3∶1,且△ABC的周长为15,则△DEF的周长为 (　　)
A.1 B.3 C.5 D.45
6.兰州老街灯会“龙游老街,梦圆辉煌”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,如图,小华量得图中一边BC与对角线AC的夹角∠ACB=15°,则这个正多边形的边数是 (　　)
第6题图
A.9 B.10 C.11 D.12
7. 唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载:“今有五十鹿入舍,小舍容四鹿,大舍容六鹿,需舍几何 ”大意为:今有50只鹿进圈舍,小圈舍可以容纳4头鹿,大圈舍可以容纳6头鹿,若每个圈舍都住满,求需要多少圈舍 设需要小圈舍x间,大圈舍y间,根据题意可列方程为 (　　)
A.4y+6x=50 B.50+4x=6y C.4x+6y=50 D.50+6y=4x
8.2024年6月21日,“黄芪饮料杯”甘肃省青少年足球(甲组)锦标赛在陇西县体育场拉开帷幕,本次比赛规模大、规格高,将全面展示全省各地校园足球特色,拓展素质教育新空间,引导带动更多青少年参与足球运动.为了了解某班学生对足球运动的喜爱,对此班学生进行了“最喜欢的球类体育项目”的问卷调查,根据统计结果绘制了如图所示的扇形统计图,根据统计图提供的信息,下列结论正确的是 (　　)
　
第8题图
A.该班最喜欢足球的学生人数最多
B.该班最喜欢排球的学生人数和最喜欢篮球的学生人数一样多
C.若该班有12人最喜欢羽毛球,则该班总共有36名学生
D.该班最喜欢乒乓球的学生人数是最喜欢排球的学生人数的2倍
9.六分仪(如图1)是一种用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器,通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线之间的夹角,以便迅速得知海船或飞机所在位置的经纬度.其原理如图2所示,所观测星体记为S,两个反射镜面位于A,B两处,B处的镜面所在直线FBC与0°刻度线AE保持平行(即BC∥AE),并与A处的镜面所在直线NA交于点C,SA所在直线与水平线M交于点D,六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC=ω,观测角为∠SDM.已知某一时刻测得ω=28°,则∠SDM的度数为 (　　)
图1　 　　图2
第9题图
A.34° B.45° C.56° 　 D.70°
10.如图1,在平行四边形ABCD中,动点P从点A出发,沿折线AB→BC方向匀速运动,运动到点C时停止,设点P的运动路程为x,线段AP的长度为y,y与x的函数图象如图2所示.若AP的最大值为4,则BC的长为(　　)
图1　　 　图2
第10题图
A.4 B.4.4 C.4.8 　 D.5
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
11.分解因式:a2b-4ab+4b=　　　　　.
12. 不等式组的解集为x>a,请你写出一个符合条件的a的值:　　　　　.
13.在平面直角坐标系中,若将一次函数y=-x+2(m-1)的图象向下平移3个单位长度后,得到一个正比例函数的图象,则m的值为　　　　　.
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线DE分别交AB,AC于点D,E,且∠1∶∠2=1∶2,则∠A=　　　　　.
第14题图　　　　　　
15. 定义:有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形,其中这个角叫做美角.如图,若四边形ABCD是圆美四边形,其中∠BAD是美角,若☉O的半径为4,C是的中点,则的长为　　　　　.
第15题图
16.小华在晾衣服时将伸缩衣架由图1(∠β=60°,AB=72 cm)伸缩到图2(∠α=90°),则图2中AB的长度是　　　　　cm.
图1 　图2
第16题图
三、解答题:本大题共6小题,共46分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)计算:+×.
18.(6分)解方程:=+.
19.(6分)先化简,再求值:(a+2b)(a-b)+(a-3b)2-(2ab3+8a2b2)÷2ab,其中a=1,b=.
