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《数与式的新定义运算问题》提升训练题
一．选择题（共9小题）
1．对于任意实数a和b，如果满足那么我们称这一对数a，b为“友好数对”，记为（a，b）．若（x，y）是“友好数对”，则2x﹣3[6x+（3y﹣4）]＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
2．对于任意的有理数a、b，如果满足，那么我们称这一对数a、b为“优美数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“优美数对”，则14m﹣2[3m﹣（2n+1）]的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
3．定义一种新的运算“*”：对于任何有理数a，b，a*b＝4a（a﹣b），如2*3＝4×2×（2﹣3），则3*（﹣2）的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．60 D．﹣60
4．定义一种新运算“※”的计算规则是：a※b＝a+b（其中a，b都是有理数）．例如3※4＝3+4＝7．下列等式成立的个数是（　　）
①a※b＝b※a
②（a※b）※c＝a※（b※c）
③a※（b+c）＝a※b+a※c
A．3 B．2 C．1 D．0
5．对于实数a，b定义运算“※”如下：a※b，如3※21，（﹣3）※41．若（m﹣2）※（m+4）＝2，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣11 C．11 D．无法确定
6．定义新运算：a*b＝a（a+b），例如：1*2＝1×（1+2）＝2，若n＞1，A＝m*mn，B＝mn*m，则A，B的大小关系为（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A≤B D．A≥B
7．对于有理数a、b，定义运算，则3*（﹣4）的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
8．若“ ”是一个对于有理数0与1的运算符号，其运算法则如下：0 0＝0，0 1＝1，1 0＝1，1 1＝0．则下列运算正确的是（　　）
A．（0 0） 1＝0 B．（0 1） 1＝1 C．（1 1） 1＝0 D．（1 0） 0＝1
9．规定符号（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，规定符号[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（3，1）＝1，[3，1]＝3．则化简（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1]＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2m
二．填空题（共14小题）
10．对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“特殊数对”，则6m+4[3m+（2n﹣1）]＝　 　．
11．形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为ad﹣bc，若12时，则x的值为＝　 　．
12．现规定一种新的运算：ad﹣cb，则的值是　 　．
13．定义一种新的运算：，如，则﹣1*2的值是 　 　．
14．规定一种新运算：，如．若的值与x的取值无关．则的值为　 　．
15．对于a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如1×4﹣2×3＝﹣2，那么因式分解的结果是 　 　．
16．定义一种新运算a☆b：当a≥b时，a☆b＝2a+b；当a＜b时，a☆b＝2a﹣b．若（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3）＝3，则x的值是 　 　．
17．如果表示﹣4xyz，表示2abcd，则＝　 　．
18．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么，　 　．
19．若规定“Δ”的含义：（x1，y1）Δ（x2，y2）＝x1x2+y1y2，则（a，5b）Δ（6b2，a2+ab）＝　 　．
20．若表示3abc，表示﹣4xywz，则×＝　 　．
21．定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：（﹣1）*3＝（﹣1）2﹣3+（﹣1）×3＝﹣5，则4*[2*（﹣3）]＝　 　．
22．对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　．
23．用“ ”定义一种新运算，对于任何有理数m和n，规定m n＝m2+n2﹣mn，如3 1＝32+12﹣3×1＝7，则4 （﹣2）的值为　 　．
三．解答题（共22小题）
24．对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+（m﹣n）：当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣（m﹣n）．
（1）当m＝2，n＝4时，m⊙n＝　 　．
（2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝4b+5，求1﹣2a+b的值．
（3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝60+3a，求a的值．
25．对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）*（c，d）＝ab﹣cd+1，例如：（1，3）*（2，4）＝1×3﹣4×2+1＝﹣4．
（1）求（4，3）*（﹣2，5）的值；
（2）若m＝（﹣1，a2）*（2，a﹣1），n＝（﹣2a﹣1，3）*（a2﹣2a，2）．
①若a2+2a﹣1＝0，求m的值；
②判断m、n的大小，并说明理由．
26．用“ ”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：x y＝x2y﹣3xy+y．如：1 3＝12×3﹣3×1×3+3＝﹣3．
（1）求3 （﹣2）的值；
（2）若2 （﹣3a）＝a+5，求a的值；
（3）若P＝m ，Q 4m，试比较P与Q的大小，并说明理由．
27．类似于运算符号“+、﹣、×、÷”，新定义一种运算符号“△”，规定：x△y＝3x﹣y．
（1）若x△（﹣5x+3）＝13，求x的值；
（2）若a△（﹣9b）＝12，请计算（a﹣2b）△（5a﹣2024）的值；
（3）若m＝（a2﹣2b）△3b，n＝2b△（6a2+15b+1），比较m与n的大小，并说明理由．
28．我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）．
（1）判断数对是否为“有趣数对”，并说明理由．
（2）若（m，n）是“有趣数对”，求式子的值．
