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北京市初一上期末复习—新定义题型专项练习
1．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2．若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6．
（1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是4，则点B表示的数为 　1　；
（2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”C2表示的数为11，则点C表示的数为 　或5　；
（3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值．
【思路点拔】（1）设B表示的数为x，利用“k被关联点”的定义列出方程即可解决问题；
（2）由于没有给出具体m，n的值，m，n为正整数，所以“6被关联点”要分4种情况进行，根据定义列出方程求出C表示的数，然后根据已知得到满足条件的C值即可；
（3）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“k被关联点”的定义列出方程列出方程，再根据k的取值与t无关即可确定对应的m，n的值，进而确定k的值．
【解答】解：（1）设B表示的数为x，则有：2（x+1）＝4，
∴x＝1，
即B表示的数为1．
故答案为：1．
（2）设C表示的数为y，C在M的右侧，则y＞2，
∵6的正因数有1、2、3、6，
∴①当m＝1，n＝6时，则有6（y+1）＝11，解得：y2，不符合题意，舍去；
②当m＝2，n＝3时，则有3（y+2）＝11，解得：y2，不符合题意，舍去；
③当m＝3，n＝2时，则有2（y+3）＝11，解得：y2，符合题意；
④当m＝6，n＝1时，则有y+6＝11，解得：y＝5＞2，符合题意；
综上所述，y为或5，即C表示的数为或5．
故答案为：或5．
（3）设运动时间为t秒，则P表示的数为2+2t，Q点表示的数为﹣3+t，
∵点P始终为点Q的“k倍关联点”，
∴n（﹣3+t+m）＝2+2t，
∴（n﹣2）t+（﹣3n+mn﹣2）＝0，
对于任意t都成立
∴n＝2，3n+mn﹣2＝0，
解得：n＝2，m＝4，
∴k＝8．
2．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段．
（1）在数轴上，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2，点C1表示的数为，点C2表示的数为﹣2，点C3表示的数为4，在线段BC1，BC2，BC3中，与线段AB互为友好线段的是 　BC1，BC2　；
（2）在数轴上，点A，B，C，D表示的数分别为x，﹣2﹣x，，且A，B不重合．若线段AB，CD互为友好线段，直接写出x的值．
【思路点拔】（1）求出BC1，BC2，BC3，AB的中点和三等分点表示的数，根据互为友好线段的定义分析即可；（2）分AB的中点是CD的三等分点和CD的中点是AB的三等分点两种情况，根据互为友好线段的定义列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点B表示的数为2，点C1表示的数为，
∴BC1＝2﹣（），
BC1，
∴BC1的中点表示的数是（2）÷2，
三等分点表示的数是或2．
∵点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2，
∴AB＝2﹣（﹣4）＝6，AB＝2，
∴AB的中点表示的数是（2﹣4）÷2＝﹣1，
三等分点表示的数是﹣4+2＝﹣2或2﹣2＝0．
∵点B表示的数为2，点C2表示的数为﹣2，
∴BC2＝2﹣（﹣2）＝4，BC2．
∴BC2的中点表示的数是（2﹣2）÷2＝0，
三等分点表示的数是﹣2或2；
∵AB的中点是BC1的一个三等分点，BC2的中点是AB的一个三等分点，
∴BC，BC2与AB互为友好线段．
∵BC3与AB无重叠部分，∴BC3与AB不可能是互为友好线段．
故答案为：BC1，BC2；
（2）∵，
∴，
∴CD，CD＝1，
∴CD的中点表示的数是（）÷2＝3，
三等分点表示的数是或；
∵点A，B表示的数分别为x，﹣2﹣x，
∴AB的中点表示的数是（x﹣2﹣x）÷2＝﹣1．
当AB的中点是CD的一个当AB的中点是CD的一个三等分点时，
1或1；
x＝7或x＝9．
当CD的中点是AB的一个三等分点时，
若x＞﹣2﹣x，即x＞﹣1时，
AB＝x﹣（﹣2﹣x）＝2x+2，AB，
∴AB三等分点表示的数是﹣2﹣x或x
∴3或3
解得x＝26或．
若x＜﹣2﹣x，即x＜﹣1时，
AB＝﹣2﹣x﹣x＝﹣2x﹣2，AB，
∴AB三等分点表示的数是x或﹣2﹣x，
∴3或3，
解得x＝26（舍去）或（舍去）．
综上可知，x的值为，7，9，26．本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的n等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．
3．对于数轴上的定点P和动点M，如果满足：①点M以速度v沿数轴正方向运动，经过点P后以速度2v继续沿数轴正方向运动；②点M以速度v沿数轴负方向运动，经过点P后以速度v继续沿数轴负方向运动，那么称定点P为变速点．点A，B都在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为12．
（1）已知线段AB的中点是变速点，
①若点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则在第 　9　秒时与点B重合；
②若点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则在第 　18　秒时与点A重合．
（2）已知在线段AB上存在一变速点K（不与点A，B重合），点K表示的数为k．点F从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点G从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，若它们在点H处相遇，且点H表示的数为7，求k的值．
【思路点拔】（1）根据题中的规则列式计算；
