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专题27 尺规作图
一．选择题（共15小题）
1．（2024 河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的　　
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】
【考点】三角形中位线定理；作图—基本作图；三角形的角平分线、中线和高
【解析】由作图可知，故线段是的高．
故选．
2．（2024 烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】角平分线的定义；作图—基本作图
【解析】：由作图痕迹可知，射线为的平分线；
：由作图痕迹可知，，，
又，
，
同理可得，，
，
射线为的平分线；
：由作图痕迹可知，，，
可得，
又由图可知，
，
，
射线为的平分线；
：由作图痕迹可知，，是等腰三角形，
射线是的垂直平分线，
也是的平分线．
故选．
3．（2024 深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是　　
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】
【考点】作图—基本作图
【解析】根据基本作图可判断图1中为的平分线，图2中为边上的中线，图3中为的平分线．
故选．
4．（2024 哈尔滨）如图，在△中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—基本作图
【解析】，，
，
，
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选．
5．（2024 眉山）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为　　
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—基本作图
【解析】由作图知，垂直平分，
，
的周长，
，，
的周长，
故选．
6．（2024 自贡）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】菱形的判定与性质；作图—基本作图
【解析】由作图可知，
四边形是菱形，
．
故选．
7．（2024 湖北）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆周角定理；作图—基本作图
【解析】是半圆的直径，
，
，
，
由题意得，为的平分线，
．
故选．
8．（2024 成都）在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】角平分线的性质；平行四边形的性质；作图—基本作图
【解析】由作法得平分，
，所以选项不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
，所以选项不符合题意；
，
，
，
，
，所以选项不符合题意；
，
，所以选项符合题意．
故选．
9．（2024 天津）如图，△中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形的外角性质；直角三角形的性质；作图—基本作图
【解析】，，
，
由作图知，平分，
，
，
，
故选．
10．（2024 海南）如图，在中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则四边形的周长是　　
A．22 B．21 C．20 D．18
【答案】
【考点】作图—基本作图
【解析】设，则，
在中，，，，
，
，
，
，
，
由作图可知，即，
则，
则，
则，
，
，
则四边形的周长是22．
故选．
11．（2024 内蒙古）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是　　
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】
【考点】等腰三角形的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；作图—基本作图
【解析】过点作于点，
由作图过程可知，平分，
．
，
，
．
，，
，
平分，
，
，
，
即为等腰三角形，
，
的面积为．
故选．
12．（2024 北京）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则．
上述方法通过判定△△得到，其中判定△△的依据是　　
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】
【考点】全等三角形的判定；作图—复杂作图
【解析】由作图过程可得，，，
△△，
判定△△的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选．
13．（2024 长春）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的判定与性质；作图—复杂作图
【解析】由作图过程可知，，
故选项正确，不符合题意；
，
，
，
故选项正确，不符合题意；
是边的中点，，
点为的中点，
，
故选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能得出，
故选项不正确，符合题意．
故选．
14．（2024 济南）如图，在正方形中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；作图—复杂作图；解直角三角形
【解析】如图，连接，过点作于点，在上取一点，使得，连接．
由作图可知垂直平分线段，
四边形是正方形，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
，
正方形的边长．
故选．
15．（2024 泰安）如图，中，，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：
①；
②垂直平分线段；
③；
④．
其中，正确结论的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图；角平分线的性质
【解析】由作图可知垂直平分线段，
，
，
由作图可知平分，
，
，
，故①正确，
，
，
，
垂直平分线段，故②正确，
，，
，故③正确，
，
，
，
，故④正确．
故选．
二．填空题（共8小题）
16．（2024 西藏）如图，在△中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，，则的长为 　　．
【答案】．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质
【解析】作于点，则，
，
，
由作图得平分，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
17．（2024 甘孜州）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．则的大小为 　35　度．
【答案】35．
【考点】等腰三角形的性质；作图—基本作图；角平分线的定义
【解析】，，
，
由作图可知平分，
．
故答案为：35．
18．（2024 湖南）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则　6　，
【答案】6．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质
【解析】由作图过程可知，为的平分线，
是边上的高，
，
，
．
，
．
故答案为：6．
19．（2024 山东）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 　　．
【答案】．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】如图，过作于，
由作图可得：，，，
，
，
，
，
，
到的距离为；
故答案为：．
20．（2024 辽宁）如图，四边形中，，，，，以点为圆心，以长为半径作弧，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 　　（用含的代数式表示）．
【答案】．
【考点】列代数式；角平分线的定义；平行线的性质；作图—基本作图
【解析】由作法得，平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
21．（2024 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点，画射线，若，则　2　．
【答案】2．