29．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如，因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”．
（1）下列数对中，是“积差等数对”的是 　 　；
①；②（1.5，3）；③．
（2）若（k，﹣4）是“积差等数对”，求k的值；
（3）若（m，n）是“积差等数对”，求代数式4[4mn﹣m﹣3（mn﹣1）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．
30．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如，因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”．
（1）下列数对中，是“积差等数对”的是 　 　；
①（2，）；②（1.5，3）；③（，﹣1）．
（2）若（k，﹣3）是“积差等数对”，求k的值；
（3）若（m，n）是“积差等数对”，求代数式4[3mn﹣m﹣2（mn﹣1）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．
31．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是ad﹣bc．
例如：3×5﹣4×6＝15﹣24＝﹣9．
（1）按照这个规定，请你计算的值．
（2）按照这个规定，当x＝5，y＝﹣3时，求的值．
32．若有理数p，q满足p+q＝pq，则称“p，q”为“等效有理数对”，如：“2，2”，因为2+2＝2×2，所以“2，2”是“等效有理数对”．
（1）通过计算判断“3，”是不是“等效有序数对”；
（2）若“x+1，4”是“等效有理数对”，求x的值；
（3）已知“p，q”是“等效有理数对”，求代数式2023﹣2022pq+2022p+2022q的值．
33．对于有理数a，b，我们给出如下定义：若a，b满足a﹣b＝3ab+1，则称a，b为“和谐有理数对”，记为[a，b]．例如，数对是“和谐有理数对”．
（1）数对[0，﹣1]，，，其中是“和谐有理数对”的是 　 　；
（2）若[a，﹣a]是“和谐有理数对”，求6a2+4a+5的值；
（3）若[m，n]是“和谐有理数对”，则[﹣n，﹣m]　 　（填“是”或“不是”）“和谐有理数对”，说明你的理由．
34．定义一种对整数n的“F”运算：，以F（n，k）表示对整数n进行k次“F”运算．例如，F（1，2）表示对1进行2次“F”运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为1+5＝6，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以F（1，2）的运算结果是3．据此回答下列问题：
（1）求F（4，1）的运算结果．
（2）若n为奇数，且F（n，2）的运算结果为6，求n的值．
（3）若n为奇数，且F（n，3）的运算结果为4，直接写出n的值．
35．在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b＝a2﹣（2+b），例如1 3＝12﹣（2+3）＝﹣4，根据规则完成下列问题：
（1）求3 （﹣2）的值；
（2）（﹣1） [（﹣2） 1]的值为 　 　．
36．诚诚在学习完第二章《有理数的运算》后，产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规定：a b＝a×b+4÷b．例如：2 3＝2×3+4÷3．
（1）求（﹣4） （﹣2）的值；
（2）求（﹣3） [2 （﹣1）]的值．
37．规定运算*为：若a＞b，则a*b＝a﹣b，例如：2*1＝2﹣1＝1；若a＝b，则a*b＝a+b﹣1，例如1*1＝1+1﹣1＝1；若a＜b，则a*b＝ab，例如1*2＝1×2＝2．
（1）计算6*4和4*6，并比较它们的大小；
（2）求（2*3）﹣（4*4）﹣（7*5）的值．
38．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，运算规则为：a b＝a×b﹣a﹣b．
（1）计算（﹣2） 2的值；
（2）填空：5 （﹣3）　 　（﹣3） 5（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）求（﹣3） 的值．
39．对于有理数a、b，定义新运算：“ ”，a b＝ab﹣a﹣b．
（1）计算：（﹣2） 3＝　 　；
（2）计算：4 （﹣2）　 　（﹣2） 4；（﹣5） （﹣3）　 　（﹣3） （﹣5）；（） 5 　 　5 （）（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律．那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算：“ ”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
40．定义新运算：a b＝a（a﹣b）．
例如：3 2＝3×（3﹣2）＝3，﹣1 4＝﹣1×（﹣1﹣4）＝5．
（1）计算（﹣4） 5；计算5 （﹣4）；
（2）已知2 a＝5b﹣2m，3 b＝5a+m，说明：12a+11b的值与m无关；
（3）已知a＞1，记M＝ab b，N＝b ab，试比较M，N的大小．
41．材料一：对任意有理数a，b定义运算“ ”．a b＝a+b．
如：1 2＝1+2，1 2 3＝（1+2）+32017．
材料二：规定[a]表示不超过a的最大整数，如[3.1]＝3，[﹣2]＝﹣2，[﹣1.3]＝﹣2．
（1）2 6＝　 　，[﹣π][π]＝　 　；
（2）求1 2 3 4 …… 2022 2023的值；
（3）若有理数m，n满足m＝2[n]＝3[n+1]，请直接写出m [m+n]的结果．
42．小明定义了一种新的运算“◎”，他写出了一些按照“◎”运算法则进行运算的算式：
（+2）◎（+7）＝+9，（﹣3）◎（﹣7）＝+10，
（﹣4）◎（+6）＝﹣10，（+5）◎（﹣8）＝﹣13，
0◎（﹣9）＝+9，（+8）◎0＝+8．
（1）请用文字语言归纳◎运算的法则：
两个非零数进行“◎”运算时，　 　；
特别地，0和任何数进行“◎”运算，或任何数和0进行“◎”运算，　 　．
（2）计算：（﹣11）◎[（﹣5）◎0]＝　 　．（括号的作用与在有理数运算中一致）
（3）若整数a、b满足a≤b，且a◎b＝2，求a、b的值．
43．在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b＝a×b+2×a．
（1）求2 （﹣4）的值；
（2）求的值；
（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“ ”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
44．对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：a*b＝a2+ab+2，例如：（﹣2）*3＝（﹣2）2+（﹣2）×3+2＝0．