（2）根据“相遇时用的时间相等”列方程求解．
【解答】解：（1）AB的中点表示的数为：6，
①6÷1+6÷2＝9（秒），
故答案为：9；
②6÷1+618（秒），
故答案为：18；
（2）若k＜7，则k5，
解得：k＝3，
若7≤k＜12时，则7＝12﹣k，
解得：k＝9，
答：k的值为3或9．
4．定义一种新运算“&”：当x＞y时，x&y；当x＝y时，x&y＝x+y；当x＜y时，x&y．例如：2&1．
（1）直接写出（﹣1）&7＝　　；
（2）已知2&x，求x的值；
（3）若关于x的方程a&（x+1）的解为x＝a2，则a的值为 　　．
【思路点拔】（1）﹣1＜7，根据对应运算“&”的定义计算即可；
（2）分x＞2，x＝2，x＜2三种情况分别计算即可；
（3）分a＞x+1，a＝x+1，a＜x+1三种情况分别计算即可．
【解答】解：（1）∵﹣1＜7，
∴（﹣1）&77，
故答案为：．
（2）当2＞x时，2&x＝2，解得x；
当2＝x时，2&x＝2+x，解得x＝2；
当2＜x时，2&xx，解得x（舍去）；
综上，x或2．
（3）①当a＞x+1时，a&（x+1）＝aa2a+4，将x＝a2代入并整理，得a2﹣5a+7＝0，该方程无解；
②当a＝x+1时，即a＝a2+1，
将a＝a2+1等号两边同时平方并整理，
得a4+a2+1＝0，该方程无解，
∴a＝a2+1无解；
③当a＜x+1时，a&（x+1）x+1＝a2a+4，将x＝a2代入并整理，得1a+4，解得a，
∵x+1＝a2+1＝（）2+1，，
∴a，
故答案为：．
5．在数轴上，把原点记作点O，点A和点B分别表示的数为a，b（a＞b），我们称关于x的一元一次方程ax+b＝ab为线段AB的相关方程，将方程ax+b＝ab的解记为x＝c，c在数轴上对应的点为C，若点C在线段AB上，则称线段AB为美好线段，C为线段AB的美好点．
（1）若a＝2，b＝﹣1，则线段AB的相关方程为 　2x﹣1＝﹣2　；线段AB是否是美好线段：　是　（填“是”或“否”）；
（2）已知a＝0.5，若线段AB的美好点恰好是线段AB的中点，求点C表示的数；
（3）已知数组，，，0.，，，…，，一共有4047个数，数组N：﹣10，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，一共有10个数．有理数a是数组M中的一个数，有理数b是数组N中的一个数，若线段AB为美好线段，且线段AB的美好点在数轴的正半轴上，则这样的美好点一共有 　46　个．
【思路点拔】（1）由题意和美好线段的定义可得答案；
（2）由线段AB的美好点恰好是线段AB的中点，得x，将a代入计算可得 b，即可求出点C表示的数；
（3）根据一元一次方程的定义求出a≠0，再解得b＜0＜a，分两种情况b＝﹣10或b＝﹣1，当b＝﹣10时，解得0.91＜a＜1；当b＝﹣1时，解得0.61＜a＜1，即可得美好点数．
【解答】（1）解：由题意可知线段4B的相关方程为
2x﹣1＝﹣2，
解得：x，
∵，
∴线段AB是美好线段；
故答案为：2x﹣1＝﹣2；是．
（2）由题意可知：x，
∴，
解得：b，
∴x，
∴点C表示的数是；
（3）∵ax+b＝ab是关于x的一元一次方程，
∴a≠0，
解方程ax+b＝ab，
解得：x＝b，
即c＝b，
∵点C在线段AB上，
∴b＜c＜a，即b＜ba，
∴b＜b，
解得：，
∵b＜a，
∴b＜0＜a，
∴b＝﹣10或b＝﹣1，
因为美好点在数轴的正半轴上，即c＞0，
所以b，
当b＝﹣10时，c＝﹣10，
即﹣100，
解得：a＜1，所以0＜a＜1，
ba，即﹣10a，
解得：a＞0.91，
所以0.91＜a＜1，
所以a可取，，， ，共8个；
当b＝﹣1时，c＝﹣1，所以﹣10，
解得：a＜1，
所以0＜a＜1，
b，
即﹣1，
解得：a＞0.61，
所以0.61＜a＜1，
所以a可取，，， ，共38个，
8+38＝46，
∴美好点一共有46个；
故答案为：46．
6．数轴上有四个点P，Q，M，N．我们规定：点P与点Q之间的距离记为d，点P与点M或点N中某一个点的距离记为d1，点Q与点M或点N中另一个点的距离记为d2，若满足d＝d1﹣d2，则称P和Q是M，N的“伴随点对”．
例如：点P，Q，M，N分别表示的数为8，9，4，2．
此时，PQ＝1，PM＝4，PN＝6，QM＝5，QN＝7，其中存在PQ＝PN﹣QM＝1，满足d＝d1﹣d2，则称P和Q是M，N的“伴随点对”．
在数轴上点A，B分别表示的数为﹣2，4．
（1）若点C1和D1分别表示的数为10和1，点C2和D2分别表示的数为3和﹣6，点C3和D3分别表示的数为﹣6和﹣9，则在①C1和D1，②C2和D2，③C3和D3中，是A，B的“伴随点对”的是 　①③　（填序号即可）；
（2）若点C表示的数为1，点D表示的数为m，且C和D是A，B的“伴随点对”，直接写出m的取值范围；
（3）若点C从点A出发以每秒4个单位长度向右运动，同时点D从点B出发以每秒1个单位长度向左运动，当点D到达点A时，点C和点D同时停止运动．设点D的运动时间为t秒．当C和D是A，B的“作随点对”时，直接写出t的值．
【思路点拔】（1）根据题意，分别计算CD，CA，CB，DA，DB的值，确定是否满足d＝d1﹣d2即可判断；
（2）根据题意，分别表示CD，CA，CB，DA，DB，根据C和D是A、B的“作随点对”，分为CD＝CA﹣DA和CD＝CB﹣DB分别计算即可确定范围；
（3）由题意得，C：﹣2+4t，D：4﹣t，分别表示出 CD＝|﹣6+5t|，CA＝4t，CB＝|6﹣4t|，DA＝6﹣t，DB＝t，根据C和D是A、B的“作随点对”，分四种情况分别计算即可．
【解答】解：（1）①点A，B分别表示的数为﹣2，4，点C1和D1分别表示的数为10和1，
∴C1D1＝9，C1A＝12，C1B＝6，D1A＝3，D1B＝3，
∴C1D1＝C1A﹣D1A，
∴C1，D1是A，B的“伴随点对”；
②点A，B分别表示的数为﹣2，4，点C2和D2分别表示的数为3和﹣6，
∴C2D2＝9，C2A＝5，C2B＝1，D2A＝4，D2B＝10，不满足d＝d1﹣d2，
∴C2，D2不是A，B的“伴随点对”；
③点A，B分别表示的数为﹣2，4，点C3和D3分别表示的数为﹣6和﹣9，
∴C3D3＝3，C3A＝4，C3B＝10，D3A＝7，D3B＝13，
∵C3D3＝C3B﹣D3A，
∴C3D3是A，B的“伴随点对”；
故答案为：①③．
（2）CD＝|m﹣l|，CA＝3，CB＝3，DA＝|m+2|，DB＝|m﹣4|，
当C和D是A，B的“作随点对”时，
①CD＝CB﹣DA，
