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2024~2025学年度第一学期期中教学质量检测
7.在正三棱柱ABC-,B,C中，D为陵AB的中点；B(;与B,C交于点E,若AB生4，
则北，AE斯战角的余炫楨是()
高二数学试题
2024.11
A.v5
25
B.s
C,5
D.5
20
10
注意李项：
8.若过当线3x十4y+12=0上点P作圆C:x2+y2-2x=0的两条切线，切点为A,B,
1.容卷前，差生务必湖自已的孝、座受、始名、迎毁漠〔涂)写在答颜十二，将年
形码船在“郏杀形码父”.
则期PC:A的最小值是()
2.作法择题氏，选出色小煎部菜芦，月B绍笔江落题卡上对应期目进顶的答案衔息，
A.25
B.45
C.2W2
D.42
点涂器；即需政英，再橡反漂干海道，再改涂其它答案号.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分：在每小题给出的选项中，有多顶符合
3.菲运择期须同黑色字姿钢笔或签字笔作答，容案必须写在答影卡户冬赢目指定的区
题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的
域为菲应位盖上：如需头动，先刘掉源来的答突，然后氏写上新的容浆；不准使用帑笔打
得0分
涂议液.否则，该答题激
9.设点线：X…+2a=0,:十y中Q=0的交点为M(x）,则〔)
4,考生必贺深持套颠卡的整洁；书写力求体二整、符号热兼、笔蕊清楚
一、选择题：本题英8小题：每小题5分，共40分；在每小趣给出的四个选顷巾，灵有
A.1,祖过定点0,2)
B,2
…个选项是正确的.
C.2+购的最大直为
D,点3.-2)到白线{豹睡离的最大值为5
1.已空间阴点A0.山，2)，B(-2,3,),则A、B两点问的距离是《)
,2
B,3
C.4
0.9
10.某学液邀学、桃理芍兴趣小组存有3名生、3名女生，假设物理以趣小组的3名女生
2.若宣线经过点A(-,0),2,-v3}:则直线的斜率是〔）
为屮、乙、，现从数学，柳理两兴趣小纪随机选出1名同学参斯比费.没季件
为“从数学兴趣小扪中选出的是男生“；事什为“从物慰兴趣小造出的度女乙”：
4.5
B.-3
C.3
3
D.-③
3
率件，为“从两兴腔小组选出的是隽生”；前朴法：为“从两兴遐小细：斑出筠是1
3.甲、乙两入比耧下棋，下成积棋的概率是上，甲获胜的概率的是1，则乙不输的概率是〔)
名：男生和【名女生”，()
3
高
8日
C.
A超)专取P(湖)=号
C.M,与，相过独立D.材，M,互床
4.C知直线x+少=0与圆G:x2-(-2)”=8相交于A,B两点，则AB=〔）
11.已正方钵ABCD-AB.CD的被K为2、点p满定D沪=xDA+yDC，其中
A.26
B.4
:.6
D.2
x∈0，，ye[0,1,则()
.三知空点P2.00),O0,0,0):(-1,1,2),如点P到白线OA的距离龙〔)
A.存什唯一点P,使得CP⊥平面)C
A.6
B.y30
C.6
D.vg
B。存在难一点P:使AP∥Ψ面B,DC
6
3
6.甲、乙两人任一座？层文楼削第一层逃入山梯，假设每个人从第2层於在每·层离F
C.当x+y=时，点形，到平而P4D,的距离的最小值为2
电佛是等5，能的，则毕、乙湖人离电梯的楼据数的和为9的概率是（」
B.1
c.1
D.
D.当+。时校锥-4C2的体积的根小馆为422
9
6
高：二敬学试画第1吹〔共4河)
高一数学试题第2页《英4两)高二期中数学试题参考答案 2024.11
一、单选题：(本大题共 8个小题，每小题 5 分，共 40 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A D C B D
二、多选题：(本大题共 3个小题，每小题 6 分，部分答对得部分分，共 18 分)
题号 9 10 11
答案 ABD BC ACD
三、填空题：(本大题共 3个小题，每小题 5 分，共 15 分)
7
12. 5 13. 14. 5,5 13
三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 77 分）
15.（1）证明：连接 B1D1，设 A1C1 B1D1 F ，连接FD，..................1 分
则 B1F / /ED，且 B1F ED，所以四边形 B1FDE是平行四边形， ..........2 分
所以 B1E / /FD， B1E 平面A1C1D， FD 平面A1C1D ....................4 分
故 B1E∥平面 A1C1D .................................................5 分
注意：若用其他方法证明，可参考步骤相应给分.