（1）若a+b＝4，求a*b+b*a的值．
（2）若a*b＝4，求（a+b）*（a﹣b）的值．
（3）若a+b＝3，ab＝2，求a*b﹣b*a的值．
45．对于有序实数对（a，b）、（c，d），定义关于“ ”的一种运算如下：
（a，b） （c，d）＝a c+b d．例如（1，2） （3，4）＝1×3+2×4＝11．
（1）求（2，3） （﹣4，3）的值；
（2）若（4，y） （x，3）＝﹣1，且（x，1） （2，y）＝3，求x+y的值．中小学教育资源及组卷应用平台
《数与式的新定义运算问题》提升训练题
一．选择题（共9小题）
1．对于任意实数a和b，如果满足那么我们称这一对数a，b为“友好数对”，记为（a，b）．若（x，y）是“友好数对”，则2x﹣3[6x+（3y﹣4）]＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【思路点拔】根据（x，y）是“友好数对”得出16x+9y＝14，再将原式化成﹣（16x+14）+12，最后整体代入求值即可．
【解答】解：∵（x，y）是“友好数对”，
∴，
∴28x+21y＝12x+12y+14，
∴16x+9y＝14，
原式＝2x﹣3（6x+3y﹣4）
＝2x﹣18x﹣9y+12
＝﹣16x﹣9y+12
＝﹣（16x+9y）+12
＝﹣14+12
＝﹣2，
故选：C．
2．对于任意的有理数a、b，如果满足，那么我们称这一对数a、b为“优美数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“优美数对”，则14m﹣2[3m﹣（2n+1）]的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【思路点拔】利用“优美数对”定义得到关于m与n的关系式，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵（m，n）是“优美数对”，
∴，即3m+2n＝m+n，
整理得：2m+n＝0，即n＝﹣2m，
则原式＝14m﹣6m+4n+2＝8m+4n+2＝8m﹣8m+2＝2．
故选：C．
3．定义一种新的运算“*”：对于任何有理数a，b，a*b＝4a（a﹣b），如2*3＝4×2×（2﹣3），则3*（﹣2）的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．60 D．﹣60
【思路点拔】按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可．
【解答】解：3*（﹣2）
＝4×3×[3﹣（﹣2）]
＝4×3×5
＝60，
故选：C．
4．定义一种新运算“※”的计算规则是：a※b＝a+b（其中a，b都是有理数）．例如3※4＝3+4＝7．下列等式成立的个数是（　　）
①a※b＝b※a
②（a※b）※c＝a※（b※c）
③a※（b+c）＝a※b+a※c
A．3 B．2 C．1 D．0
【思路点拔】．
【解答】解：∵a※b＝a+b，
∴a※b＝a+b，b※a＝b+a，
∴a※b＝b※a，故①正确，符合题意；
（a※b）※c
＝（a+b）※c
＝a+b+c，
a※（b※c）
＝a※（b+c）
＝a+b+c，
∴（a※b）※c＝a※（b※c），故②正确，符合题意；
a※（b+c）
＝a+b+c，
a※b+a※c
＝a+b+a+c
＝2a+b+c，
∴a※（b+c）≠a※b+a※c，故③错误，不符合题意；
故选：B．
5．对于实数a，b定义运算“※”如下：a※b，如3※21，（﹣3）※41．若（m﹣2）※（m+4）＝2，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣11 C．11 D．无法确定
【思路点拔】根据题干中的新定义运算法则得出，即可求出m的值．
【解答】解：∵（m﹣2）※（m+4）＝2，
∴，
解得m＝﹣11，
故选：B．
6．定义新运算：a*b＝a（a+b），例如：1*2＝1×（1+2）＝2，若n＞1，A＝m*mn，B＝mn*m，则A，B的大小关系为（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A≤B D．A≥B
【思路点拔】根据题意可得：A＝m*mn＝m（m+mn）＝m2+m2n，B＝mn*m＝mn（mn+m）＝m2n2+m2n，然后利用作差法进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：A＝m*mn＝m（m+mn）＝m2+m2n，
B＝mn*m＝mn（mn+m）＝m2n2+m2n，
∴A﹣B＝m2+m2n﹣（m2n2+m2n）＝m2﹣m2n2＝m2（1﹣n2），
∵n＞1，
∴1﹣n2＜0，
∵m2≥0，
∴A﹣B＝m2（1﹣n2）≤0，
∴A≤B，
故选：C．
7．对于有理数a、b，定义运算，则3*（﹣4）的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【思路点拔】按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：3*（﹣4）
，
故选：A．
8．若“ ”是一个对于有理数0与1的运算符号，其运算法则如下：0 0＝0，0 1＝1，1 0＝1，1 1＝0．则下列运算正确的是（　　）
A．（0 0） 1＝0 B．（0 1） 1＝1 C．（1 1） 1＝0 D．（1 0） 0＝1
【思路点拔】按照定义的新运算进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（0 0） 1＝0 1＝1，故A不符合题意；
B、（0 1） 1＝1 1＝0，故B不符合题意；
C、（1 1） 1＝0 1＝1，故C不符合题意；
D、（1 0） 0＝1 0＝1，故D符合题意；
故选：D．
9．规定符号（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，规定符号[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（3，1）＝1，[3，1]＝3．则化简（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1]＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2m
【思路点拔】根据定义的新运算可得：（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1]＝m﹣2+（﹣m），然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1]
＝m﹣2+（﹣m）
＝﹣2，
故选：C．
二．填空题（共14小题）
10．对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“特殊数对”，则6m+4[3m+（2n﹣1）]＝　﹣4　．
【思路点拔】先根据“特殊数对”的规定得到m、n的关系，再化简整式整体代入得结论．
【解答】解：∵（m，n）是“特殊数对”，
∴，即15m+10n＝6m+6n．
∴9m+4n＝0．