∴|m﹣1|＝3﹣|m+2|，
∴|m﹣1|+|m+2|＝3，
解得：﹣2≤m≤1；
②CD＝CA﹣DB，
∴|m﹣1|＝3﹣|m﹣4|，
∴|m﹣1|+|m﹣4|＝3，
解得：1≤m≤4，
综上，﹣2≤m≤4．
（3）C：﹣2+4t，D：4﹣t，
∴CD＝|﹣6+5t|，CA＝4t，CB＝|6﹣4t|，DA＝6﹣t，DB＝t，
当CD＝|﹣6+5t|＝0，即t时，C、D两点重合，不符合题意；
当CB＝|6﹣4t|＝0，即t时，C、B两点重合，不符合题意；
当DA＝6﹣t＝0，即t＝6时，A、D两点重合，不符合题意；
当C和D是A，B的“作随点对”时，
①|﹣6+5t|＝5t﹣6，
解得：t（舍去）；
②|﹣6+5t|＝3t，解得：t或t＝3；
③|﹣6+5t|＝|6﹣4t|﹣6+t，无解；
④|﹣6+5t|＝|6﹣4t|﹣t，解得：t（舍去）或t＝0（舍去）；
综上，t或t＝3．
7．对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．
例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．
（1）点B是点A到点C的 　　倍分点，点C是点B到点A的 　　倍分点；
（2）点B到点C的3倍分点表示的数是 　1或4　；
（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的4倍分点，写出x的取值范围．
【思路点拔】（1）通过计算，的值，利用题干中的定义解答即可；
（2）设这点为E，对应的数字为a，则3；利用数形结合的思想方法，进行分类讨论，分别列出方程求解即可；
（3）设线段BC上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为y（﹣2≤y≤2），则FA＝4FD，然后列不等式求解x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2，
∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．
∵，
∴点B是点A到点C的倍分点，
∵，
∴点C是点B到点A的倍分点．
故答案为：，；
（2）设这点为E，对应的数字为a，则3，EB＝|a﹣（﹣2）|＝|a+2|，EC＝|a﹣2|；
若点E在点B的左侧，明显不符合题意；
若点E在B，C之间，则EB＝a+2，EC＝2﹣a，
a+2＝3（2﹣a），
解得：a＝1．
若点E在C点的右侧，则EB＝a+2，EC＝a﹣2，
a+2＝3（a﹣2），
解得：a＝4．
综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．
故答案为：1或4．
（3）设线段BC上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为y（﹣2≤y≤2），则FA＝4FD，
∵FA＝|y﹣（﹣4）|＝|y+4|＝y+4，FD＝|y﹣x|，
∴y+4＝4|y﹣x|，
若y≥x，则y+4＝4（y﹣x），解得：y，
从而﹣22，解得：；
若y＜x，则y+4＝﹣4（y﹣x），解得：y，
从而﹣22，解得：；
综上，x的取值范围为：．
8．点A，B，C在数轴上，对于线段AB和线段AB外一点C给出如下定义：若点C与线段AB上的点的最小距离小于或等于AB，则称点C是线段AB的“半关联点”．
（1）如图，点A表示的数是1，点B表示的数是2，点D，E，F在数轴上，它们表示的数分别是，3，5，则在点D，E，F中，线段AB的“半关联点”是 　点D　；
（2）若点A表示的数是1，点B表示的数是2，且点C是线段AB的“半关联点”，则点C表示的数c的取值范围是 　c＜1或2＜c　；
（3）若点A表示的数是1，如点C表示的数是﹣1，点C是线段AB的“半关联点”，点B表示的数b的取值范围是 　﹣1＜b或b≥5　．
【思路点拔】（1）利用“半关联点”的定义判断即可；
（2）根据“半关联点”的定义，利用分类讨论的方法解答即可；
（3）根据“半关联点”的定义，利用分类讨论的方法列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）∵点A表示的数是1，点B表示的数是2，
∴AB＝1．
∵点D，E，F在数轴上，它们表示的数分别是，3，5，
∴点D与线段AB上的点的最小距离DAAB，点E，F与线段AB上的点的最小距离大于AB，
∴点D是线段AB的“半关联点”，
故答案为：点D；
（2）点C在点A的左侧时，
∵CAAB，
∴c＜1．
点C在点B的右侧时，
∵CBAB，
∴2＜c．
综上，点C表示的数c的取值范围是c＜1或2＜c．
故答案为：c＜1或2＜c；
（3）点B在点A，C之间时，
∵CBAB，
∴b﹣（﹣1）（1﹣b）且b＞﹣1，
∴﹣1＜b．
点B在点A的右侧时，
∵CA＝2，CAAB，
∴AB≥4，
∴b≥5．
综上，点B表示的数b的取值范围是：﹣1＜b或b≥5．
故答案为：﹣1＜b或b≥5．
9．对于数轴上不同的三个点M，N，P，若满足PM＝kPN+b（k≠0），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是﹣3，1，当“隔序常数b＝0”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数k＝3”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是﹣4，点B表示的数是3，
（1）若点C在线段AB上，点C是点A关于B的“隔序点”，k＝2，b＝1时，点C表示的数是 　1　；
（2）若点C在数轴上，OC＝16，点C是点B关于A的“隔序点”，隔序常数b＝﹣1，求k的值；
（3）在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足|b﹣1|+|b﹣3|＝k，当k取最小值时，b取最大值时，直接写出m的值．
【思路点拔】（1）根据题意得，CA＝2CB+1，CA+CB＝AB＝7，解得CB＝2；因此点C表示的数为：3﹣2＝1；
（2）根据题意得，CB＝kCA﹣1；OC＝16，则点C表示的数是16或﹣16，考虑两种情况分别进行计算；
（3）k和b满足|b﹣1|+|b﹣3|＝k，当1≤b≤3时，k有最小值，为2，此时b的最大值为3；根据题意，要分两种情况计算：①点C是点A关于点B的“隔序点”；②点C是点B关于点A的“隔序点”．