20. (8分)《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了这样一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容圆半径几何 ”译文:今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形的内切圆的半径是多少步
(1)如图,已知Rt△ABC,请你根据以下步骤完成作图过程:
①作∠BAC的平分线AD,∠ABC的平分线BE,两条射线交于点O;
②过点O作AB的垂线OF,交AB于点H;
③以点O为圆心,OH为半径作☉O,则☉O即为Rt△ABC的内切圆.
(2)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,求(1)中所作的☉O的半径.
第20题图
21.(10分)甘肃省博物馆珍藏了众多珍贵的文物,尤其是东汉铜奔马、魏晋墓“驿使图”画砖,已分别被定为国家旅游标志和中国邮政的形象标识.目前向社会推出的展览有“甘肃丝绸之路文明”“甘肃彩陶”“甘肃古生物化石”“庄严妙相——甘肃佛教艺术展”“红色甘肃——走向1949”5个固定陈列(分别记为A,B,C,D,E),反映甘肃厚重的历史地理文化.小亮受邀周六、周日两天各从5个固定陈列中随机选择一个作为志愿者进行讲解.
(1)求小亮周六选择“甘肃丝绸之路文明”进行讲解的概率;
(2)请用画树状图或列表的方法,求小亮周六、周日两天选择同一个陈列进行讲解的概率.
22. (10分)学完了三角函数知识后,某校数学社团的同学决定用自己学到的知识测量遮阳棚纳凉处的宽度,他们把“测量遮阳棚纳凉处的宽度”作为一项课题活动,并制定了测量方案,利用课余时间完成了实地测量,测量结果如下表:
课题 测量遮阳棚纳凉处的宽度
图示
测得数据 遮阳棚的墙高AB为2.81 m,遮阳棚展开后的长BC为3 m,正午时刻太阳光与水平地面的夹角∠CDF=64°,遮阳棚BC与水平面的夹角∠BCE=10°
参考数据 sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05 sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18
请你根据上表中的测量数据,求正午时刻遮阳棚纳凉处的宽度AD.(结果保留一位小数)
四、解答题:本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.(8分)某校开展阳光体育活动,其中有一项目为30秒跳绳(满分100分).为了解本次跳绳成绩的大致情况,林老师随机抽取了男、女各10名同学的跳绳成绩(成绩用x表示),并将数据进行整理和分析,给出了以下信息:
10名男生的成绩分别为83,97,98,85,93,87,90,93,99,95.
10名女生成绩中,成绩在90≤x<95的数据分别为90,92,93,94.
整理数据:
75≤x<80 80≤x<85 85≤x<90 90≤x<95 95≤x≤100
男 0 1 2 3 4
女 1 1 2 4 2
分析数据:
平均数 众数 中位数
男 a b 93
女 92 87 c
(1)a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　;
(2)请估计参加此次测试的1500名学生中成绩不低于95分的人数;
(3)根据以上数据,你认为该校跳绳项目中,男生和女生,谁更需要加强锻炼 请说明理由.
24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标是(2,3).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若BD⊥y轴于点D,△ABD的面积为,求一次函数的表达式.
第24题图
25.(10分)如图,已知△ABD内接于☉O,AB是☉O的直径,过点B作☉O的切线,与AD的延长线交于点C,且AD=CD,已知E是AB左侧圆周上的一点,连接EC.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)当E是的中点时,求sin∠BCE的值.
第25题图
26.(10分)【模型建立】
(1)如图1,点E是正方形ABCD边BC上一点,连接AE,过点B作BG⊥AE交AE于点F,交CD于点G.用等式写出线段BG,AE的数量关系,并说明理由;
【模型应用】
(2)如图2,点E是正方形ABCD边BC上一点,连接AE,过点E作EG⊥AE交CD于点G,交AB的延长线于点M,用等式写出线段CG,BM,BE的数量关系,并说明理由;
【模型迁移】
(3)如图3,当点E在CB的延长线上时,连接AE,过点E作EG⊥AE交DC的延长线于点G,交AB的延长线于点M,用等式写出线段CG,BM,BE的数量关系,并说明理由.
