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空间向量的应用 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．已知平面过点，其法向量，则下列点不在平面内的是( )
A. B. C. D.
2．如图，在直三棱柱中，，，P，Q分别为棱，上的动点，且，，，则( )
A.存在使得
B.存在使得平面
C.若，长度为定值，则时三棱锥体积最大
D.当时，直线与所成角的余弦值的最小值为
3．如图,已知ABC是边长为4的等边三角形,DE,分别是ABAC,的中点,将ADE沿着DE翻折,使点A到点P处,得到四棱锥,则( )
A.翻折过程中,直线BC始终与平面PDE平行
B.存某个点P位置,满足平面平面PBC
C.翻折过程中,该四棱锥的体积有最大值为3
D.当时,该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为
4．已知空间直角坐标系中的四个点,,,,E,F分别为线段上的动点,则下列结论正确的是( )
A.三棱锥的体积为 B.三棱锥的外接球表面积为
C.的最小值为 D.的最小值为
5．如图，在空间直角坐标系中，为单位正方体，下列结论中正确的有( )
A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
6．如图,正方体的棱长为3,E,F分别为棱,上的点,且,平面AEF与棱交于点G,若点P为正方体内部（含边界）的点,满足,,则( )
A.点P的轨迹为四边形AEGF及其内部
B.当时,点P的轨迹长度为
C.当,时,
D.当时,直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为
7．如图,在正方体中,E,F分别为的中点,则( )
A.
B.平面
C.平面
D.直线DF与直线CE所成角的余弦值为
8．已知直线,则下列选项中不正确的有( )
A.直线l的倾斜角为 B.直线l的斜率为
C.直线l不经过第三象限 D.直线l的一个方向向量为
9．下列利用方向向量 法向量判断线 面位置关系的结论中,正确的是( )
A.两条不重合直线,的方向向量分别是,,则
B.直线l的方向向量,平面的法向量是,则
C.两个不同的平面,的法向量分别是,,则
D.直线的方向向量,平面的法向量是,则
10．在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则( )
A. B.A，，M，N四点共面
C.平面 D.平面
11．如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,,点O是AC中点,点M是棱SD上的动点(M与端点不重合).下列说法正确的是( )
A.从A,O,C,S,M,D六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B.从A,O,C,S,M,D六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C.存在点M,使直线OM与AB所成的角为
D.不存在点M,使平面SBC
12．如图,在棱长为2的正方体中,点M,N分别是,的中点,则( )
A.四点,M,N,C共面
B.直线与平面平行
C.异面直线CN与所成角的余弦值为
D.过M,B,C三点的平面截正方体所得图形面积为
13．已知正方体的棱长为2，O是空间中的一动点，下列结论正确的是( )
A.若点O在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为
B.平面平面
C.若，则的最小值为
D.若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为
14．如图1,《卢卡 帕乔利肖像》是意大利画师的作品.图1中左上方悬着的是一个水晶多面体,其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成,该水晶多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上,如图2.若,则( )
A.
B.该水晶多面体外接球的表面积为
C.直线HG与平面HPQ所成角的正弦值为
D.点G到平面HPQ的距离为
15．如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论正确的是( )
A.
B.异面直线、所成的角为
C.几何体的体积为
D.平面与平面间的距离为
16．如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是( )
A. B.
C. D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
17．在正方体中，，E，F分别为，CD的中点，点P满足，，则( )
A.平面
B.三棱锥的体积与P点的位置有关
C.的最小值为
D.当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形
18．图，在边长为4的正方形中，B为的中点，H为的中点.若分别沿，把这个正方形折成一个四面体，使E、F两点重合，重合后的点记为P，则在四面体中，下列结论正确的是( )
A.
B.H到直线的距离为
C.三棱锥外接球的半径为
D.直线与所成角的余弦值为
19．如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点A恰在平面内，点B到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为d，则( )
A.平面平面
B.点到平面的距离为8
C.当时，水面的形状是四边形
D.当时，所装的水的体积为
20．如图，在棱长为1的正方体中( )
A.与的夹角为
B.二面角的平面角的正切值为
C.与平面所成角的正切值
D.点D到平面的距离为
参考答案
1．答案：BD
解析：A.，，，S在平面内；
B.，，，R不在平面内；
C.，，，Q在平面内；
D.，，，T不在平面内；故选BD.
2．答案：BCD
解析：如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，则由题：，，，，，
所以，，，，
又，，，所以，
即，，
即，所以，对A，
由上，故A错误；
对B，由题意是平面的一个法向量，，
故当时，此时平面，故B正确；对C，由上，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，
设点Q到平面的距离为d，则由得，
又由题意可知，故，
因为，长度为定值，所以为定值，故当时，三棱锥体积最大，故C正确；
对D，设直线与所成角为，由上当时
，
当且仅当即时等号成立，故D对.故选：BCD.
