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专题20 几何动点问题——选填压轴题
5年真题
考点1 动点轨迹为圆
1．（2021·广东·中考真题）在△ABC中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为
2．（2020·广东·中考真题）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为
考点2 几何动点与函数综合
3．（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
1年模拟
4．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2024·广东汕头·一模）如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（ ）
A．6.4 B． C． D．
6．（2024·广东汕头·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边和上的动点（不与端点重合），，、分别与对角线交于点G和点H，连接．以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4），其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·广东珠海·一模）如图，等边△ABC边长为3，O是中点，点沿的路径运动，连接，H、E分别是、上的点，、在上，若点P运动的某段路程中正方形始终存在，则满足条件的点P运动的路径长度为（ ）
A． B． C．4.5 D．6
8．（2024·广东江门·三模）如图，在正方形中，分别为边上的动点．交于点，且．连接，则当的值最小时，的值为
9．（2024·广东江门·二模）如图，半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，点为上一动点，于点．当点从点出发逆时针运动到点时，点所经过的路径长为
10．（2024·广东湛江·二模）如图，在边长为6的正方形内部存在一动点，且满足，连接，则的最大值是

11．（2024·广东汕头·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，点是的中点，连接，则长的最小值为
12．（2024·广东中山·一模）如图，是的一条弦，点C是上一动点，且．点E，F分别是，的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是r，则的最大值是
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专题20 几何动点问题——选填压轴题
5年真题
考点1 动点轨迹为圆
1．（2021·广东·中考真题）在△ABC中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为
【答案】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，，，
，，，
，线段长度的最小值为: ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
2．（2020·广东·中考真题）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为
【答案】
【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
【详解】如图当、、三点共线，距离最小，
∵，为的中点，∴，，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．
考点2 几何动点与函数综合
3．（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】设A(a，a )，B(b，b )，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解．
【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
设A(a，a )，B(b，b )，其中a≠0，b≠0，∵OA⊥OB，∴，
∴，
即，，
设AB的解析式为：，代入A(a，a )，
解得：，∴，∵，即，
∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，
当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，故CH的最大值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．
1年模拟
4．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质可知，证明四边形为平行四边形，为最小值，再求出菱形的边，即为的最小值．
【详解】解：如图，连接，交于，
∵菱形，∴，，，，
∵∴，∴，∴，∴，，
作点关于直线的对称点，连接，
∴，∵点为边上的中点，则点也为边的中点，
∴当点、、在一条直线上时，有最小值，连接交于，
∴当重合时，为最小值，∵为的中点，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，∴的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键．
5．（2024·广东汕头·一模）如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（ ）
A．6.4 B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析，得证，得出，再结合圆周角定理，得出点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】∵四边形是矩形，∴，∵，
∴，∵，∴，即，∴
即点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内
如图：
当E在线段上时，则此时取最小值
则，∴长度的最小值为
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质、勾股定理，圆周角定理，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
6．（2024·广东汕头·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边和上的动点（不与端点重合），，、分别与对角线交于点G和点H，连接．以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4），其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】将绕点A顺时针旋转得到，此时与重合，先证明，则；由，得A，B，E，G四点共圆，则 ，因此是等腰直角三角形；是等腰直角三角形，由两边对应成比例，且夹角相等证明，可得到；过点作交的延长线于点，是等腰直角三角形，得到，再证明，由此可得到．
【详解】解：如图，连接，将绕点A顺时针旋转得到，此时与重合，