图1　　 　图2　　 　图3
第26题图
27.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=x2+bx+c过点A与点C(0,-3),点P从点A出发,沿线段AB方向匀速运动,运动到点B时停止.
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式;
(2)请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D,连接CD,当以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形时,求BP的长;
(3)如图2,过点B作射线BE垂直于直线AB,点Q为射线BE上一动点,点P从点A开始运动时,点Q从点B同时出发,以与点P相同速度匀速运动,点P停止运动时点Q也停止运动,求△BPQ周长的最小值.
图1　　 　图2
第27题图
甘肃省2025年初中毕业、高中招生考试
数学　仿真模拟卷(三)
1.A　2.A　 3.B　4.B　5.C　6.D　7.C　8.D　9.C10.D　
11.b(a-2)2　12.3(答案不唯一)　13. 14.36°　15.　16.24
17.解:原式=3+× 2分
=3+ 4分
=. 6分
18.解:=+,
去分母,得2(2-x)=x+3+2,
去括号,得4-2x=x+5, 2分
移项、合并同类项得3x=-1,
系数化为1,得x=-. 4分
经检验,x=-是原分式方程的解,
所以原分式方程的解为x=-. 6分
19.解:原式=a2-ab+2ab-2b2+a2-6ab+9b2-b2-4ab
=2a2-9ab+6b2, 3分
当a=1,b=时,
原式=2×12-9×1×+6×()2 4分
=2-6+
=-. 6分
20.解:(1)如解图,☉O即为所求. 5分
第20题解图
(2)如解图,设☉O与AC,BC的交点分别为M,N,连接OM,ON.
∵在Rt△ABC中,BC=5,AC=12,∠C=90°,
∴AB==13. 6分
设☉O的半径为r,∵☉O为Rt△ABC的内切圆,
∴AH=AM=12-r,BH=BN=5-r. 7分
∵AB=AH+BH,∴13=12-r+5-r,解得r=2,
∴☉O的半径为2. 8分
21.解:(1)小亮周六选择“甘肃丝绸之路文明”进行讲解的概率为. 3分
(2)画树状图如解图:
第21题解图
7分
∵一共有25种等可能的结果, 8分
其中小亮周六、周日两天选择同一个陈列进行讲解的结果有5种, 9分
∴小亮周六、周日两天选择同一个陈列进行讲解的概率为=. 10分
22.解:如解图,过点C作CG⊥AF,垂足为G. 1分
由题意得∠A=∠AEC=∠CGA=90°,
第22题解图
∴四边形AECG为矩形,
∴AE=CG,CE=AG. 3分
在Rt△BEC中,BC=3,
∠BCE=10°,
sin∠BCE=,cos∠BCE=,
∴BE=BC·sin10°≈0.51,CE=BC·cos10°≈2.94, 5分
∴AE=AB-BE=2.81-0.51=2.3,CE=AG=2.94,∴AE=CG=2.3. 6分
在Rt△DCG中,∠CDG=64°,tan∠CDG=,
∴DG=≈1.12, 8分
∴AD=AG-DG=2.94-1.12≈1.8(m). 9分
答:正午时刻遮阳棚纳凉处的宽度AD约为1.8 m. 10分
23.解:(1)92;93;91. 3分
(2)1500×=450(名).