∴6m+4[3m+（2n﹣1）]＝6m+4（3m+2n﹣1）
＝6m+12m+8n﹣4
＝18m+8n﹣4
＝2（9m+4n）﹣4
＝2×0﹣4
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
11．形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为ad﹣bc，若12时，则x的值为＝　2　．
【思路点拔】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：12﹣3（2﹣x）＝12，
去括号得：12﹣6+3x＝12，
移项得：3x＝12﹣12+6，
合并同类项得：3x＝6，
解得：x＝2．
故答案为：2．
12．现规定一种新的运算：ad﹣cb，则的值是　﹣9xy+13x2　．
【思路点拔】根据规定的运算方法，列式计算即可．
【解答】解：由题意得，
﹣5（xy﹣3x2）+2（﹣2xy﹣x2）
＝﹣5xy+15x2﹣4xy﹣2x2
＝﹣9xy+13x2，
故答案为：﹣9xy+13x2．
13．定义一种新的运算：，如，则﹣1*2的值是 　　．
【思路点拔】根据，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵，
∴﹣1*2
＝（﹣1）2
＝1
，
故答案为：．
14．规定一种新运算：，如．若的值与x的取值无关．则的值为　　．
【思路点拔】根据新定义，可列式为：1×（x﹣k）﹣2kx，整理得：（1﹣2k）x﹣k，根据题意，的值与x的取值无关，可得1﹣2k＝0，由此解答即可．
【解答】解：根据新定义，可得x﹣k﹣2kx＝（1﹣2k）x﹣k，
∵结果与x的取值无关，
∴1﹣2k＝0，
解得：．
故答案为：．
15．对于a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如1×4﹣2×3＝﹣2，那么因式分解的结果是 　（x﹣3）2　．
【思路点拔】根据ad﹣bc，可以因式分解．
【解答】解：∵ad﹣bc，
∴
＝x（x﹣6）﹣（﹣3）×3
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2，
故答案为：（x﹣3）2．
16．定义一种新运算a☆b：当a≥b时，a☆b＝2a+b；当a＜b时，a☆b＝2a﹣b．若（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3）＝3，则x的值是 　2.5　．
【思路点拔】根据新定义可得（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3）＝2（x2+2x﹣7）﹣（2x2﹣4x+3），据此计算可得答案．
【解答】解：∵（x2+2x﹣7）﹣（2x2﹣4x+3）＝x2+2x﹣7﹣2x2+4x﹣3＝﹣x2+6x﹣10＝﹣（x2﹣6x+10），
x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1＞0，
∴﹣（x2﹣6x+10）＜0，
∴（x2+2x﹣7）＜（2x2﹣4x+3），
∴（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3）
＝2（x2+2x﹣7）﹣（2x2﹣4x+3）
＝2x2+4x﹣14﹣2x2+4x﹣3
＝8x﹣17，
∵（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3）＝3，
∴8x﹣17＝3，
解得x＝2.5．
故答案为：2.5．
17．如果表示﹣4xyz，表示2abcd，则＝　﹣16m4n3　．
【思路点拔】原式利用题中的新定义变形，计算即可得到结果．
【解答】解：由题意可得，
＝（﹣4mn×2）×2n2m3
＝﹣8mn×2n2m3
＝﹣16m4n3，
故答案为：﹣16m4n3．
18．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么，　4（a+3）　．
【思路点拔】根据所给例题可得（a+2）（a+3）﹣（a+3）（a﹣2），然后提取公因式进行计算即可求解．
【解答】解：∵，
∴
＝（a+2）（a+3）﹣（a+3）（a﹣2）
＝（a+3）（a+2﹣a+2）
＝4（a+3）．
故答案为：4（a+3）．
19．若规定“Δ”的含义：（x1，y1）Δ（x2，y2）＝x1x2+y1y2，则（a，5b）Δ（6b2，a2+ab）＝　11ab2+5a2b　．
【思路点拔】根据整式的混合运算法则，先计算乘法，再计算加法．
【解答】解：（a，5b）Δ（6b2，a2+ab）
＝6ab2+5b（a2+ab）
＝6ab2+5a2b+5ab2
＝11ab2+5a2b．
故答案为：11ab2+5a2b．
20．若表示3abc，表示﹣4xywz，则×＝　﹣36n3m6　．
【思路点拔】按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：3mn 3 （﹣4n2m5）
＝9mn （﹣4n2m5）
＝﹣36n3m6，
故答案为：﹣36n3m6．
21．定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：（﹣1）*3＝（﹣1）2﹣3+（﹣1）×3＝﹣5，则4*[2*（﹣3）]＝　19　．
【思路点拔】根据a*b＝a2﹣b+ab，分两步把4*[2*（﹣3）]转化为有理数的混合运算计算即可．
【解答】解：∵a*b＝a2﹣b+ab，
∴2*（﹣3）
＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3）
＝4+3﹣6
＝1，
∴4*[2*（﹣3）]
＝4*1
＝42﹣1+4×1
＝16﹣1+4
＝19，
故答案为：19．
22．对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　3　．
【思路点拔】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
23．用“ ”定义一种新运算，对于任何有理数m和n，规定m n＝m2+n2﹣mn，如3 1＝32+12﹣3×1＝7，则4 （﹣2）的值为　28　．
【思路点拔】根据题目中的新定义计算，即可求出4 （﹣2）的值．
【解答】解：4 （﹣2）
＝42+（﹣2）2﹣4×（﹣2）
＝16+4+8
＝28，
故答案为：28．
三．解答题（共22小题）
24．对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+（m﹣n）：当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣（m﹣n）．
（1）当m＝2，n＝4时，m⊙n＝　10　．
（2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝4b+5，求1﹣2a+b的值．
（3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝60+3a，求a的值．
【思路点拔】（1）根据定义的新运算，算出m⊙n的值即可；
