资源简介

2024~2025学年度第一学期
武汉市部分学校高一年级期中调研考试
数学试卷
武汉市教育科学研究院命制 2024.11.13
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}，，则
A.{0,1,2} B.{1} C.{0,1} D.
2.命题p：，的否定是
A.， B.，
C.， D.，
3.下列关于幂函数的判断：①定义域为，②值域为R；③是偶函数；④在上单调递减.其中正确的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
4.下列不等式中成立的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若且，则
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A. B. C. D.
6.已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则
A.-4 B.-3 C.3 D.4
7.已知函数是定义在R上的偶函数，，且，恒有.若，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
8.已知，关于x的方程在上有实数解，则a的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为6小时），得到了剩余电量y（单位：百分比）与测试时间t（单位：h）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有
A.测试结束时，该手机剩余电量为85%
B.该手机在前5h内电量始终在匀速下降
C.该手机在0h~3h内电量下降的速度比3h~5h内下降的速度更快
D.该手机在5h~6h进行了充电操作
10.已知函数，关于x的方程，下列判断中正确的是
A.时方程有3个不同的实数根
B.方程至少有2个不同的实数根
C.若方程有3个不同的实数根，则k的取值范围为
D.若方程有3个不同的实数根，，，则的取值范围为
11.已知正数满足，则下列结论中正确的是
A. B.
C.的最小值为 D.b与可以相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则________.
13.已知函数，若，则________.
14.对于任意实数，定义，当实数变化时，令，则t的最大值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”成立的充分条件，求实数a的取值范围.
16.（本小题15分）已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）讨论函数在区间上的单调性并证明.
17.（本小题15分）（1）对于正实数，求证：；
（2）已知函数，利用（1）的结论，求函数的最小值，并求出此时对应的t的值.
18.（本小题17分）在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为.现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产x台（，）这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）.求：
（1）月收入函数的最小值及此时x的值；
（2）月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）；
（3）生产x台这种特殊设备的月利润的最小值.（月利润=月收入-月成本）
19.（本小题17分）对于定义在R上的函数，若其在区间上存在最小值m和最大值M，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.
现给定函数.
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”；
（2）若函数是上的“聚集函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值.
数学答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A C B B A D B ACD ACD ABD
二、填空题
12.4 13. 14.
三、解答题
15.解：（1）当时，，
由可得：
因此， 6分
（2）由题意可得
当时，，∴
当时，，解得
综上所述，a的取值范围. 13分
16.解：（1）函数是奇函数，下面给出证明：
可知函数定义域为，关于原点对称.
对于任意，有，故为奇函数. 6分
（2）函数在区间内单调递增，证明如下：
任取，且，则
∵，
∴
∴在上单调递增. 15分
17.（1）证明：∵
∴原不等式得证.
（当且仅当即时取到等号） 6分
（2）解：由t满足，此时
∵，∴，∴
又∵，，
由（1）可知：，
所以，当且仅当，即时取到等号.
综上所述：当时，的最小值为. 15分
18.解：（1）
当且仅当即时取到等号.
即的最小值为88千万元，此时.
（2）由，可知定义域为，.
∴，，.
由函数单调性可知：在，上单调递增.
∴当时，（千万元）， 10分
（3），
∴，，.
令，
∵，，，
∴（千万元），此时. 17分
19.解：（1）当时，
因此在上的最小值为-1，最大值为.
因为，所以函数是“聚集函数”. 4分
（2）在上的最大值为与中的较大者，因此
解得.∵.
因此对称轴，即在上的最小值，
解得.
综上所述，a的取值范围是. 10分
（3）∵，的对称轴
∴，下面讨论的最大值.
①若，由抛物线图像可知，
∴，设，即要求L的最大值.
，
∵，∴，代入上式，得，故.
②若，由抛物线图像可知，
∴，设，
有
∵，∴，代入上式，得，故.
综上可知的最大值为8，当且仅当时取到等号，
即，消去可得：，解得.
即或时取到.
因此的最大值为8. 17分

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