答:估计参加此次测试的1500名学生中成绩不低于95分的人数为450名. 6分
(3)该校跳绳项目中,女生需要加强锻炼.理由如下: 7分
∵男生和女生的平均成绩相同,但是男生的中位数和众数都比女生的大,
∴30秒跳绳的成绩男生更好,
∴该校跳绳项目中,女生更需要加强锻炼. 8分
24.解:(1)∵A(2,3)在反比例函数y=的图象上,
∴m=2×3=6,
∴反比例函数的表达式为y=. 3分
(2)∵点B在反比例函数y=的图象上,
∴设点B的坐标为(t,),
∴BD=-t. 5分
∵△ABD的面积为,点A的坐标是(2,3),
∴×(-t)×(3-)=,解得t=-3,
∴B(-3,-2). 8分
将A(2,3),B(-3,-2)分别代入y=kx+b,
得,解得,
∴一次函数的表达式为y=x+1. 10分
25.解:(1)△ABC是等腰直角三角形.理由如下: 1分
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∵AD=DC,∴BD垂直平分AC,
∴AB=BC. 3分
∵BC与☉O相切于点B,OB为☉O的半径,
∴∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形. 5分
第25题解图
(2)如解图,连接OE,设CE与OB交于点F.
∵E是的中点,
∴∠BOE=90°,∴OE∥BC,
∴△OEF∽△BCF, 7分
∴===,
∴BF=OB=AB=BC, 8分
∴令BF=x,则BC=3x,∴FC==x,
∴sin∠BCE==. 10分
26.解:(1)BG=AE.理由如下: 1分
∵∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠GBC=90°,
∴∠BAF=∠GBC.
在△ABE和△BCG中,,
∴△ABE≌△BCG(ASA), 2分
∴BG=AE. 3分
(2)BE=CG+BM.理由如下: 4分
如解图1,在DG上取一点H,使HG=BM,连接BH.
由HG平行且等于BM,得四边形BMGH为平行四边形,∴BH平行且等于MG, 5分
∴AE⊥BH.由(1)知△ABE≌△BCH,
∴BE=CH=CG+HG=CG+BM. 6分
图1　 　图2
第26题解图
(3)BE=CG-BM.理由如下: 7分
如解图2,在CG上取一点N,使NG=BM,延长NB交AE于点K,由BM平行且等于NG得四边形BMGN为平行四边形,∴BN平行且等于MG.
∵∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠MEB=90°,
∴∠BAE=∠MEB,∵BN∥EG,
∴∠CBN=∠MEB,∴∠BAE=∠OBN.
在△ABE和△BCN中,,
∴△ABE≌△BCN(ASA), 9分
∴BE=CN,∴BE=CG-NG=CG-BM. 10分
27.解:(1)令y=-x+3=0,则x=3,∴A(3,0). 1分
把A(3,0),C(0,-3)代入y=x2+bx+c中,得,解得 ,
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3. 3分
(2)由题意补全图形如解图1.将x=0代入y=-x+3中,得y=3,∴B(0,3),∴BC=6.
∵PD⊥x轴,∴PD∥BC,
∴当PD=BC=6时,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形. 4分
设P(t,-t+3),则D(t,t2-2t-3),
∴PD=(-t+3)-(t2-2t-3)=-t2+t+6=6, 5分
解得t1=0(舍去),t2=1,∴点P的坐标为(1,2).
∴BP==. 7分
(3)如解图2,作AF⊥AB,在AF上取点G,使AG=BP,连接GQ,PG,
∵∠PBQ=∠GAP=90°,AP=BQ,AG=BP,
∴△AGP≌△BPQ(SAS), 8分
∴PG=QP,∠APG=∠BQP,
∴∠BPQ+∠BQP=∠BPQ+∠APG=90°,
∴∠GPQ=90°,
∴△GPQ是等腰直角三角形, ∴GQ=PQ.
由题知A(3,0),B(0,3),∴AB=3.
∵△BPQ的周长=BP+PQ+BQ=BP+PQ+AP=AB+PQ=3+PQ,
∴当PQ最小时,△BPQ的周长最小. 9分
∵GQ=PQ,∴GQ最小时,△BPQ的周长最小.
∵AF∥BE,∴GQ≥AB,
即当GQ⊥AF时,GQ=AB,此时GQ最小,最小值为3,∴PQ的最小值为3, 10分
∴△BPQ周长的最小值为3+3. 12分
图1　 　图2
第27题解图
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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