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2024-2025学年广东省“金太阳联考”高二（上）期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线与若，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，，共面，则( )
A. B. C. D.
6.直线截圆所得的弦长为( )
A. B. C. D.
7.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体现有一个刍甍如图所示，底面为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8.已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线过定点则下列结论正确的是( )
A. 的坐标为
B. 当时，在轴上的截距为
C. 若与直线垂直，则
D. 点在圆的外部
10.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则( )
A.
B.
C. 在上单调递增
D. 在上恰有个零点
11.若平面，平面，平面，则称点为点在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，，记平面为，平面为，，，( )
A. 若，则
B. 存在点，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆，则圆的半径为 ．
13.某校高三年级男生共人，女生共人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取人组成某活动志愿者小队，则被抽取的女生人数为 若从被抽取的这人中抽取人作为志愿者小队队长，则恰有个男队长的概率为 ．
14.已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为 ．
15.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，．
求的大小
求的面积．
16.已知在中，，，．
求直线的方程
求的外接圆的标准方程
过点作的外接圆的切线，求该切线方程．
17.如图，在六面体中，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点．
证明：平面．
若，求点到平面的距离．
18.如图，在四棱台中，底面是正方形，，平面．
证明：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长若不存在，请说明理由．
19.古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家他的著作圆锥曲线论是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值，则点的轨迹就是阿氏圆，记为．
求的方程
若与轴分别交于，两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线，分别与的另一个交点为，，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案
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14.
15.解：因为，所以
因为，所以，又， 由余弦定理，得．
因为，所以．
由可得，，，
故的面积为．
16.解：已知，，
直线的斜率为，
直线的方程为，即．
设外接圆的方程为，
则，求得
故外接圆方程为，
即的外接圆的标准方程．
当切线的斜率不存在时，，不符合；
当切线的斜率存在时，设切线方程为即，
的外接圆的圆心为，半径，
由题意圆心到切线的距离，即，
解得切线方程为
综上，切线方程为
17.证明：因为，，都垂直于平面，所以．
取的中点，连接，，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以．
又因为平面，平面，所以平面．
解：连接以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，，
取，得，，则．
故点到平面的距离．
18.解：证明：因为底面是正方形，所以．
又因为平面，平面，所以．
因为，且，平面，所以平面．
解：以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则取．
设直线与平面所成的角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
解：若存在点满足题意，则可设点，其中，
则，．
设平面的法向量为，则取．
易得平面的一个法向量为，
所以，解得或舍去，
故棱上存在一点，当时，二面角的余弦值为．

19.解：设，由题意可知，，
即：，两边取平方，
整理得：，即．
故的方程为：
由圆与轴分别交于，两点，
不妨设，，又为直线上的动点，设，
则，，则的方程为：，的方程为：，
设，，联立方程
解得，
所以，即，，即
联立方程
解得，
所以，即，，即
当时，，
所以直线的方程为，
化简得，所以直线过定点．
当时，，此时过定点．
综上，直线过定点．

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