解：（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1 方向为 x, y, z轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系． .........................6 分
因为 AA1 AD 2AB 4，所以D(0,0,0)， B1 4,2,4 ， A1 4,0,4 ，
E 2,1,0 ，C1 0,2,4 ， .......................7 分

∴ A1B1 0,2,0 ， A1E 2,1, 4 ．
设平面 A B E
r
1 1 的法向量 n x, y, z ，

A B 1 1
n 0 2y 0
则 ，即
A E n 0 2x y 4z 01

令 z 1，解得 y 0， x 2，∴ n 2,0,1

B1C1 4,0,0 ，
1
{#{QQABBYaQggAIQBIAAAgCEQEACgCQkhGAAagGxAAAoAABSAFABAA=}#}

B1E 2, 1, 4 .....................................9 分
ur
设平面C1B1E的一个法向量m x1, y1, z1 ，

B1C m 0 4x 0
则 1
1
，即 令 z 1，解得 y 4， x 0，
B 2x y 4z
1 1 1
1E m 0 1 1 1 0

∴m 0, 4,1 ． ........................................................11 分

设平面 A1B1E与平面C1B1E
m n
的夹角为 ，∴ cos 1 85
|m
，
| | n | 5 17 85
.......................................................12 分
故平面 A1B1E
85
与平面C1B1E夹角的余弦值为 ．............................13 分
85
16.解：（1）设事件 A表示“观众甲选 2 号歌手且观众乙未选 3 号歌手”，
1 1
观众甲选 2号歌手的概率为 ，观众乙未选 2号歌手的概率为 ，
3 2
1 1 1
从而 P A
3 2 6
1
故观众甲选 2 号歌手且观众乙未选 3 号歌手的概率为
6
（2）设事件 A， B，C分别表示“观众甲、乙、丙选 3 号歌手”，
1
由题意得：P A ，P B 1 P C ， ........................10 分
3 2
所以 P X 2 P ABC P ABC P ABC ........................12 分
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

........................14 分
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
1
故 X 2的概率为 .....................................15 分
3
x 2y 3 0 x 1
17.解：（1）由 ，解得 ，所以交点 P 1,2 ...................2 分
x y 3 0 y 2
①当所求直线与直线 AB平行时
直线 AB的斜率为 k
2 2
AB 13 1
则所求直线的方程为 y 2 1 x 1 ，即 x y 1 0 ...................4 分
②当所求直线过 AB的中点时，
2
{#{QQABBYaQggAIQBIAAAgCEQEACgCQkhGAAagGxAAAoAABSAFABAA=}#}
线段 AB的中点坐标为 1,0 ，
则所求直线垂直于 x轴，
故所求直线方程为 x 1，即 x 1 0 ...................6 分
综上所述，所求直线方程为 x y 1 0或 x 1 0 ..................7 分
解：（2）因为点 A、 B在直线 l 的同侧，所以直线 l的方程为 x y 1 0 .....8 分
设点 A关于直线 l 的对称点为C x0 , y0
3 x0 2 y

0 1 0
2 2 x0 y0 3 0 x0 1
则 y 2 ，化简可得 ，解得 ， 0 1 x0 y0 5 0 y0 4
x0 3
所以点C 1, 4 ........................................12 分
因为 AQ BQ CB 1 1 2 2 4 2 2 10 ,
当Q、B、C三点共线时等号取到，........................................14 分
故 AQ BQ 的最小值为2 10 ...........................................15 分
18.证明：（1）由点 P在平面 ABC的射影H 落在边 AB上可得：
PH 平面 ABC ..........................................1 分
又 BC 平面 ABC，所以PH BC ，
又 BC AB，且 AB 平面 PAB， PH 平面 PAB， AB PH H ，
所以 BC 平面 PAB ..........................................3 分
又 PA 平面 PAB，故 BC PA .........................................4 分
解：（2）作 BE PC，垂足为 E，
由已知得： PA PC且BC 平面 PBC，PC 平面 PBC，BC PC C，
从而 PA 平面 PBC ........................................6 分
所以平面 PAC 平面 PBC
又 BE 平面 PBC，平面PAC 平面 PBC PC，BE PC
所以 BE 平面 PAC，
即 BE即为点 B到平面PAC的距离 .....................................8 分
在直角三角形 PBC中， BC 3,PC 4，
PB 7 BE 3 7所以 ，
4
故点 B到平面 PAC 3 7的距离为 .........................................9 分
4
3
{#{QQABBYaQggAIQBIAAAgCEQEACgCQkhGAAagGxAAAoAABSAFABAA=}#}
（3）在直角三角形 PAB 3 7中可得， PH ，BH
7
，以点 B为坐标原点，分别以
4 4
BC,BA所在直线为 x, y轴,以过点 B且垂直于平面 ABC的直线为 z轴，建立空间直
角坐标系，如图所示 ..............................................10 分

