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专题：函数的对称性与周期性 教学设计
课例名称 函数的对称性与周期性 教师姓名
学段学科 高中数学 教材版本 人教A版
章节 复习课 年级
教学目标 了解函数周期性、对称性与几何意义； 完善函数性质的知识体系，充分体验运用所学知识解决实际问题的过程； 学会运用转化与化归，从特殊到一般以及数形结合的数学思想方法。 4.进一步提升直观想象、逻辑推理、数学表达与数学运算等数学核心素养。
教学重难点 重点：函数的周期性与对称性的相关结论。 难点：1.运用所学知识解决实际问题的过程； 2.导数与导函数的对称性与周期性。
学情分析 1. 知识结构：作为高三的一轮复习课，学生现有知识体系和能力水平是已经掌握函数的概念及部分性质——单调性、奇偶性与最值； 2.认知结构：适当综合函数的周期性、奇偶性和对称性，能让学生更好的把握数学思想的灵活运用，从而有效提升直观想象、逻辑推理、数学表达与数学运算能力，即有效提高学生的数学核心素养。
教学方法 复习了函数的单调性、奇偶性的基础上，再进行本节课的学习，符合学生的认知规律，有利于知识体系的自然形成。这也是达成本节课学习目标最有利的条件； 2.如何让学生发现并掌握变化中的规律，即变化过程中的不变因素，是学生真正学会此类问题解决办法的关键； 3.高考真题中导数与导函数的对称性与周期性规律总结。
教学过程 一、知识梳理 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、周期性的定义 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 常用结论 1．函数对称性常用结论（自变量x的系数相反） (1)轴对称：f(a－x)＝f(a＋x) f(－x)＝f(2a＋x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于直线x＝a对称．f(a＋x)＝f(b－x) f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)中心对称：f(a＋x)＝－f(b－x) f(x)的图象关于点对称． (3)对称性是奇偶性的推广： ，时，为偶函数； ，时，为奇函数 2．函数周期性常用结论（自变量x的系数相同） 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)等差型与等比型的周期： ①若函数满足f (x-1)+f (x+1)=f (x)，则函数的周期是T=6 ②若函数满足f (x-1)*f (x+1)=f (x)，则函数的周期是T=6 (4)周期与对称的关系：若函数y=f (x)定义域为R,满足f (a-x)=f (a+x) ①若函数y=f (x)是偶函数，则函数的周期是T=2a ②若函数y=f (x)是奇函数，则函数的周期是T=4a ③函数y=f (x)的图象关于直线x=a和x=b都对称，则函数y=f (x)的周期T=2|a-b| ④函数y=f (x)的图象关于直线x=a和点(b，0)都对称，则函数y=f (x)的周期T=4|a-b| 周期性的本质是函数值的重复，因此等号两边x的符号相同；对称性的本质是函数图象的翻折变化，因此等号两边x的符号相反. 3．导数与导函数的对称性 （1）若函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则导函数f’(x)的图象关于点(a,0)对称。 若函数f(x)的图象关于点(a，f(a))对称，则导函数f’(x)的图象关于x=a 对称。 （2）若f’(x)的图象关于直线x=a对称，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称 若f’(x)的图象关于点(a，0)对称，则f(x)的图象关于直线 x=a对称。 【设计意图】作为一轮复习课，学生现有知识体系和能力水平是已经掌握函数的概念及部分性质——单调性、奇偶性与最值。在此基础上，继续研究函数的周期性与对称性，既是对前期知识的巩固与升华，也是对整体函数知识体系的扩充与完善。特别是适当综合函数的周期性、奇偶性和对称性，能让学生更好的把握数学思想的灵活运用，从而有效提升直观想象、逻辑推理、数学表达与数学运算能力，即有效提高学生的数学核心素养。 二、典例剖析 例1、【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 例2、(2020新课标Ⅲ卷)已知函数f(x)=|sinx|+cos x，则下列说法正确的是( ) A.2π为f(x)的周期 B.对于任意x R，函数f（x）都满足f（π+x)=f（π-x) C.函数f(x)在区间[π/4，π]上单调递减 D.f(x)的最小值为 例3、(2022新高考1卷12)已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R记g(x)=f’(x),若f(--2x)，g(2+x)均为偶函数，则( ) A. f(0)=0 B.g( -1/2)=0 C.f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2) 【设计意图】通过三个例题，唤起同学们对函数的周期性、奇偶性、对称性的再认识，充分体验到函数的这三个性质往往综合在一起。