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质
【解析】由作图过程可知，为的平分线，
，
，
解得．
故答案为：2．
22．（2024 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上．
线段的长为 　　；
点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，△中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使△的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） 　　．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．
【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；勾股定理；切线的判定与性质；轴对称最短路线问题
【解析】；
如图，点，，即为所求．
方法：如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．
故答案为：如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．
23．（2024 滨州）如图，在边长为1的正方形网格中，点，均在格点上．
（1）的长为 　　；
（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点，的位置是如何找到的（不用证明）　　．
【答案】（1）；
（2）图形见解答，根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理；矩形的判定
【解析】（1）由图可得，
，
故答案为：；
（2）如图所示，四边形即为所求，理由：根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点，
具体的计算过程：由图可知：，
则，
即，
解得，
，
这样找到点，同理可以找到点，
即图中即为所求，
故答案为：根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点．
三．解答题（共24小题）
24．（2024 河南）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点．（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形．
【考点】作图—基本作图；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：由（1），得，
．
，
四边形是平行四边形，
是斜边上的中线，
，
是菱形．
25．（2024 赤峰）如图，在中，是中点．
（1）求作：的垂直平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若交于点，连接并延长至点，使，连接，．补全图形，并证明四边形是平行四边形．
【考点】作图—基本作图；三角形中位线定理；平行四边形的判定
【解析】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：由作图可知，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
26．（2024 广元）如图，已知矩形．
（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接、，求证：四边形是菱形．
【考点】菱形的判定；作图—基本作图；矩形的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】（1）解：如图1所示：
（2）证明：如图2设与的交点为，由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，
，，
，
，
又四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形．
27．（2024 广州）如图，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
【考点】直角三角形斜边上的中线；矩形的判定；作图—基本作图；中心对称图形
【解析】（1）解：如图所示，线段为边上的中线；
（2）证明：点是的中点，
，
将中线绕点逆时针旋转得到，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
28．（2024 广西）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【考点】等腰直角三角形；作图—基本作图；线段垂直平分线的性质
【解析】（1）图形如图所示：
（2）垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
29．（2024 新疆）如图，已知平行四边形．
①尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点；
（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
②在①的条件下，求证：是等腰三角形．
【考点】角平分线的定义；作图—基本作图；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】①解：如图，即为所求．
②证明：为的平分线，
．
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
是等腰三角形．
30．（2024 长沙）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线分别交，于点，，连接，．
（1）求的长；
（2）求的周长．
【考点】作图—基本作图；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质
【解析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
点为的中点，
．
（2）在中，由勾股定理得，．
直线为线段的垂直平分线，
．
的周长为．
31．（2024 达州）如图，线段，相交于点，且，于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—基本作图
【解析】（1）如图，、、为所作；
（2）四边形平行四边形．
理由如下：
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
而，
四边形平行四边形．
32．（2024 江西）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，过点作的垂线；
（2）如图2，点为线段的中点，过点作的平行线．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；作图—复杂作图
【解析】（1）如图1，作直线，
四边形为菱形，
，
则直线即为所求．
（2）如图2，连接并延长，交的延长线于点，作直线，
四边形为菱形，
，
，，
点为线段的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
则直线即为所求．
33．（2024 陕西）如图，已知矩形，请用尺规作图法，在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】矩形的性质；作图—复杂作图；三角形的面积
【解析】如图，点为所作．
34．（2024 陕西）如图，已知直线和外一点，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点和顶点都在直线上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—复杂作图
【解析】如图即为所求作的三角形．
35．（2024 无锡）如图，在△中，．
（1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理的应用；作图—复杂作图
【解析】（1）如图：即为所求．
（2）过点作交与点，过点作交与点，
则，
又
四边形为矩形，
是的平分线，
，
四边形为正方形，
，
设，
，，
在△中，，
在△中，，
，
，
，
解得：，
．
36．（2024 威海）感悟如图1，在△中，点，在边上，，．求证：．
应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）．
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—基本作图