B 0, 0, 0 , A 0, 4, 0 , P 0,
7 , 3 7 ,C 3, 0, 0 ..................11 分
4 4

因为CM 2MP，所以，
2 CM CP
3
2 7 3 7 7 7
3, , 3
2, ,
4 4 6 2
7 7
从而M 1, , ； ............................................12 分
6 2

易知 BA 0,4,0 ,BM 7 7 1, ,6 2 ，

设平面 AMB的一个法向量为 n x, y, z ，

BA n 4y 0

所以
BM n 7 7
，
x y z 0
6 2

n 2 7 4

解得： ,0, ， ................................................14 分
3 3

又直线 AC 的方向向量为 a 3,4,0 ， ................................15 分

n a
因此可得 sin cos n, a 2 7 3 77 ..................16 分
n a 5 28 16
55

9 9
3 77
故直线 AC 与平面 AMB所成角的正弦值为 . ............................17 分
55
22.解：（1）法一：几何法
由已知得：圆心在直线 x 1和 y 0上， ................................2 分
4
{#{QQABBYaQggAIQBIAAAgCEQEACgCQkhGAAagGxAAAoAABSAFABAA=}#}
从而圆心坐标为C(1,0)，半径为 r 1， .................................3 分
2 2
所以圆C的标准方程为 (x 1) y 1 .................................4 分
法二：代数法
2 2 2
设圆C的标准方程为 (x a) (y b) r ，
a2 b2 r 2 ;

由已知可得： (2 a)2 b2 r 2;， .................................2 分

b 0.
解得： a 1,b 0,r 1， .................................3 分
所以圆C 2 2的标准方程为 (x 1) y 1 .................................4 分
（2）（ⅰ）法一：几何法
因为 k1 k2 1，所以 P1P P2P，从而直线 P1P2 经过圆心，从而 P1P2 2，......6 分
要使 PP1P2的面积最大，需使点 P到直线 P1P2 的距离等于圆C的半径1，
.................................8 分
1
所以 (S PPP )max 2 1 1 . .................................9 分1 2 2
法二：代数法
因为 k1 k2 1，所以 P1P P2P，
从而直线 P1P2 经过圆心， PP1P2是直角三角形，且 P1P2 2，...................6 分
设 P1P a, P2P b
2 2
，则 a b 4，
又 4 a2 b2 2ab，所以 ab 2，当且仅当 a b 2时取等号，..............8 分
1
所以 (S PPP ) ab 1 . ...............................9 分1 2 max 2
（ⅱ）由已知得：直线 P1P2 的斜率必存在， ........................10 分
设直线 P1P2 的方程为 y kx m， P1(x1, y1),P2 (x2 , y2 )，
y kx m;
y (k 2 1)x2由 ，消去 得： 2(km 1)x m2 0 ，
(x 1)2 y2 1.
0 x x 2(km 1)
2
， 1 2 2 ,x1x
m
2 2 ， （※）........................12 分k 1 k 1
5
{#{QQABBYaQggAIQBIAAAgCEQEACgCQkhGAAagGxAAAoAABSAFABAA=}#}
k k y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k
2x1x2 km(x x ) m
2
又 1 2
1 2 3，
x1 2 x2 2 (x1 2)(x2 2) x1x2 2(x1 x2 ) 4
即 (3 k 2)x1x2 (km 6)(x1 x2) 12 m
2 0 ，
m2 5km 6k 2代入（※）得： 0， ........................14 分
即 (m 2k)(m 3k) 0，
解得：m 2k ，或m 3k， ..............................15 分
当m 2k 时，此时直线 P1P2 的方程为 y k (x 2)，过定点 P(2,0)（舍去），...16 分
当m 3k时，此时直线 P1P2 的方程为 y k (x 3)，过定点 (3,0)，
故当 k1 k2 3，动弦 P1P2 过定点 (3,0) . ..............................17 分
6
{#{QQABBYaQggAIQBIAAAgCEQEACgCQkhGAAagGxAAAoAABSAFABAA=}#}

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