（2）先对（a﹣b）⊙（a+b﹣1）进行运算，得到2a﹣b的值，即可求出结果；
（3）先算出小括号里面的运算结果，再分两种情况算出括号外面的计算结果，最后与60+3a成立等式，即可求出a的值．
【解答】解：（1）∵m+n＝2+4＝6，结果为偶数，
∴m⊙n＝2|2+4|+（2﹣4）＝10，
故答案为：10．
（2）∵a﹣b+a+b﹣1＝2a﹣1，
又∵a、b为正整数，
∴2a﹣1 必为奇数．
∴（a﹣b）⊙（a+b﹣1）
＝2|a﹣b+a+b﹣1|﹣[a﹣b﹣（a+b﹣1）]
＝2|2a﹣1|﹣（﹣2b+1）
＝2（2a﹣1）+2b﹣1
＝4a+2b﹣3，
即：4a+2b﹣3＝4b+5，
∴4a﹣2b＝8，
∴2a﹣b＝4．
∴1﹣2a+b＝1﹣（2a﹣b）＝1﹣4＝﹣3．
（3）∵a为正整数，a+a＝2a，
∴2a必为偶数，
∴a⊙a＝2|a+a|+（a﹣a）＝4a．
当a为偶数时，4a+a＝5a，也为偶数，
∴（a⊙a）⊙a
＝4a⊙a
＝2|4a+a|+（4a﹣a）
＝13a，
∴13a＝60+3a，
解得a＝6；
当a为奇数时，4a+a＝5a，也为奇数，
∴（a⊙a）⊙a
＝4a⊙a
＝2|4a+a|﹣（4a﹣a）
＝7a，
∴7a＝60+3a，
解得a＝15．
∴a的值是6或15．
25．对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）*（c，d）＝ab﹣cd+1，例如：（1，3）*（2，4）＝1×3﹣4×2+1＝﹣4．
（1）求（4，3）*（﹣2，5）的值；
（2）若m＝（﹣1，a2）*（2，a﹣1），n＝（﹣2a﹣1，3）*（a2﹣2a，2）．
①若a2+2a﹣1＝0，求m的值；
②判断m、n的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据规定符号运算即可；
（2）①根据规定符号运算后，整体代入求值即可；②做差法进行比较即可．
【解答】解：（1）根据规定符号运算得：
（4，3）*（﹣2，5）＝4×3﹣（﹣2）×5+1＝12+10+1＝23；
（2）①∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1．
m＝（﹣1，a2）*（2，a﹣1）＝﹣a2﹣2（a﹣1）+1＝﹣a2﹣2a+3＝﹣（a2+2a）+3＝﹣1+3＝2，
m＝2；
②n＝（﹣2a﹣1，3）*（a2﹣2a，2）＝3（﹣2a﹣1）﹣2（a2﹣2a）+1＝﹣6a﹣3﹣2a2+4a+1＝﹣2a2﹣2a﹣2，
m﹣n＝﹣a2﹣2a+3﹣（﹣2a2﹣2a﹣2）＝﹣a2﹣2a+3+2a2+2a+2＝a2+5＞0，
∴m＞n．
26．用“ ”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：x y＝x2y﹣3xy+y．如：1 3＝12×3﹣3×1×3+3＝﹣3．
（1）求3 （﹣2）的值；
（2）若2 （﹣3a）＝a+5，求a的值；
（3）若P＝m ，Q 4m，试比较P与Q的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）利用定义的新运算，进行计算即可解答；
（2）利用定义的新运算可得22 （﹣3a）﹣3×2 （﹣3a）+（﹣3a）＝a+5，然后进行计算即可解答；
（3）利用定义的新运算分别求出P，Q的值，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
3 （﹣2）＝32×（﹣2）﹣3×3×（﹣2）+（﹣2）
＝9×（﹣2）+18﹣2
＝﹣18+18﹣2
＝0﹣2
＝﹣2；
（2）∵2 （﹣3a）＝a+5，
∴22 （﹣3a）﹣3×2 （﹣3a）+（﹣3a）＝a+5，
4 （﹣3a）+18a﹣3a＝a+5，
﹣12a+18a﹣3a＝a+5，
﹣12a+18a﹣3a﹣a＝5，
2a＝5，
a＝2.5，
∴a的值为2.5；
（3）P＞Q，
理由：由题意得：
P＝m m2 3m m2﹣m，
Q 4m＝（）2 4m﹣3 4m+4m 4m﹣6m+4m＝m﹣6m+4m＝﹣m，
∵m2﹣mm，
∴P＞Q．
27．类似于运算符号“+、﹣、×、÷”，新定义一种运算符号“△”，规定：x△y＝3x﹣y．
（1）若x△（﹣5x+3）＝13，求x的值；
（2）若a△（﹣9b）＝12，请计算（a﹣2b）△（5a﹣2024）的值；
（3）若m＝（a2﹣2b）△3b，n＝2b△（6a2+15b+1），比较m与n的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据定义的新运算可得3x﹣（﹣5x+3）＝13，然后按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答；
（2）根据定义的新运算可得3a﹣（﹣9b）＝12，从而可得a+3b＝4，然后利用定义的新运算和整体思想进行计算，即可解答；
（3）根据定义的新运算进行计算，从而可得m＝3a2﹣9b，n＝﹣6a2﹣9b﹣1，然后利用作差法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵x△（﹣5x+3）＝13，
∴3x﹣（﹣5x+3）＝13，
3x+5x﹣3＝13，
3x+5x＝13+3，
8x＝16，
x＝2；
（2）∵a△（﹣9b）＝12，
∴3a﹣（﹣9b）＝12，
3a+9b＝12，
a+3b＝4，
∴（a﹣2b）△（5a﹣2024）
＝3（a﹣2b）﹣（5a﹣2024）
＝﹣2a﹣6b+2024
＝﹣2（a+3b）+2024
＝﹣2×4+2024
＝﹣8+2024
＝2016；
（3）m＞n，
理由：m＝（a2﹣2b）△3b
＝3（a2﹣2b）﹣3b
＝3a2﹣6b﹣3b
＝3a2﹣9b，
n＝2b△（6a2+15b+1）
＝6b﹣（6a2+15b+1）
＝6b﹣6a2﹣15b﹣1
＝﹣6a2﹣9b﹣1，
∴m﹣n
＝3a2﹣9b﹣（﹣6a2﹣9b﹣1）
＝3a2﹣9b+6a2+9b+1
＝9a2+1＞0，
∴m＞n．
28．我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）．
（1）判断数对是否为“有趣数对”，并说明理由．
（2）若（m，n）是“有趣数对”，求式子的值．
【思路点拔】（1）利用“有趣数对”的定义进行判断即可；
（2）先将代数式化简，再利用“有趣数对”的定义得出m，n的关系式，最后利用整体代入的方法化简运算即可．
【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴数对是“有趣数对”；
（2）
＝24mn﹣4m﹣16mn+16﹣12m2+4n+12m2
＝8mn﹣4m+4n+16，
∵（m，n）是“有趣数对”，
∴m﹣n＝2mn．
∴原式＝8mn﹣4（m﹣n）+16
＝8mn﹣4×2mn+16
＝8mn﹣8mn+16
＝16．
29．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如，因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”．
（1）下列数对中，是“积差等数对”的是 　①③　；
①；②（1.5，3）；③．