【解答】解：（1）根据题意得，CA＝2CB+1，
因为CA+CB＝AB＝7，解得CB＝2；
因此点C表示的数为：3﹣2＝1；
故答案为：1
（2）根据题意得，CB＝kCA﹣1；
OC＝16，则点C表示的数是16或﹣16，考虑两种情况分别进行计算；
若点C表示的数是16，16﹣3＝k[16﹣（﹣4）]﹣1，解得k；
若点C表示的数是﹣16，|﹣16﹣3|＝k|﹣16﹣（﹣4）|﹣1，解得k；
因此，k或；
（3）|b﹣1|+|b﹣3|＝k，当1≤b≤3时，k有最小值，为2，此时b的最大值为3；
根据题意，要分两种情况进行计算：
①点C是点A关于点B的“隔序点”，CA＝2CB+3，则|m+4|＝2|m﹣3|+3，
若点C位于A、B之间，则m+4＝2×（3﹣m）+3，解得m；
若点C位于点B右侧，则m+4＝2×（m﹣3）+3，解得m＝7；
②点C是点B关于点A的“隔序点”，CB＝2CA+3，则|m﹣3|＝2|m+4|+3，
若点C位于A、B之间，则3﹣m＝2×（m+4）+3，解得m；
若点C位于点A左侧，则3﹣m＝2×（﹣4﹣m）+3，解得m＝﹣8；
因此，m或7或或﹣8．
10．数轴上有M，N，P三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．
例如，数轴上点M，N，P所表示的数分别为1，4，5，此时点N是点M，P的“三倍点”．
（1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“三倍点”的是 　C1、C2　；
（2）点D表示的数是﹣10，点E表示的数是14，F为数轴上一个动点，若点F是点D，E的“三倍点”，求点F表示的数．
【思路点拔】（1）根据“三倍点”的新定义，逐步计算即可；
（2）根据“三倍点”的新定义，假设点F在点D的左侧，点F在点E的右侧和点F在点D、E的两点之间三种情况，分别进行讨论，即可．
【解答】解：（1）∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C1为1，
∴AC1＝3，BC1＝1，
∴C1是A、B的“三倍点”；
∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C2为4，
∴AC2＝6，BC2＝2，
∴C2是A、B的“三倍点”；
∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C3为6，
∴AC3＝4，BC3＝4，
∴C3不是A、B的“三倍点”；
∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C4为8，
∴AC4＝4，BC4＝6，
∴C4不是A、B的“三倍点”；
故答案为：C1、C2．
（2）若点F在点D的左侧，且点F是点D，E的“三倍点”，设点F表示的数为x，
则有：3FD＝FE，3（﹣10﹣x）＝14﹣x，
解得：x＝﹣22；
若点F在点E的右侧，且点F是点D，E的“三倍点”，设点F表示的数为x，
则有：FD＝3FE，x+10＝3（x﹣14），
解得：x＝26；
若点F在点D、E的两点之间，且点F是点D，E的“三倍点”，设点F表示的数为x，
则有：DF＝3FE或3DF＝FE，x+10＝3（14﹣x）或3（x+10）＝14﹣x，
解得：x＝8或x＝﹣4，
故答案为：x＝﹣22或x＝26或x＝8或x＝﹣4．
11．定义：数轴上有三个点A，B，C，如果点C到A、B两个点的距离成三倍，则称点C是（A，B）的“三倍关联点”．
例如，如图1，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是5，表示﹣1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是6，点C到点B的距离是到点A距离的3倍，那么称点C是（A，B）的“三倍关联点”．
（1）如图2，点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C1，C2分别表示数0，1，则两个点中是（A，B）的“三倍关联点”的是 　C2　．
（2）如图3，点A表示的数是﹣5，点B表示的数是3，点C是数轴上一动点，当其恰好是（A，B）的“三倍关联点”时，求C点表示的数．
（3）点B表示的数是3，点A表示的数是x（x＜3），点C表示的数的最大值为1，最小值为﹣2，若点C是（A，B）的“三倍关联点”，则x的最小值为 　﹣17　，x的最大值为 　　．
【思路点拔】（1）利用“三倍关联点”的定义判断即可；
（2）设C点表示的数为x，利用分类讨论的思想方法，依据题意列出方程解答即可；
【解答】解：（1）∵C1A＝C1B＝2，
∴C1点不是（A，B）的“三倍关联点”；
∵C2A＝3，C2B＝3，
∴C2A＝3C2B，
∴C2是（A，B）的“三倍关联点”．
故答案为：C2；
（2）设C点表示的数为x，
①当x＞3时，由题意得：
3（x﹣3）＝x﹣（﹣5），
∴x＝7．
②当﹣5＜x＜3时，由题意得：
3﹣x＝3（x+5）或x+5＝3（3﹣x），
解得：x＝﹣3或1．
③当x＜﹣5时，由题意得：
3（﹣5﹣x）＝3﹣x，
∴x＝﹣9．
综上，C点表示的数为﹣9或﹣3或1或7．
（3）当C表示的数为﹣2，点A在点C的左侧时，x取得最小值，
∵﹣2﹣x＝3[3﹣（﹣2）]，
∴x＝﹣17．
当C表示的数为1，点A在点C，B中间时，x取得最大值，
∵3﹣1＝3（x﹣1），
∴x．
∴x的最小值为﹣17，x的最大值为．
故答案为：﹣17；．
12．对于数轴上三个不同的点A，B，C，给出如下定义：在线段AB，BC，CA中，若其中有两条线段相等，则称A，B，C三点是“均衡点”．
（1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，点C表示的数是3，
①A，B，C三点 　不是　（填“是”或“不是”）“均衡点”；
②点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”，则m＝　﹣1、2或5　；
（2）点D表示的数是x，点E表示的数是n，线段EF＝a（a为正整数），线段DE＝b，若D，E，F三点是“均衡点”，且关于x的一元一次方程ax+x＝4b的解为整数，求n的最小值．
【思路点拔】（1）根据题意分别表示出AB＝3，BC＝2，AC＝5，即可得到本题答案；
（2）根据题意针对三点的位置分情况讨论，列关于m的一元一次方程并解出即可得到本题答案；