因此，在实际应用中，通常以联系的思维思考问题，以定义为依据，通过直观感知、逻辑推理、灵活运用所学知识，经过严谨的数学运算、推理逐步解决问题，进而体验数学的严谨性，逻辑美，简洁美，不断提升数学核心素养复习巩固旧知识，为引入双曲线定义作铺垫，让学生带着问题学习。 三、真题再现 1、【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 2、【2022年新高考2卷】已知函数的定义域为R，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 3、关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图像关于y轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 4、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 5、(2022·湖北)若函数 的图象上总存在两点关于直线x=-1对称，则实数a的最小值为 A.14- B.14- C.12- D.12- 6、(2022·江苏)已知f(x)是定义在R上的函数，且函数y=f(x+1)-1是奇函数，当x<时，f(x)=1n(1-2x)，则曲线y=f(x)在x=2处的切线方程是( ) A.y=x-4 B. y=x C.y=-2x+2 D.y=-2x+6 7、(2022·山东)已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R，且f’(x+1)为奇函数，则( ) A. f(1)=0 B.f’(2)=0 C.f(0)=f(2) D.f’(0)=f’(2) 【设计意图】学生对知识理解后才能自主建构为自己的知识。设计的这几个高考真题能帮助学生理解对称性与周期性之间的联系。通过对于条件分析，得出相关结论从而得出结果，培养学生严谨的数学思维能力和逻辑推理能力。 四、课堂小结 1．函数对称性常用结论（自变量x的系数相反） 2．函数周期性常用结论（自变量x的系数相同） 3．导数与导函数的对称性和周期性 五、作业提升 1.（2019.全国卷1）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数；②f(x)在区间[，π] 单调递增； ③f(x)在[-π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 2.（2021.全国卷2）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)： ①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x (0，+∞)时，f’(x)＞0； ③f'(x)是奇函数. 3.（2020.全国卷3）已知函数y=(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为y=f’(x)则下列结论正确的是( ). A.若f’(a)=0，a∈R，则y=f(x)在x=a处取得极值 B.若y=f’(x)是偶函数，则y=f(x)为奇函数 C.若y=f(x)是周期为a(a>0)的周期函数，则y=f’(x)也是周期为a(a>0)的周期函数 D.若y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则y=f’(x)的图象关于点(a.0)中心对称 4.（2019.全国卷3）已知(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ln(-2x)+1，则曲线y=f(x)在x= 处的切线方程是( ) A.y=x-4 B.y=x C.y=-2x D.y=-2x+2 【设计意图】通过作业练习巩固本节所学内容。通过练习能够帮助学生深刻记忆结论。也能够提高学生的运算能力。
教学反思 成功之处： 1.教学方法上：主要采用类比推理的方法，将函数对称性和周期性常见结论运用到高考真题中来如何快速解决相关的问题。 2.学生参与度上：通过问题的设置，循序渐进的引导同学们去发现问题，并解决问题，让学生全程参与，自主学习，交流展示学习成果。 3.目标的实现上：通过学生自己动手做题和结合小组讨论，使学生能牢固掌握函数对称性和周期性常见结论；学生通过做各种题型，找到合适的解决方法。 4.媒体运用上：利用希沃展台让学生自己展示解题过程提高教学的直观性，学生自己思考分析讲解，提高学生的学习兴趣。 不足之处： 1.课堂容量偏大，有些课堂练习设置为课后作业，因此今后应该合理安排课堂容量，给学生更多的思考和讨论时间，提高课堂的效果。由于时间关系探究题讲的不深入，课后在做一些补充。 2.练习时间仓促，自主交流时间不够，以后教学中把课堂还给学生，让学生自主探究，交流讨论达到学习目标，从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。 今后我将改进不足和继续学习信息技术知识，将它和数学教学更好地结合。(共29张PPT)
专题--函数的对称性与周期性
高中数学人教A版必修第一册
考情聚焦：
