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2024～2025 学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试题
参考答案及评分建议
一．单项选择题： D A B C A D B C
二．多项选择题： 9.B C D 10.A C D 11.A B D
2 2
三．填空题： 12.1 13. x y x y 2 0 14.4 2
x 1 3 1,
四．解答题：15.解：（1）设D(x, y) 2是边 AB的中点，则 D(1,1) ，……2 分
y 2 0 1, 2
边 AB上的中线CD的一般式方程为3x y 2 0； ………4 分
（2） A ( 1 ， 2) ，B (3,0) k 1， AB ， 边 AB上的高所在直线的斜率 k 2，……6 分2
边 AB上的高所在直线的斜截式方程为 y 2x 2 . ………8分
2 2
16.（1）解：连接OD，则OE OD DE OD DC OD (OC OD) 1OD 2 OC
3 3 3 3
1
(OA OB) 2 OC 1 a 1 b 2 c； ………4 分
6 3 6 6 3
1
（2）由（1）得OE (a b 4c) ，
6
2 2 2
|OE |2 1 (a b 4c)2 1 (a b 16c 2a b 8b c 8c a)
36 36
1
(1 1 16 2 1 1 1 3 3 8 8 ) ， |OE | . ………8 分
36 2 2 2 4 2
2
17.解：（1） x y2 1， C1(0,0) ，r1 1， ………2 分
x2 y2 4y F 0 x2， (y 2)2 4 F， C2(0,2)，r2 4 F ， ………4 分
圆C1与圆C2 相内切， |C1C2 | r2 r1 ， 2 4 F 1， F 5 ； ………5 分
2 2
（2）由（1）得 F 5，圆C2 的方程为 x (y 2) 9，C2(0,2)， r2 3， ………7 分
C y kx d | 2 | r 2 (4 2故圆心 2到直线 )
2
的距离 2 1， k 3 .………10 分
1 k 2 2
18.（1）证明：设O是 AD的中点，连结OP,OB，
四边形 ABCD是菱形，AB BD 2， OB AD，OB 3
PA PD 2 ， OP AD，OP 1
PB2 OP2 OB2 4 ， OP OB， OP 平面 ABCD，
平面 PAD 平面 ABCD； ………4分
（2）由（1）得OB AD，OP OA，OP OB，以O为原点，OA,OB,OP所在直线
分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则 A(1,0,0) ， B(0, 3,0) ，
C( 2, 3,0) ，D( 1,0,0) ， P(0,0,1) ，
设m (x1, y1, z1)是平面PAB 的一个法向量，
m PA , x1 z1 0,则 ∴ 令 x1 3 ，则m ( 3,1, 3)， ………6 分
m AB, x1 3y1 0,
设 n (x2 , y2 , z2 ) 是平面 PCD的一个法向量，
n PC, 2x 3y z 0,则 ∴ 2 2 2 令 y2 1，则 n ( 3,1, 3) ， ………8分
n CD, x2 3y2 0,
∴ cos m,n m n 1 1 ，∴平面 PAB 与平面PCD的夹角的余弦值为 .………10 分
|m | | n | 7 7
x2 y2
19.解：（1）由题意可设椭圆C的方程 2 1(a b 0) ，a b2
a |ND| 3 1 x
2
则 |MN| 3，b |DM | |MN| 1， 椭圆C的方程为 y2 1；………3 分
4 4 9
（2）解法一：设D(x, y)，M (m,0),N(0,n)，
| x | | x | |m | | y | | y | | n | (a b) | x | |m| (a b) | y |由题意得 ， ， ， |n |，
|ND| a a b |DM | b a b a b
2 2
[(a b) | x |]2 (a b) | y | x y [ ]2 |m|2 |n |2 (a b)2，整理得 2 1，a b a b2
当 a b时,动点D的轨迹C是以 |ND|为半长轴长、 |DM|为半短轴长的椭圆；
当a b时,动点D的轨迹C是以 |DM|为半长轴长、 |ND|为半短轴长的椭圆. ………8分
| x | | y |
解法二：设D(x, y)， OMN ，由题意得 cos ， sin ，
| ND| |DM |
| x | 2 2( )2 ( | y |则 )2 cos2 sin2
x y
1，即 1，
| ND| |DM | a2 b2
当 a b时,动点D的轨迹C是以 |ND|为半长轴长、 |DM|为半短轴长的椭圆；
当a b时,动点D的轨迹C是以 |DM|为半长轴长、 |ND|为半短轴长的椭圆. ………8分
x2 y2
（3）由题意可得椭圆C的方程 2 2 1(a b 0) ，a b
ab
当直线 PQ的斜率不存在时，设其方程为 x x0 ( a x0 a)，则 | x0 | 2 2 ，a b
ab
点O到直线PQ距离为 ； ………9 分
a2 b2
当直线 PQ的斜率存在时，设其方程为 y kx m， P(x1, y1) ,Q(x2 , y2)，
2
y kx m, 2a km
x1 x2 2 2 2 ,
由 x2 y2 得 (a2k2 b2)x2 2a2kmx a2(m2 b2) 0

, a k b
1 a2 (m
2 b2)
a2 b2 x 1
x2 a2k2 b2
,
OP OQ， OP OQ x1x2 y1y2 (1 k
2 )x1x2 km(x1 x2 ) m
2 0 ，
a2b2a2b2 (1 k 2 ) m2 (a2 b2 ) m2 (1 k
2 )
，即 2 2 ， ………12 分a b
|m | ab
点O到直线PQ距离为 d
1 k 2 a2 b2
，
综上所述，点O到直线 PQ ab距离为定值 ………13 分
a2
.
b2

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