（3）根据题意针对三点分情况讨论，可分为6种情况，再分别列出方程正确解答后比较n的数值，即可得到本题答案．
【解答】解：（1）①解：∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，点C表示的数是3，
∴AB＝3，BC＝2，AC＝5，
∵AB≠BC≠AC，
∴A，B，C三点不是“均衡点”；
故答案为：不是．
②∵点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”，
又∵点B表示的数是1，点C表示的数是3，分情况讨论：
Ⅰ．当点B，C，M顺次时，BC＝2，CM＝m﹣3，
即BC＝CM，2＝m﹣3，
解得：m＝5；
Ⅱ．当点B，M，C顺次时，BM＝m﹣l，CM＝3﹣m，
即BM＝CM，m﹣1＝3﹣m，
解得：m＝2；
Ⅲ．当点M，B，C顺次时，MB＝1﹣m，CB＝2，
即MB＝CB，l﹣m＝2，
解得：m＝﹣1；
综上所述：m的值为5或2或﹣1；
故答案为：﹣1，2或5．
（2）∵D，E，F三点是“均衡点”，分情况讨论：
①当点D，E，F顺次时，即DE＝EF时，
∵线段EF＝a （a为正整数），线段DE＝b，
∴a＝b，
∵关于x的一元一次方程ax+x＝4b的解为整数，
∴x，
∵a为正整数，
∴a＝1或a＝3，
∴当a＝1时，x2符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴n﹣x＝a，即n＝a+x＝1+2＝3，
当a＝3时，x＝3符合题意，
∴n﹣x＝a，即n＝a+x＝3+3＝6；
②当点D，F，E顺次时，即DF＝EF时，
∵线段EF＝a（a为正整数），线段DE＝b，
∴a，即b＝2a，
∵关于x的一元一次方程ax+x＝4b的解为整数，
∴x，
∵a为正整数，
∴a＝1或a＝3或a＝7，
∴当a＝1时，x4符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴n﹣2a＝x，即n＝2a+x＝2+4＝6，
当a＝3时，x6符合题意，此时n＝12，
当a＝7时，x7符合题意，此时n＝21；
③当点E，D，F顺次时，即DE＝DF时，
∵线段EF＝a （a为正整数），线段DE＝b，
∴a＝2b，
∵关于x的一元一次方程ax+x＝4b的解为整数，
∴x，
∵a为正整数，
∴当a＝1时，x1符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴n＝x，即n＝1；
④当点E，F，D顺次时，即EF＝DF时，
∵线段EF＝a （a为正整数），线段DE＝b，
∴2a＝b，
∵关于x的一元一次方程ax+x＝4b的解为整数，
∴x，
∵a为正整数，
∴当a＝1时，x4符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴n＝x﹣2a，即n＝4﹣2＝2，
∴当a＝3时，x6符合题意，此时n＝0，
当a＝7时，x7符合题意，此时n＝﹣7；
⑤当点F，D，E顺次时，即FD＝DE时，
∵线段EF＝a（a为正整数），线段DE＝b，
∴a＝2b，
∵关于x的一元一次方程ax+x＝4b的解为整数，
∴x，
∵a为正整数，
当a＝1时，x1符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
n＝x，即n＝1，
当a＝3时，x2符合题意，此时n，
⑥当点F，E，D顺次时，即FE＝DE时，
∵线段EF＝a（a为正整数），线段DE＝b，
∴a＝b，
∵关于x的一元一次方程ax+x＝4b的解为整数，
∴x，
∵a为正整数，
∴当a＝1时，x2符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴n＝x﹣a，即n＝2﹣1＝1，
当a＝3时，x3符合题意，此时n＝0，
综上所述：n的最小值为﹣7．
13．已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且b＝a+2，点P在线段AB上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段AB的“到达距离”．
（1）如图1，当点M与数轴上原点重合时，
①如果a＝﹣3，那么点M到线段AB的“到达距离”是 　1　；
②如果点M到线段AB的“到达距离”是2，那么a＝　2或﹣4　；
（2）当点A对应的数a在﹣2～3之间（包含﹣2，3）时，如果点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围．
【思路点拔】（1）①根据“到达距离”的定义，即可求解；
②根据“到达距离”的定义，分类讨论，即可求解；
（2）首先根据a的取值范围，求出b的取值范围，然后根据“到达距离”的定义，分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝﹣3，b＝a+2，
∴b＝﹣3+2＝﹣1，
∵点M到点P的距离的最小值为点M到线段AB的“到达距离”，且点M与数轴上原点重合时，
∴点M到线段AB的“到达距离”是1，
故答案为：1．
（2）∵点M到线段AB的“到达距离”是2，且点M与数轴上原点重合时，b＝a+2，
∴当a＝2时，b＝4，点M到线段AB的“到达距离”是2，符合题意；
当a＝﹣2时，b＝0，点M到线段AB的“到达距离”是0，不符合题意；
当b＝2时，a＝0，点M到线段AB的“到达距离”是0，不符合题意；
当b＝﹣2时，a＝﹣4，点M到线段AB的“到达距离”是2，符合题意；
综上所述，a＝2或a＝﹣4，
故答案为：a＝2或a＝﹣4．
（3）当点A对应的数a在﹣2～3之间（包含﹣2，3）时，b＝a+2，
∴点b对应的数b在0～5之间（包含0，5），
∵点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，
∴点M在线段AB外，
这里只考虑两种极限：①当a＝﹣2，b＝0时，点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，点M在线段AB的左侧，则m﹣（﹣2）＜﹣3，即m＜﹣5；
②当a＝3，b＝5时，点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，点M在线段AB的右侧，则m﹣5＞3，即m＞8；