（2）若（k，﹣4）是“积差等数对”，求k的值；
（3）若（m，n）是“积差等数对”，求代数式4[4mn﹣m﹣3（mn﹣1）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．
【思路点拔】（1）根据新定义内容进行计算，从而作出判断；
（2）根据新定义内容列方程求解；
（3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）①∵22，
∴（2，）是“积差等数对”；
②∵1.5﹣3≠1.5×3，
∴（1.5，3）不是“积差等数对”；
③∵（﹣1）（﹣1），
∴（，﹣1）是“积差等数对”；
故答案为：①③；
（2）∵（k，﹣4）是“积差等数对”，
∴k+4＝﹣4k，
解得：k，
∴k的值为；
（3）原式＝16mn﹣4m﹣12（mn﹣1）﹣6m2+4n+6m2
＝16mn﹣4m﹣12mn+12﹣6m2+4n+6m2
＝4mn﹣4m+12+4n，
∵（m，n）是“积差等数对”，
∴m﹣n＝mn，
∴原式＝4mn﹣4（m﹣n）+12
＝4mn﹣4mn+12
＝12．
30．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如，因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”．
（1）下列数对中，是“积差等数对”的是 　①③　；
①（2，）；②（1.5，3）；③（，﹣1）．
（2）若（k，﹣3）是“积差等数对”，求k的值；
（3）若（m，n）是“积差等数对”，求代数式4[3mn﹣m﹣2（mn﹣1）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．
【思路点拔】（1）根据新定义内容进行计算，从而作出判断；
（2）根据新定义内容列方程求解；
（3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）①2，2，
∴22，故①是“积差等数对”，
②1.5﹣3＝﹣1.5，1.5×3＝4.5，
∴1.5﹣3≠1.5×3，故②不是“积差等数对”，
③（﹣1）1，（）×（﹣1），
∴（﹣1）（﹣1），故③是“积差等数对”，
故答案为：①③；
（2）∵（k，﹣3）是“积差等数对”，
∴k﹣（﹣3）＝﹣3k，
解得：k，
∴k的值为；
（3）原式＝4（3mn﹣m﹣2mn+2）﹣6m2+4n+6m2
＝12mn﹣4m﹣8mn+8﹣6m2+4n+6m2
＝4mn﹣4m+4n+8，
∵（m，n）是“积差等数对”，
∴m﹣n＝mn，
∴原式＝4mn﹣4（m﹣n）+8
＝4mn﹣4mn+8
＝8．
31．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是ad﹣bc．
例如：3×5﹣4×6＝15﹣24＝﹣9．
（1）按照这个规定，请你计算的值．
（2）按照这个规定，当x＝5，y＝﹣3时，求的值．
【思路点拔】（1）根据题意，求5×9﹣（﹣2）×8的值即可．
（2）先利用运算法则化简2（2x+4）﹣（﹣1）（3xy﹣4x），再将x＝5，y＝﹣3代入求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，5×9﹣（﹣2）×8＝45+16＝61．
（2）
＝2（2x+4）﹣（﹣1）（3xy﹣4x）
＝4x+8+3xy﹣4x
＝3xy+8．
当x＝5，y＝﹣3时，3xy+8＝﹣37．
32．若有理数p，q满足p+q＝pq，则称“p，q”为“等效有理数对”，如：“2，2”，因为2+2＝2×2，所以“2，2”是“等效有理数对”．
（1）通过计算判断“3，”是不是“等效有序数对”；
（2）若“x+1，4”是“等效有理数对”，求x的值；
（3）已知“p，q”是“等效有理数对”，求代数式2023﹣2022pq+2022p+2022q的值．
【思路点拔】（1）计算3与3的值，根据两个是否相等进行判断；
（2）根据“等效有理数对”的意义先列出方程，求解即可；
（3）根据“等效有理数对”的意义先得到p、q和与积的关系，整体代入代数式得结论．
【解答】解：（1），3，3，
∵33，
∴“3，“是“等效有序数对”；
（2）∵“x+1，4”是“等效有理数对”，
∴x+1+4＝（x+1）×4，即x+5＝4x+4．
∴x．
（3）∵“p，q”是“等效有理数对”，
∴满足p+q＝pq．
∴2023﹣2022pq+2022p+2022q
＝2023﹣2022pq+2022（p+q）
＝2023﹣2022pq+2022pq
＝2023．
33．对于有理数a，b，我们给出如下定义：若a，b满足a﹣b＝3ab+1，则称a，b为“和谐有理数对”，记为[a，b]．例如，数对是“和谐有理数对”．
（1）数对[0，﹣1]，，，其中是“和谐有理数对”的是 　[0，﹣1]，[﹣2，]　；
（2）若[a，﹣a]是“和谐有理数对”，求6a2+4a+5的值；
（3）若[m，n]是“和谐有理数对”，则[﹣n，﹣m]　是　（填“是”或“不是”）“和谐有理数对”，说明你的理由．
【思路点拔】（1）先分别求出各组数据中的a﹣b和3ab+1的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可；
（2）先根据新定义，列出关于a的等式，求出3a2+2a的值，再利用整体代入求出答案即可；
（3）先根据已知条件和新定义，求出关于m，n的等式，然后再求出当a＝﹣n，b＝﹣m时，a﹣b和3ab+1，进行判断即可．
【解答】解：（1）∵当a＝0，b＝﹣1时，
a﹣b＝0﹣（﹣1）＝0+1＝1，3ab+1＝3×0×（﹣1）+1＝1，
∴a﹣b＝3ab+1，
∴[0，﹣1]是“和谐有理数对”；
∵当a，b＝5时，
a﹣b，3ab+1，
∴a﹣b≠3ab+1，
∴[，5]不是“和谐有理数对”；
∵当a＝﹣2，b时，
a﹣b，3ab+1，
∴a﹣b＝3ab+1，
∴[﹣2，]是“和谐有理数对”；
故答案为：[0，﹣1]，[﹣2，]；
（2）∵[a，﹣a]是“和谐有理数对”，
∴a﹣（﹣a）＝3a （﹣a）+1，
a+a＝﹣3a2+1，
3a2+2a﹣1＝0，
3a2+2a＝1，
∴6a2+4a+5
＝2（3a2+2a）+5
＝2×1+5
＝2+5
＝7；
（3））[﹣n，﹣m]是“和谐有理数对”，理由如下：
∵[m，n]是“和谐有理数对”，
∴m﹣n＝3mn+1，
当a＝﹣n，b＝﹣m时，
a﹣b＝﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝m﹣n，3ab+1＝3 （﹣n） （﹣m）+1＝3mn+1，
∴[﹣n，﹣m]是“和谐有理数对”，
故答案为：是，理由见解析．
34．定义一种对整数n的“F”运算：，以F（n，k）表示对整数n进行k次“F”运算．例如，F（1，2）表示对1进行2次“F”运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为1+5＝6，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以F（1，2）的运算结果是3．据此回答下列问题：
（1）求F（4，1）的运算结果．