【解析】感悟：过点作于点，
，，
，，
；
应用：（1）解：如图2：点，即为所求；
（2）如图3：点，即为所求．
37．（2024 临夏州）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形
背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为．
操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，．得到正六边形．
问题解决
任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：　　．
【考点】正多边形和圆；作图—复杂作图；坐标与图形变化旋转
【解析】任务一：图形如图所示：
任务二：将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标．
38．（2024 重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形．
证明：四边形是矩形，
．
①　　，．
点是的中点，
②　　．
．
③　　．
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④　　．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；作图—基本作图
【解析】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：四边形是矩形，
．
①，．
点是的中点，
②．
．
③．
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形是菱形．
故答案为：，，，四边形是菱形．
39．（2024 连云港）如图，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点在上，点在上．
（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图
【解析】（1）证明：，
，，
在 和中，
，
；
（2）如图，四边形即为所求作的菱形．
40．（2024 上海）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．
（1）若直角三角形斜边上的高都为，求：
①两个直角三角形的直角边（结果用表示）；
②平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．
【考点】列代数式；平行四边形的性质；作图—复杂作图
【解析】（1）①如图，为等腰直角三角板，，则，
如图，为含的直角三角形板，，，，则，；
综上，等腰直角三角板直角边为 ，含 的直角三角形板直角边为和 ；
②由题意可知，
四边形是矩形，
由图可得，，，
，
故小平行四边形的底为 ，高为 ，面积为 ，
（2）如图，即为所作图形．
41．（2024 扬州）如图，已知及边上一点．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图；解直角三角形
【解析】（1）如图点即为所求；
（2）如图，点点即为所求；
（3）由作图可知，
，
，
可以假设，，则，
平分，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
42．（2024 青岛）已知：如图，四边形，为边上一点．
求作：四边形内一点，使，且点到，的距离相等．
【考点】角平分线的性质；作图—复杂作图；平行线的性质
【解析】作的平分线，以为顶点，为一边作，交于，如图：
点即为所求．
43．（2024 苏州）如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—基本作图；线段垂直平分线的性质
【解析】（1）证明：由作图知：．
在 和中，
，
；
（2）解：，，
，
又，
，．
，
，
．
44．（2024 宁夏）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点，重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
（2）在边上找一点，使得．
【考点】圆周角定理；作图—复杂作图
【解析】（1）如图，直线为所作；
（2）如图，点为所作．
45．（2024 牡丹江）在中，，，，以为边向外作有一个内角为的菱形，对角线，交于点，连接，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出的面积．
【考点】作图—复杂作图；含30度角的直角三角形；菱形的性质；三角形的面积
【解析】当时，所作图形如图，作，垂足为，
菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
的面积为；
当时，所作图形如图，作，垂足为，如图2，
菱形，，
，，
，
，，
，，
的面积为；
综上，的面积为12或36．
46．（2024 广东）如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作．求证：与相切．
【考点】切线的判定；作图—复杂作图；角平分线的性质
【解析】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：过点作于点，
平分，，
，
为的半径，
与相切．
47．（2024 甘肃）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点．作法如下：
①以点为圆心，长为半径，作弧交于，两点；
②延长交于点；
即点，，将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为 　　．
【考点】作图—应用与设计作图；正多边形和圆；切线的性质
【解析】（1）如图，点，，即为所求．
（2）设交于点．
，
，，
，
，
，
，，
，
的周长为．
故答案为：．
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专题27 尺规作图
一．选择题（共15小题）
1．（2024 河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的　　
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
2．（2024 烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024 深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是　　
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
4．（2024 哈尔滨）如图，在△中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接，若，则　　
A． B． C． D．
5．（2024 眉山）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为　　
A．7 B．8 C．10 D．12
6．（2024 自贡）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则　　
A． B． C． D．
7．（2024 湖北）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
8．（2024 成都）在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是　　
A． B． C． D．
9．（2024 天津）如图，△中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为　　
A． B． C． D．
10．（2024 海南）如图，在中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则四边形的周长是　　
A．22 B．21 C．20 D．18
11．（2024 内蒙古）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是　　
A．8 B．16 C．12 D．24
12．（2024 北京）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则．
上述方法通过判定△△得到，其中判定△△的依据是　　
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
13．（2024 长春）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是　　