综上所述，如果点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，则m＞8或m＜﹣5．
14．定义：数轴上有一点M，若点M到线段AB两个端点的距离成二倍关系时，则称点M是线段AB的二倍关联点．
已知：点O为数轴原点，点A表示的数为1．
（1）若点C在线段AB上，线段AB的二倍关联点C表示的数为3，则点B表示的数为 　7或4　；
（2）点B从表示5的点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点D从表示1的点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，当点D是线段AB的二倍关联点时，求出t的值；
（3）设点B表示的数是2n，点P表示的数为n，点Q表示的数为n+2，若线段PQ上存在线段AB的二倍关联点，直接写出n的最大值及最小值．
【思路点拔】（1）根据题意分CB＝2AC和CBAC求解即可；
（2）根据题意，点D表示的数就是1+3t，点B表示的数就是5+t，分点D到A的距离是点D到B的距离的两倍和点D到B的距离是点D到A的距离的两倍分别求解即可；
（3）分点P到A的距离是点P到B的距离的两倍和点Q到A的距离是点Q到B的距离的两倍求解可得结论．
【解答】解：（1）A表示的数为1，C表示的数为3，则AC＝3﹣1＝2，
∵C为线段AB的二倍关联点，
∴CB＝2AC＝4，
∴B表示的数为3+4＝7，
或CBAC＝1，
∴B表示的数为3+1＝4，
∴点B表示的数为7或4，
故答案为：7或4；
（2）根据题意，点D表示的数就是1+3t，点B表示的数就是5+t，
当点D是线段AB的二倍关联点时，有两种情况：
①点D到A的距离是点D到B的距离的两倍，即：
1+3t﹣1＝2×|5+t﹣（1+3t）|，
解得t或8，
②点D到B的距离是点D到A的距离的两倍，即：
5+t﹣（1+3t）＝2×（1+3t﹣1），
解得t，
综上所述：t的值为或或8；
（3）∵线段PQ上存在线段AB的二倍关联点，
∴①当点P到A的距离是点P到B的距离的两倍时，有n﹣1＝2（2n﹣n），
解得n＝﹣1，
②当点Q到A的距离是点Q到B的距离的两倍时，有n+2﹣1＝2×[2n﹣（n+2）]，
解得n＝5，
∴n的最大值为5，最小值为﹣1．
15．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以1．
（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是，点P2与P1关于原点对称．
①　　；
②比较，，的大小 　　（用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OMOA，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知100且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为 　198　．
【思路点拔】（1）①根据定义求出线段P2A与P2O的值即可解答；
②根据定义分别求出，的值即可比较；
（2）分两种情况，点M在原点的右侧，点M在原点的左侧；
（3）根据题意可知，分两种情况，点P在点A的右侧，点P在OA之间．
【解答】解：（1）①∵点P1表示的数是，点P2与P1关于原点对称，
∴点P2表示的数是，
∵点A表示的数是1，
∴P2A＝1，P2O，
∴，
②∵点P1表示的数是，
∴P1A＝1﹣（），P1O，
∴，
∵1＜P3＜2，
∴1＜P3O＜2，0＜P3A＜1，
∴1，
∴，
故答案为：①，②；
（2）分两种情况：
当点M在原点的右侧，
∵OMOA，
∴OM，
∴点M表示的数为：，
∴MO，MA＝1，
∴，
当点M在原点的左侧，
∵OMOA，
∴OM，
∴点M表示的数为：，
∴MO，MA＝1﹣（），
∴，
∴的值为：或；
（3）∵100且为整数，
∴为整数，
∴PO＞PA且PO为PA的倍数，
当1时，
∴PO＝PA，
即点P为OA的中点，
∴p，
∴当1时，p的值为，
当2时，
∴PO＝2PA，
当点P在OA之间，
∴p＝2（1﹣p），
∴p，
当点P在点A的右侧，
∴p＝2（p﹣1），
∴p＝2，
∴当2时，p的值为：2或，
当3时，
∴PO＝3PA，
当点P在OA之间，
∴p＝3（1﹣p），
∴p，
当点P在点A的右侧，
∴p＝3（p﹣1），
∴p，
∴当3时，p的值为：或，
当4时，
∴PO＝4PA，
当点P在OA之间，
∴p＝4（1﹣p），
∴p，
当点P在点A的右侧，
∴p＝4（p﹣1），
∴p，
∴当4时，p的值为：或，
…
当99时，
∴PO＝99PA，
当点P在OA之间，
∴p＝99（1﹣p），
∴p，
当点P在点A的右侧，
∴p＝99（p﹣1），
∴p，
∴当99时，p的值为：或，
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
2...
＝2+（）+（）+（）+...+（）
＝2+2+2+2+...+2
＝2×99
＝198，
故答案为：198．
16．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0．已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．例如，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
（1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　1　，d2（点D，线段AB）＝　6　；
（2）若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的4倍，求x的值．
【思路点拔】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧．
【解答】解：（1）∵点D表示的数为﹣3，
∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，
故答案为：1，6；
（2）分两种情况：
当点E在点A的左侧，
d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x，
d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的4倍，
∴2﹣x＝4（﹣2﹣x），