（2）若n为奇数，且F（n，2）的运算结果为6，求n的值．
（3）若n为奇数，且F（n，3）的运算结果为4，直接写出n的值．
【思路点拔】（1）根据新定义的对正整数n进行k次“F”运算求解即可；
（2）根据n是奇数，进行2次计算求解即可；
（3）n是奇数，可得第一次运算结果为n+5，第二次运算结果为，为偶数求解即可．
【解答】解：（1）∵n＝4是偶数，n＝1，
∴F（4，1）的运算结果是：，
∴F（4，1）＝2；
（2）若n为奇数，且F（n，2）的运算结果为6，
∴第一次运算结果为n+5，
∵n+5为偶数，
∴第二次运算结果为，
∴n＝7
（3）若n为奇数，且F（n，3）的运算结果为4，
∴第一次运算结果为n+5，
∵n+5为偶数，
∴第二次运算结果为，
∵为偶数，
∴第三次运算结果为，
n+5＝16，
解得：n＝11．
35．在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b＝a2﹣（2+b），例如1 3＝12﹣（2+3）＝﹣4，根据规则完成下列问题：
（1）求3 （﹣2）的值；
（2）（﹣1） [（﹣2） 1]的值为 　﹣2　．
【思路点拔】（1）直接根据新定义的含义列式，再计算即可；
（2）直接根据新定义的含义先列式计算[（﹣2） 1]，再计算第二步即可．
【解答】解：（1）3 （﹣2）
＝32﹣[2+（﹣2）]
＝9﹣0
＝9；
（2）（﹣2） 1
＝（﹣2）2﹣（2+1）
＝4﹣3
＝1，
∴（﹣1） [（﹣2） 1]
＝（﹣1） 1
＝（﹣1）2﹣（2+1）
＝1﹣3
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
36．诚诚在学习完第二章《有理数的运算》后，产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规定：a b＝a×b+4÷b．例如：2 3＝2×3+4÷3．
（1）求（﹣4） （﹣2）的值；
（2）求（﹣3） [2 （﹣1）]的值．
【思路点拔】（1）根据a b＝a×b+4÷b，可以求得所求式子的值；
（2）根据a b＝a×b+4÷b，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）∵a b＝a×b+4÷b，
∴（﹣4） （﹣2）
＝（﹣4）×（﹣2）+4÷（﹣2）
＝8+（﹣2）
＝6；
（2）（﹣3） [2 （﹣1）]
＝（﹣3） [2×（﹣1）+4÷（﹣1）]
＝（﹣3） （﹣2﹣4）
＝（﹣3） （﹣6）
＝（﹣3）×（﹣6）+4÷（﹣6）
．
37．规定运算*为：若a＞b，则a*b＝a﹣b，例如：2*1＝2﹣1＝1；若a＝b，则a*b＝a+b﹣1，例如1*1＝1+1﹣1＝1；若a＜b，则a*b＝ab，例如1*2＝1×2＝2．
（1）计算6*4和4*6，并比较它们的大小；
（2）求（2*3）﹣（4*4）﹣（7*5）的值．
【思路点拔】（1）根据a＞b时a*b＝a﹣b，a＜b时a*b＝ab列式计算即可得出答案；
（2）根据规定的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）6*4＝6﹣4＝2，4*6＝4×6＝24，
∵2＜24，
∴6*4＜4*6；
（2）2*3＝2×3＝6，4*4＝4+4﹣1＝7，7*5＝7﹣5＝2，
∴（2*3）﹣（4*4）﹣（7*5）
＝6﹣7﹣2
＝﹣3．
38．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，运算规则为：a b＝a×b﹣a﹣b．
（1）计算（﹣2） 2的值；
（2）填空：5 （﹣3）　＝　（﹣3） 5（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）求（﹣3） 的值．
【思路点拔】（1）根据新定义，代入计算即可；
（2）根据新定义，代入计算即可；
（2）先算4 ，再算（﹣3） （）即可得答案．
【解答】解：（1）（﹣2） 2
＝（﹣2）×2﹣（﹣2）﹣2
＝﹣4+2﹣2
＝﹣4；
（2）5 （﹣3）
＝5×（﹣3）﹣5﹣（﹣3）
＝﹣15﹣5+3
＝﹣17；
（﹣3） 5
＝（﹣3）×5﹣（﹣3）﹣5
＝﹣15+3﹣5
＝﹣17，
∴5 （﹣3）＝（﹣3） 5，
故答案为：＝；
（3）∵4 442﹣4，
∴（﹣3） （4 ）＝（﹣3） （）＝﹣3×（）﹣（﹣3）﹣（）313．
39．对于有理数a、b，定义新运算：“ ”，a b＝ab﹣a﹣b．
（1）计算：（﹣2） 3＝　﹣7　；
（2）计算：4 （﹣2）　＝　（﹣2） 4；（﹣5） （﹣3）　＝　（﹣3） （﹣5）；（） 5 　＝　5 （）（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律．那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算：“ ”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
【思路点拔】（1）原式利用题中的新定义计算即可求值；
（2）利用题中的新定义计算出各自的值，比较即可；
（3）根据（2）中的结果，得到“ ”满足交换律，验证即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
（﹣2） 3
＝﹣6﹣（﹣2）﹣3
＝﹣6+2﹣3
＝﹣7；
故答案为：﹣7；
（2）根据题中的新定义得：4 （﹣2）＝﹣8﹣4+2＝﹣10，（﹣2） 4＝﹣8+2﹣4＝﹣10；
（﹣5） （﹣3）＝15+5+3＝23，（﹣3） （﹣5）＝15+3+5＝23；
（） 55＝﹣2﹣5＝﹣7，5 （）57，
则4 （﹣2）＝（﹣2） 4；（﹣5） （﹣3）＝（﹣3） （﹣5）；（） 5＝5 （）；
故答案为：＝，＝，＝；
（3）“ ”满足交换律，理由为：
∵a b＝ab﹣a﹣b，b a＝ab﹣b﹣a，
∴a b＝b a．
40．定义新运算：a b＝a（a﹣b）．
例如：3 2＝3×（3﹣2）＝3，﹣1 4＝﹣1×（﹣1﹣4）＝5．
（1）计算（﹣4） 5；计算5 （﹣4）；
（2）已知2 a＝5b﹣2m，3 b＝5a+m，说明：12a+11b的值与m无关；
（3）已知a＞1，记M＝ab b，N＝b ab，试比较M，N的大小．
【思路点拔】（1）利用题中新定义列出算式计算即可求解；
（2）利用题中新定义化简已知等式，确定出所求即可；
（3）利用题中新定义化简M与N，比较即可．
【解答】解：（1）（﹣4） 5
＝﹣4×（﹣4﹣5）
＝﹣4×（﹣9）
＝36；
5 （﹣4）
＝5×[5﹣（﹣4）]
＝5×9
＝45；
（2）∵2 a＝5b﹣2m，3 b＝5a+m，
∴等式整理得：，
整理得：，
①+②×2得：10a+6b+5b+2a＝18﹣2m+4+2m，
整理得：12a+11b＝22，
∴12a+11b的值与m无关；
（3）根据题意得：M＝ab（ab﹣b），N＝b（b﹣ab），
∵a＞1，b2≥0，
∴M﹣N＝ab（ab﹣b）﹣b（b﹣ab）＝（ab﹣b）（ab+b）＝a2b2﹣b2＝b2（a2﹣1）≥0，
则M≥N．
41．材料一：对任意有理数a，b定义运算“ ”．a b＝a+b．
如：1 2＝1+2，1 2 3＝（1+2）+32017．