3．答案：ACD
解析：A选项,注意到在翻折过程中,始终有又平面PDE,平面PDE,则BC始终与平面PDE平行,故A正确;
B选项,取DE中点为F,BC中点为G,连接AF,PF,FG.
如图建立以F为原点,AF所在直线为y轴,FD所在直线为x轴,过P点且与平面DBCE垂直直线为z轴建立空间直角坐标系.
由题可得,且翻折过程中,P点在yOz平面上,设,
则,由题.
则.
,
.
设平面PDE法向量为,
则,取.
设平面PBC法向量为,
则,
取.因平面PDE⊥平面PBC,
则不存在,则不存在相应的P点,使平面PBC,故B错误;
C选项,易知当平面平面DBCE时,四棱锥体积最大,此时为底面对应高,
则,其中,.
则,故C正确.
D选项,因,,则可得,.
设四边形DBCE外接圆圆心坐标为,由题知其在y轴上,
则.因,则,
.则外接球球心O在过且与平面DBCE垂直的直线上,设为.
又,则,.
则外接球半径为：.故外接球表面积为.
故D正确.
故选：ACD.
4．答案：ABC
解析:空间中四个点,,,,
所以,,,,,
对于,因为,所以,所以,设平面法向量为,则,取,则,所以,
则点到平面的距离为:,所以,故A正确;
对于,因为,所以,又,所以,所以外接球球心为CD中点,设CD中点球心,则,所以外接球表面积为,故B正确;
对于C,E,F分别为线段AB,CD上的动点,所以EF的最小值为异面直线AB,CD之间的距离,设为垂直于AB,CD的向量,,取,则,,所以,则在上投影长为,故C正确;
对于D,的最小值即为直线AB与平面BCD所成角的最小值,设平面BCD法向量为,取,则,,所以,则,所以的最小值为,故D错误.
5．答案：ABC
解析：，.连接（图略），，.直线平面，且，平面的一个法向量为.连接（图略），则，显然与平面不垂直.ABC正确，D错误.
6．答案：ABD
解析：对于A,取上一点H,使得,连接EH,FH,HB,
易证四边形AFHB和四边形BHGE是平行四边形,所以,,
所以四边形AEGF为平行四边形,因为,
由空间向量基本定理可知,所以P在四边形AEGF内（或边界上）,故A正确;
对于B,当时,,所以,即,P在线段EG
上,点P的轨迹长度为线段EG的长,所以,故B正确;
对于C,当,时,易得点P为线段AF的中点,以D为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系.则,,,,得.
则,.则,所以不成立,故C错误;
对于D,当时,.分别取AF,EG的中点M,N.连接MN,P在线段MN上,
,.所以由,可得,平面ABCD的一个
法向量为,.设AP与平面ABCD所成的角为,
所以,
设,因为,则,
则代入上式并化简可得,
当时,直线AP与平面ABCD所成角的
正弦值的最大值为,D正确.
故选：ABD.
7．答案：AD
解析：以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,
则,,,,,.
,,,.
A选项,因为,所以,A正确.
B选项,设平面的法向量为,
则,
令得,,,故,
因为,
所以与不垂直,则直线DF与平面不平行,B错误.
C选项,若平面,则.
因为,所以直线BF与直线不垂直,矛盾,C错误.
D选项,,D正确.
故选:AD
8．答案：AB
解析：由题设,即斜率为,与y轴交点的纵坐标为2,故倾斜角为,不经过第三象限,A,B错,C对;
显然是直线的一个方向向量,故也是直线一个方向向量,D对.
故选:AB
9．答案：AC
解析：对于A,两条不重合直线,的方向向量分别是,,
则,所以,即,故A正确;
对于B,直线的方向向量,平面的法向量是,
则,所以,即或,故B错误;
对于C,两个不同的平面,的法向量分别是,
则,所以,故C正确;
对于D,直线l的方向向量,平面a的法向量是,
则,所以,即,故D错误.
故选:AC.
10．答案：AC
解析：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，
对于A，，，
即有，所以，即A正确;
对于B，，，向量，不共线，
即直线，不平行，而直线平面，平面，
又平面平面，因此直线，是异面直线，所以B错误;
对于C，，，
设平面的法向量，则，即，
取，得，显然
而平面，因此平面，所以C正确;对于D，，显然向量与不共线，直线不垂直于平面，所以D错误.
故选：AC.
11．答案：ABC
解析：任取3点,有20个样本点,除开A,O,C和S,M,D分别共线,其余18种均不共线,故概率为;任取4点,共有15个样本点;每条直线上任取2个点,则共有9个样本点,故概率为.故A,B正确.
以A为空间原点建立空间直角坐标系,设,,则,
,,解得,,方程有解,故C正确.
设平面SBC的法向量,由,可得,故D错误.