解得：，
当点E在点B的右侧，
d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3，
d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的4倍，
∴3+x＝4（x﹣3），
解得：x＝5，
综上所述：x的值为：或5．中小学教育资源及组卷应用平台
北京市初一上期末复习—新定义题型专项练习
1．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2．若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6．
（1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是4，则点B表示的数为 　 　；
（2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”C2表示的数为11，则点C表示的数为 　 　；
（3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值．
2．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段．
（1）在数轴上，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2，点C1表示的数为，点C2表示的数为﹣2，点C3表示的数为4，在线段BC1，BC2，BC3中，与线段AB互为友好线段的是 　 　；
（2）在数轴上，点A，B，C，D表示的数分别为x，﹣2﹣x，，且A，B不重合．若线段AB，CD互为友好线段，直接写出x的值．
3．对于数轴上的定点P和动点M，如果满足：①点M以速度v沿数轴正方向运动，经过点P后以速度2v继续沿数轴正方向运动；②点M以速度v沿数轴负方向运动，经过点P后以速度v继续沿数轴负方向运动，那么称定点P为变速点．点A，B都在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为12．
（1）已知线段AB的中点是变速点，
①若点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则在第 　 　秒时与点B重合；
②若点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则在第 　 　秒时与点A重合．
（2）已知在线段AB上存在一变速点K（不与点A，B重合），点K表示的数为k．点F从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点G从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，若它们在点H处相遇，且点H表示的数为7，求k的值．
4．定义一种新运算“&”：当x＞y时，x&y；当x＝y时，x&y＝x+y；当x＜y时，x&y．例如：2&1．
（1）直接写出（﹣1）&7＝　 　；
（2）已知2&x，求x的值；
（3）若关于x的方程a&（x+1）的解为x＝a2，则a的值为 　 　．
5．在数轴上，把原点记作点O，点A和点B分别表示的数为a，b（a＞b），我们称关于x的一元一次方程ax+b＝ab为线段AB的相关方程，将方程ax+b＝ab的解记为x＝c，c在数轴上对应的点为C，若点C在线段AB上，则称线段AB为美好线段，C为线段AB的美好点．
（1）若a＝2，b＝﹣1，则线段AB的相关方程为 　 　；线段AB是否是美好线段：　 　（填“是”或“否”）；
（2）已知a＝0.5，若线段AB的美好点恰好是线段AB的中点，求点C表示的数；
（3）已知数组，，，0.，，，…，，一共有4047个数，数组N：﹣10，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，一共有10个数．有理数a是数组M中的一个数，有理数b是数组N中的一个数，若线段AB为美好线段，且线段AB的美好点在数轴的正半轴上，则这样的美好点一共有 　 　个．
6．数轴上有四个点P，Q，M，N．我们规定：点P与点Q之间的距离记为d，点P与点M或点N中某一个点的距离记为d1，点Q与点M或点N中另一个点的距离记为d2，若满足d＝d1﹣d2，则称P和Q是M，N的“伴随点对”．
例如：点P，Q，M，N分别表示的数为8，9，4，2．
此时，PQ＝1，PM＝4，PN＝6，QM＝5，QN＝7，其中存在PQ＝PN﹣QM＝1，满足d＝d1﹣d2，则称P和Q是M，N的“伴随点对”．
在数轴上点A，B分别表示的数为﹣2，4．
（1）若点C1和D1分别表示的数为10和1，点C2和D2分别表示的数为3和﹣6，点C3和D3分别表示的数为﹣6和﹣9，则在①C1和D1，②C2和D2，③C3和D3中，是A，B的“伴随点对”的是 　 　（填序号即可）；
（2）若点C表示的数为1，点D表示的数为m，且C和D是A，B的“伴随点对”，直接写出m的取值范围；
（3）若点C从点A出发以每秒4个单位长度向右运动，同时点D从点B出发以每秒1个单位长度向左运动，当点D到达点A时，点C和点D同时停止运动．设点D的运动时间为t秒．当C和D是A，B的“作随点对”时，直接写出t的值．
7．对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．
例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．
（1）点B是点A到点C的 　 　倍分点，点C是点B到点A的 　 　倍分点；
（2）点B到点C的3倍分点表示的数是 　 　；
（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的4倍分点，写出x的取值范围．
8．点A，B，C在数轴上，对于线段AB和线段AB外一点C给出如下定义：若点C与线段AB上的点的最小距离小于或等于AB，则称点C是线段AB的“半关联点”．
（1）如图，点A表示的数是1，点B表示的数是2，点D，E，F在数轴上，它们表示的数分别是，3，5，则在点D，E，F中，线段AB的“半关联点”是 　 　；
（2）若点A表示的数是1，点B表示的数是2，且点C是线段AB的“半关联点”，则点C表示的数c的取值范围是 　 　；
（3）若点A表示的数是1，如点C表示的数是﹣1，点C是线段AB的“半关联点”，点B表示的数b的取值范围是 　 　．