1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的热点，常与函数的求值、图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题；
2.函数的周期性也经常涉及到三角函数或抽象函数，并且考查力度逐年加大；
3.本讲内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，主要考查考生对函数性质的理解及应用能力。
(1)函数奇偶性和周期性的定义？
自己想一想，还记得多少
思考:
(2)函数的轴对称与中心对称的区别？
(3)函数的对称性与奇偶性的区别？
导
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=f(x)图象关于直线x=2对称
1
-3
-1
-2
6
5
4
3
2
7
0
x
4-x
Y
x
f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x)
f(2+x)=f(2-x)
y=f(x)图象关于直线x=a对称
f(x)=f(2a-x)
f(a+x)=f(a-x)
轴对称性
a
f(a+x)+f(a-x)=2b
f(x)+f(2a-x)=2b
b
中心对称性
y=f(x)图像关于(a,b)中心对称
类比探究
x
y
o
1、函数对称性的常用结论
(1)若函数y=f (x+a)是偶函数，即f (a-x)=f (a+x)，则函数y=f (x)的图象关于直线x=a对称；
(2)若对于R上的任意 x 都有f (2a-x)=f (x)或f (-x)=f (2a+x)，则y=f (x)的图象关于直线x=a对称；
（ⅰ）轴对称（自变量 x 的系数相反，函数值相等）
(3)若对于R上的任意 x 都有f (a+x)=f (b-x)，则y=f (x)的图象关于直线x= 对称；
学
破考点 练考向
1、函数对称性的常用结论
(1)若函数y=f (x+b)是奇函数，即f (x+b)=- f (-x+b)，则函数y=f (x)关于点(b，0)中心对称.
（ⅱ）中心对称（自变量 x 的系数相反，函数值不相等）
(2)若对于R上的任意 x 都有f (2a-x)+ f (x)=2b，则函数y=f (x)关于点
(a，b)中心对称.
学
破考点 练考向
2、函数周期性的常用结论
学
若T是函数的周期，则kT也是函数的周期，即f (x+kT)=f (x)
(1)函数y=f (x)满足f (x+t)=-f (x)，则其周期是T=2|t|；
(2)函数y=f (x)满足f (x+t)=k-f (x)，则其周期是T=2|t|；
(3)函数y=f (x)满足,则其周期是T=2|t|；
（ⅰ）周期性（自变量 x 的系数相同，函数值不确定）
破考点 练考向
破考点 练考向
2、函数周期性的常用结论
(1)若函数满足f (x-1)+f (x+1)=f (x)，则函数的周期是T=6；
（ⅱ）等差型与等比型的周期
(2)若函数满足f (x-1)*f (x+1)=f (x)，则函数的周期是T=6；
学
2、函数周期性的常用结论
（ⅲ）周期与对称的关系
学
(1)若函数y=f (x)定义域为R,满足f (a-x)=f (a+x)
若函数y=f (x)是偶函数，则函数的周期是T=2a；
若函数y=f (x)是奇函数，则函数的周期是T=4a；
(2)函数y=f (x)的图象关于直线x=a和x=b都对称，则函数
y=f (x)的周期T=2|a-b|；
(3)函数y=f (x)的图象关于直线x=a和点(b，0)都对称，则函数y=f (x)的周期T=4|a-b|；
探究(一)
若函数f(x)具有对称性，则导函数f’(x)有什么特点？
展
破考点 练考向
3、导数与导函数的对称性
1.若函数f(x)的图象关于直线x=a对称，
则导函数f’(x)的图象关于点(a,0)对称。
2.若函数f(x)的图象关于点(a，f(a))对称，
则导函数f’(x)的图象关于x=a 对称。
探究(二)
若导函数f’(x)具有对称性，则函数f(x)有什么特点？
展
破考点 练考向
3、导数与导函数的对称性
1.若导函数f’(x)的图象关于直线x=a对称，
则函数f(x)的图象关于点(a，f(a))对称
2.若导函数f’(x)的图象关于点(a，0)对称，
则函数f(x)的图象关于直线 x=a对称
探究(三)
若函数f(x)具有周期性，则导函数f’(x)有什么特点？
展
破考点 练考向
3、导数与导函数的周期性
若函数f(x)的周期是T,则导函数f’(x)的周期也是T
例1、(2021新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x+2)为偶函数，f (2x+1)为奇函数，则（ ）
A． B．f (-1)=0 C．f (2)=0 D．f (4)=0
练
解析、因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，
因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1-2x)=-f(2x+1)，所以，f(1-x)=-f(x+1)，所以，f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0；
故f(-1)=-f(1)=0，其它三个选项未知
故选：B.