A． B． C． D．
14．（2024 济南）如图，在正方形中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为　　
A． B． C． D．
15．（2024 泰安）如图，中，，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：
①；
②垂直平分线段；
③；
④．
其中，正确结论的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2024 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点，画射线，若，则　　．
17．（2024 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上．
线段的长为 　　；
点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，△中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使△的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） 　　．
18．（2024 滨州）如图，在边长为1的正方形网格中，点，均在格点上．
（1）的长为 　　；
（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点，的位置是如何找到的（不用证明）　　．
二．填空题（共8小题）
19．（2024 西藏）如图，在△中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，，则的长为 　　．
20．（2024 甘孜州）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．则的大小为 　　度．
21．（2024 湖南）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则　　，
22．（2024 山东）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 　　．
23．（2024 辽宁）如图，四边形中，，，，，以点为圆心，以长为半径作弧，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 　　（用含的代数式表示）．
三．解答题（共24小题）
24．（2024 河南）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点．（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形．
25．（2024 赤峰）如图，在中，是中点．
（1）求作：的垂直平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若交于点，连接并延长至点，使，连接，．补全图形，并证明四边形是平行四边形．
26．（2024 广元）如图，已知矩形．
（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接、，求证：四边形是菱形．
27．（2024 广州）如图，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
28．（2024 广西）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
29．（2024 新疆）如图，已知平行四边形．
①尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点；
（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
②在①的条件下，求证：是等腰三角形．
30．（2024 长沙）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线分别交，于点，，连接，．
（1）求的长；
（2）求的周长．
31．（2024 达州）如图，线段，相交于点，且，于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
32．（2024 江西）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，过点作的垂线；
（2）如图2，点为线段的中点，过点作的平行线．
33．（2024 陕西）如图，已知矩形，请用尺规作图法，在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）
34．（2024 陕西）如图，已知直线和外一点，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点和顶点都在直线上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
35．（2024 无锡）如图，在△中，．
（1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）
36．（2024 威海）感悟如图1，在△中，点，在边上，，．求证：．
应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）．
37．（2024 临夏州）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形
背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为．
操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，．得到正六边形．
问题解决
任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：　　．
38．（2024 重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形．
证明：四边形是矩形，
．
①　　，．
点是的中点，
②　　．
．
③　　．
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④　　．
39．（2024 连云港）如图，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点在上，点在上．
（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
40．（2024 上海）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．
（1）若直角三角形斜边上的高都为，求：
①两个直角三角形的直角边（结果用表示）；
②平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．
41．（2024 扬州）如图，已知及边上一点．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
42．（2024 青岛）已知：如图，四边形，为边上一点．
求作：四边形内一点，使，且点到，的距离相等．
43．（2024 苏州）如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
44．（2024 宁夏）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点，重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
（2）在边上找一点，使得．
45．（2024 牡丹江）在中，，，，以为边向外作有一个内角为的菱形，对角线，交于点，连接，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出的面积．
46．（2024 广东）如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作．求证：与相切．
47．（2024 甘肃）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点．作法如下：
①以点为圆心，长为半径，作弧交于，两点；
②延长交于点；
即点，，将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为 　　．
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