9．对于数轴上不同的三个点M，N，P，若满足PM＝kPN+b（k≠0），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是﹣3，1，当“隔序常数b＝0”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数k＝3”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是﹣4，点B表示的数是3，
（1）若点C在线段AB上，点C是点A关于B的“隔序点”，k＝2，b＝1时，点C表示的数是 　 　；
（2）若点C在数轴上，OC＝16，点C是点B关于A的“隔序点”，隔序常数b＝﹣1，求k的值；
（3）在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足|b﹣1|+|b﹣3|＝k，当k取最小值时，b取最大值时，直接写出m的值．
10．数轴上有M，N，P三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．
例如，数轴上点M，N，P所表示的数分别为1，4，5，此时点N是点M，P的“三倍点”．
（1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“三倍点”的是 　 　；
（2）点D表示的数是﹣10，点E表示的数是14，F为数轴上一个动点，若点F是点D，E的“三倍点”，求点F表示的数．
11．定义：数轴上有三个点A，B，C，如果点C到A、B两个点的距离成三倍，则称点C是（A，B）的“三倍关联点”．
例如，如图1，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是5，表示﹣1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是6，点C到点B的距离是到点A距离的3倍，那么称点C是（A，B）的“三倍关联点”．
（1）如图2，点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C1，C2分别表示数0，1，则两个点中是（A，B）的“三倍关联点”的是 　 　．
（2）如图3，点A表示的数是﹣5，点B表示的数是3，点C是数轴上一动点，当其恰好是（A，B）的“三倍关联点”时，求C点表示的数．
（3）点B表示的数是3，点A表示的数是x（x＜3），点C表示的数的最大值为1，最小值为﹣2，若点C是（A，B）的“三倍关联点”，则x的最小值为 　 　，x的最大值为 　 　．
12．对于数轴上三个不同的点A，B，C，给出如下定义：在线段AB，BC，CA中，若其中有两条线段相等，则称A，B，C三点是“均衡点”．
（1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，点C表示的数是3，
①A，B，C三点 　 　（填“是”或“不是”）“均衡点”；
②点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”，则m＝　 　；
（2）点D表示的数是x，点E表示的数是n，线段EF＝a（a为正整数），线段DE＝b，若D，E，F三点是“均衡点”，且关于x的一元一次方程ax+x＝4b的解为整数，求n的最小值．
13．已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且b＝a+2，点P在线段AB上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段AB的“到达距离”．
（1）如图1，当点M与数轴上原点重合时，
①如果a＝﹣3，那么点M到线段AB的“到达距离”是 　 　；
②如果点M到线段AB的“到达距离”是2，那么a＝　 　；
（2）当点A对应的数a在﹣2～3之间（包含﹣2，3）时，如果点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围．
14．定义：数轴上有一点M，若点M到线段AB两个端点的距离成二倍关系时，则称点M是线段AB的二倍关联点．
已知：点O为数轴原点，点A表示的数为1．
（1）若点C在线段AB上，线段AB的二倍关联点C表示的数为3，则点B表示的数为 　 　；
（2）点B从表示5的点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点D从表示1的点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，当点D是线段AB的二倍关联点时，求出t的值；
（3）设点B表示的数是2n，点P表示的数为n，点Q表示的数为n+2，若线段PQ上存在线段AB的二倍关联点，直接写出n的最大值及最小值．
15．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以1．
（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是，点P2与P1关于原点对称．
①　 　；
②比较，，的大小 　 　（用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OMOA，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知100且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为 　 　．
16．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0．已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．例如，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
（1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　；
（2）若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的4倍，求x的值．

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