例2、(2020新课标Ⅲ卷)已知函数f (x)=|sinx|+cos x，则下列说法正确的是( )
A.2为f (x)的周期
B.对于任意xR，函数f (x)都满足f（+x)=f（-x)
C.函数f (x)在区间[，]上单调递减
D.f (x)的最小值为
解析 对于选项A，f(x+2)=|sin(x+2)|+cos(x+2)=|sin x|+cos x，
即f(x+2)=f(x)，所以2为f(x)的周期，故选项A正确；
对于选项B，因为f(+x)= sin(x+)|+cos(+x)=|sin xl-cos x,
又f(-x)=sin(-x)|+cos(x)=|sin xl-cos x,
所以f(+x)=f(-x)，故选项B正确；
对于选项C，当x[，]时，f(x)=sin x+ cos x=sin(x+ )，
此时x+[，]，所以函数f(x)在区间[]上单调递减，故选项C正确；
对于选项D，由选项A 可知2是函数f(x)的周期，可知f(x)是偶函数，
当x[0，]时，f(x)=sin x+cos x=sin(x+ )[-1，]，所以f(x)的最小值为-1，故选项D不正确
例3、(2022新高考1卷12)已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R记g(x)=f’(x),若f(-2x)，g(2+x)均为偶函数，则( )
A. f(0)=0 B.g( -)=0 C.f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2)
解析.由f(-2x)为偶函数可知：f（x）关于直线x=对称，
由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，
结合g(x)=f’(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，
根据f(x)关于直线x=对称，可知：g(x)关于点(，0)对称
综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；
f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确.
g(-)=g()=0，g(-1)=g(1)，所以B正确；
又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，所以D不正确.故选BC.
破考点 练考向
考点一：函数性质的应用
(1)（2021·全国高考真题（文））设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (x+1)=f (-x). 若 ，则 （ ）
(2)（2021新高考Ⅱ卷）若函数f (x)的定义域为R,且满足f (x+y)+f (x-y)=f (x)f (y)，f (1)=1,则 _________.
用
C
-3
考点一：函数性质的应用
(3)（2021年甲卷）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x=[1，2]时，f(x)=ax2+b，若f(0)+f(3)=6，则f()=（ ）
A. - B. - C. D.
破考点 练考向
B
考点一：函数性质的应用
(4)（2020·全国高考真题（理））关于函数 有如下四个命题：
①f (x)的图象关于y轴对称．
②f (x)的图象关于原点对称．
③f (x)的图象关于直线 对称．
④f (x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
破考点 练考向
②③
破考点 练考向
考点二：导数对称性的应用
评
(2022·湖北)若函数的图象上总存在两点关于直线x=-1对称，则实数a的最小值为
A.14- B.14- C.12- D.12-
B
(2022·江苏)已知f(x)是定义在R上的函数，且函数y=f(x+1)-1是奇函数，当x<时，f(x)=1n(1-2x)，则曲线y=f(x)在x=2处的切线方程是( )
A.y=x-4 B. y=x C.y=-2x+2 D.y=-2x+6
考点二：导数对称性的应用
D
(2022·山东)已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R，且f’(x+1)为奇函数，则( )
A. f(1)=0 B.f’(2)=0 C.f(0)=f(2) D.f’(0)=f’(2)
考点二：导数对称性的应用
C
课堂小结
(1)函数对称性的常用结论
(2)函数周期性的常用结论
(3)导数与导函数的对称性
学习检测
用
1.（2019.全国卷1）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间[，] 单调递增；
③f(x)在[-，]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
2.（2021.全国卷2）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：
①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x(0，+)时，f‘(x)＞0；
③f'(x)是奇函数.
3.已知函数y=(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为y=f’(x)则下列结论正确的是( ).
A.若f’(a)=0，aR，则y=f(x)在x=a处取得极值
B.若y=f’(x)是偶函数，则y=f(x)为奇函数
C.若y=f(x)是周期为a(a>0)的周期函数，则y=f’(x)也是周期为a(a>0)的周期函数
D.若y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则y=f’(x)的图象关于点(a.0)中心对称
4.已知(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ln(-2x)+1，则曲线y=f(x)在x= 处的切线方程是( )
A.y=x-4 B.y=x C.y=-2x D.y=-2x+2

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