12．答案：AC
解析：对A,连接,如图,
因为侧面是正方形,M分别是的中点,所以M是的中点,
又点N分别是的中点,所以,
又,所以,所以M,N,C,D四点共面,
又面MNCD,所以,M,N,C四点共面,故A正确;
对B,连接NC,,如图,
易得,,所以四边形是平行四边形,则,
假设直线与平面平行,又平面平面,平面MNCD,
所以,则,显然矛盾,假设不成立,故B错误;
对C,分别以DA,DC,所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
则,,
设异面直线CN与面所成角为,则,
所以异面直线CN与面所成角的余弦值为,C正确;
对D,过点M作,因为,所以且,
所以四边形PBCQ为平行四边形,则P,M,Q,B,C五点共面,即过M,B,C三点的平面截正方体所得图形为平行四边形PBCQ,
由题意可知,
因为为正方体,所以平面,
又平面,所以,
所以平行四边形PBCQ为矩形,则,故D错误.
故选:AC.
13．答案：BCD
解析：对于A，选项A，以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，
则
因为，
所以，，
故，则的取值范围为，故A不正确；对于B，在正方体中，平面平面显然成立.故B正确；对于C，如图所示，在上取点，使得，
在上取点K，使得，则由，即，故点O是线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，此时，当，O，D三点共线时（如图），
取得最小值，故C正确；对于D，因为，所以，又，可知O是线段上一点，如图所示，
连接并与交于点Z.当O与D重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4.当O在线段（不含点D）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当O与Z重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为.当O在线段（不含点B，Z）上时，如图所示，
延长异与交于点W，作平行于并与交于点R，则截面为等腰梯形，设，则，，梯形的高，面积为.当O与B重合时，截面为矩形，面积为.故平面截正方体所得截面面积的最大值为，故D正确，故选BCD.
14．答案：BCD
解析：该水晶多面体的俯视图如图1所示,
,,A错误.建立如图2所示的空间直角坐标系,则,.记该水晶多面体外接球的半径为r,球心,则,故该水晶多面体外接球的表面积为,B正确.因为,,所以平面平面.易得平面的一个法向量为,即为平面HPQ的一个法向量.,,故直线HG与平面HPQ所成角的正弦值为,C正确.点G到平面HPQ的距离为,D正确.
15．答案：ABD
解析：过点B作BE，使得，过点作，如图所示：
因为四边形为矩形，则，
又因为，则，
所以，四边形为平行四边形，则，，
因为平面平面ABC，则与、共面，
即与、共面，所以，A、B、C、F四点共面，
同理可知，、E、、四点共面，
故几何体为四棱柱，
因为四边形为矩形，则，
又因为，，AB、平面ABCF，
所以，平面ABCF，
因为，则，，
所以，在底面ABCF中，，，故四边形ABCF为平行四边形，
因为，则，所以，，即，
所以，平行四边形ABCF为正方形，
又因为，故几何体为正方体，
对于A选项，在正方体中，，且，
故四边形为平行四边形，所以，，A对；
对于B选项，以点F为坐标原点，FA、FC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
，，
，
所以，异面直线、所成的角为，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，因为，平面，平面，所以，平面，
因为，平面，平面，所以，平面，
又因为，、平面，所以，平面平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
又因为，所以，平面与平面间的距离为，D对.
故选：ABD.
16．答案：BC
解析：对于A，设，平面平面ADC，而，，则有为二面角的平面角，即，则，故，，故A错误；
对于B，平面平面ADC，其交线为AD，又由，且CD含于面ADD，则面ABD，则有，故B正确；
对于C，同理可证，故C正确；
对于D，平面ADC与平面ABC不垂直，则平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不能互相垂直，故D错误；故选：BC.
17．答案：AD
解析：
A选项，以D为坐标原点，以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
，
，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面，故A正确；
B选项，因为在正方体中，，且，
所以四边形平行四边形，因此，
又平面，平面，所以平面，
因此棱上的所有点到平面的距离都相等，又P是棱上的动点，
所以三棱锥的体积始终为定值，故B错；
C选项，，，，因为，，所以，
所以，
，
又，
当时，有最小值，最小值，故C错误；
D选项，连接EC，取中点为G，当EC与交点为点P时，平面PEF截正方体截面图形ECDG为四边形，如图1，
此时，，，，此时，
当时，如图2，截面为五边形EBFKL，故D正确；
故选：AD.
18．答案：AC
解析：对于A：翻折前，，
翻折后则有，，
因为，、平面，
所以平面，平面，所以，故A正确；
对于B：又，即为等边三角形，所以，
在平面中过点P作，则，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，
令，，所以H到直线的距离为，故B错误；
对于C：所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为R，
因为平面，所以，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故C正确；
对于D：由，设直线与直线所成角为，
则
所以直线与直线所成角的余弦值为，故D错误.
故选：AC.
19．答案：ABD
解析：
20．答案：BCD
解析：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，即，与的夹角为，故A错误；
设平面的法向量为，，，
所以，令，则，
平面的法向量可取，二面角的平面角为，
则，所以，，故B正确；
因为，设与平面所成角为，
则，，，故C正确；
因为，设点D到平面的距离为d，则
，故D正确.
故选：BCD.
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