材料二：规定[a]表示不超过a的最大整数，如[3.1]＝3，[﹣2]＝﹣2，[﹣1.3]＝﹣2．
（1）2 6＝　﹣1003.5　，[﹣π][π]＝　﹣64　；
（2）求1 2 3 4 …… 2022 2023的值；
（3）若有理数m，n满足m＝2[n]＝3[n+1]，请直接写出m [m+n]的结果．
【思路点拔】（1）根据新定义把新运算的代数式转化为常规代数式进行解答便可；
（2）根据新定义把原式转化为1+2+3+4+……+2022+20232022进行计算便可；
（3）设k≤n＜k+1，k为整数，由已知条件m＝2[n]＝3[n+1]，列出k的方程求得k与m的值，进而求得[m+n]的值，再代入代数式，根据新定义进行计算便可．
【解答】解：（1）2 6＝2+61003.5，
[﹣π][π]＝（﹣4）3＝﹣64，
故答案为：﹣1003.5；﹣64；
（2）l 2 3 4 …… 2022 2023
＝1+2+3+4+……+2022+20232022
＝2023；
（3）设k≤n＜k+1，k为整数，则[n]＝k，[n+1]＝k+1，
∵m＝2[n]＝3[n+1]，
∴m＝2k＝3（k+1），
解得k＝﹣3，m＝﹣6，
∴[m+n]＝[﹣6+n]＝﹣9，
∴m [m+n]＝（﹣6） （﹣9）＝﹣6﹣91026.5．
42．小明定义了一种新的运算“◎”，他写出了一些按照“◎”运算法则进行运算的算式：
（+2）◎（+7）＝+9，（﹣3）◎（﹣7）＝+10，
（﹣4）◎（+6）＝﹣10，（+5）◎（﹣8）＝﹣13，
0◎（﹣9）＝+9，（+8）◎0＝+8．
（1）请用文字语言归纳◎运算的法则：
两个非零数进行“◎”运算时，　同号为正，异号为负，并把绝对值相加　；
特别地，0和任何数进行“◎”运算，或任何数和0进行“◎”运算，　结果为正，结果为这个数的绝对值　．
（2）计算：（﹣11）◎[（﹣5）◎0]＝　﹣16　．（括号的作用与在有理数运算中一致）
（3）若整数a、b满足a≤b，且a◎b＝2，求a、b的值．
【思路点拔】（1）通过观察因数的符号与结果的符号，因数的绝对值与结果的绝对值的关系即可得出结论；
（2）利用（1）中总结的法则进行运算即可；
（3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答即可．
【解答】解：（1）两个非零数进行“◎”运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；
特别地，0和任何数进行“◎”运算，或任何数和0进行“◎”运算，结果为正，取这个数的绝对值；
故答案为：同号为正，异号为负，并把绝对值相加；结果为正，取这个数的绝对值．
（2）（﹣11）◎[（﹣5）◎0]
＝（﹣11）◎5
＝﹣16，
故答案为：﹣16；
（3）当a，b同号时，
∵整数a、b满足a≤b，且a◎b＝2，1+1＝2，|﹣1|+|﹣1|＝2，|﹣2|+0＝2
∴a＝b＝1或a＝b＝﹣1；
当a，b中有一个为0时，
∵整数a、b满足a≤b，
∴a＝0或b＝0，
∵a◎b＝2，
∴b＝2，a＝0或a＝﹣2，b＝0，
综上，a＝b＝1或a＝b＝﹣1或a＝0，b＝2或a＝﹣2，b＝0．
43．在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b＝a×b+2×a．
（1）求2 （﹣4）的值；
（2）求的值；
（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“ ”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【思路点拔】（1）直接根据新定义的含义列式2 （﹣4）＝2×（﹣4）+2×2，再计算即可；
（2）直接根据新定义的含义先列式计算，再计算第二步即可；
（3）根据新定义可得a b＝a×b+2×a＝ab+2a，b a＝b×a+2×b＝ab+2b，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵a b＝a×b+2×a，
∴2 （﹣4）
＝2×（﹣4）+2×2
＝﹣8+4
＝﹣4；
（2）∵a b＝a×b+2×a，
，
∴；
（3）没有交换律，理由如下：
∵a b＝a×b+2×a＝ab+2a，b a＝b×a+2×b＝ab+2b，
∴a b≠b a，
∴这种新运算“ ”不具有交换律．
44．对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：a*b＝a2+ab+2，例如：（﹣2）*3＝（﹣2）2+（﹣2）×3+2＝0．
（1）若a+b＝4，求a*b+b*a的值．
（2）若a*b＝4，求（a+b）*（a﹣b）的值．
（3）若a+b＝3，ab＝2，求a*b﹣b*a的值．
【思路点拔】（1）（2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出a﹣b的值，最后代入计算．
【解答】解：（1）∵a*b+b*a
＝a2+ab+2+b2+ab+2
＝a2+2ab+b2+4
＝（a+b）2+4．
当a+b＝4时，
源氏＝42+4＝16+4＝20；
（2）（a+b）*（a﹣b）
＝（a+b）2+（a+b）（a﹣b）+2
＝a2+2ab+b2+a2﹣b2+2
＝2a2+2ab+2．
∵a*b＝4，
∴a2+ab+2＝4即a2+ab＝2．
∴原式＝2（a2+ab）+2
＝2×2+2
＝4+2
＝6．
（3）a*b﹣b*a
＝a2+ab+2﹣b2﹣ab﹣2
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）．
∵a+b＝3，ab＝2，
∴（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9．
∴a2+b2＝5．
∴a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．
∴（a﹣b）2＝1．
∴a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1．
当a+b＝3，a﹣b＝1时，
原式＝3×1＝3；
当a+b＝3，a﹣b＝﹣1时，
原式＝3×（﹣1）＝﹣3．
45．对于有序实数对（a，b）、（c，d），定义关于“ ”的一种运算如下：
（a，b） （c，d）＝a c+b d．例如（1，2） （3，4）＝1×3+2×4＝11．
（1）求（2，3） （﹣4，3）的值；
（2）若（4，y） （x，3）＝﹣1，且（x，1） （2，y）＝3，求x+y的值．
【思路点拔】（1）根据定义的新运算进行计算，即可解答；
（2）根据定义的新运算可得4x+3y＝﹣1①，2x+y＝3②，然后利用整体的思想进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：（2，3） （﹣4，3）
＝2×（﹣4）+3×3
＝﹣8+9
＝1；
（2）∵（4，y） （x，3）＝﹣1，
∴4x+3y＝﹣1①，
∵（x，1） （2，y）＝3，
∴2x+y＝3②，
∴①﹣②得：2x+2y＝﹣4，
解得：x+y＝﹣2．

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