由旋转可得，，，，，
∴，因此，点M，B，E在同一条直线上．∵，
∴，∵，∴，即．
在与中，
∴．∴，故，故结论（1）正确；
∵，∴A，B，E，G四点共圆，∴，
∴ ，∴是等腰直角三角形，故结论（2）正确；
同理是等腰直角三角形，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，故结论（3）正确；
过点作交的延长线于点，连接，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，，，
∵是等腰直角三角形，∴，，∴，
∵，∴，∴，∵，
∴A，N，D，G四点共圆，∴，∴，∵，，
∴，∴，∴，
∴，故结论（4）正确；
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有点难，用到四点共圆．
7．（2024·广东珠海·一模）如图，等边△ABC边长为3，O是中点，点沿的路径运动，连接，H、E分别是、上的点，、在上，若点P运动的某段路程中正方形始终存在，则满足条件的点P运动的路径长度为（ ）
A． B． C．4.5 D．6
【答案】A
【分析】根据点P的运动路径可知，当点P在上时，总能找到点E，H， F， G使之组成正方形，当点P在上时，随着点C向点B运动，当点H与点P重合时是临界点，作出图形，根据题意求解即可．
【详解】解：根据点的运动路径可知，
①当点在上运动时，正方形始终存在，
②当点在上运动时，随着点向运动，当点与点重合时是临界点，
如图所示：
△ABC为等边三角形，，四边形为正方形，
，，，设，
，，，四边形为正方形，
，，为等边三角形，
，等边△ABC边长为3，，
解得，，
满足条件的点P运动的路径长度为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形等相关知识，根据正方形的性质得出点P与点H重合时为临界点是解题关键．
8．（2024·广东江门·三模）如图，在正方形中，分别为边上的动点．交于点，且．连接，则当的值最小时，的值为
【答案】
【分析】先证明，构造辅助圆，计算最小值，利用等腰三角形的判定和正切函数的定义计算即可，本题考查了正方形的性质，勾股定理，辅助圆的构造，正切函数，熟练掌握辅助圆的构造和正切函数是解题的关键．
【详解】∵正方形，∴，∵，∴，
∴，点在以为直径的半圆（在正方形内部）上运动．
如图，连接，交于点，
此时的值最小，最小值为．，
，．，．，
．又，，
．
故答案为：．
9．（2024·广东江门·二模）如图，半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，点为上一动点，于点．当点从点出发逆时针运动到点时，点所经过的路径长为
【答案】/
【分析】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理．连接，，利用垂径定理确定出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出和的长，进而求出的长，得到三角形始终为直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半圆，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的度数，利用弧长公式即可求出点所经过的路径长．
【详解】解：连接，，
，为的中点，即，
的半径为4，弦且过半径的中点，，
在中，根据勾股定理得：，
又，
在中，根据勾股定理得：，
，
始终是直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半圆，
当位于点时，，此时与重合；
当位于时，，此时与重合，
当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长，
在中，，，
所对圆心角的度数为，直径，的长为，
则当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为．
故答案为：．
10．（2024·广东湛江·二模）如图，在边长为6的正方形内部存在一动点，且满足，连接，则的最大值是

【答案】2
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质和判定等知识，判断出点P的运动轨迹是以点D为圆心，的长为半径的圆（在正方形内部部分），延长交于点E，连接，证明与相切，得到，延长交于点F，则，，证明，则，由的长为定值6，则若要取最大值，则取最大值即可，求出的最大值为，即可得到答案．
【详解】解：∵点P在运动过程中始终满足，故点P的运动轨迹是以点D为圆心，的长为半径的圆（在正方形内部部分），延长交于点E，连接，

∵四边形为正方形，∴，且，∴与相切，
∴，∴，延长交于点F，则，
，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵的长为定值6，
故若要取最大值，则取最大值即可，
∴要取得最大值，则为直径时，可取得最大值为12，∴的最大值为，
即的最大值为2，
故答案为：2
11．（2024·广东汕头·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，点是的中点，连接，则长的最小值为
【答案】
【分析】取的中点F，连接，则，当时，最短，根据勾股定理，进而可以解决问题．
【详解】解：取的中点F，连接，则
∵矩形中，，，点是的中点，
∴，，，，∴，∵，
∴四边形是平行四边形，∴，∵Q是中点，F是中点，∴，
∴点Q在上，当时，最短，如图所示，∵，∴，
在中，，，根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，即长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，最短路线问题，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是找到运动到哪个位置AQ最短．
12．（2024·广东中山·一模）如图，是的一条弦，点C是上一动点，且．点E，F分别是，的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是r，则的最大值是
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，解直角三角形，作直径，连接，由锐角的正弦得到，由三角形中位线定理得到，因此当是圆直径时，有最大值，即可得到答案．
【详解】解：作直径，连接，
，，，，，
点E，F分别是，的中点，是△ABC的中位线，，
，当长最大时，有最大值，
当是圆直径时，最大，的最大值是，
故答案为：．
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