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平面向量及其应用 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．已知点P为三棱锥的底面ABC所在平面内的一点,且（）,则m,n的值可能为( )
A., B., C., D.,
2．中,角A,B,C所对的边为a,b,c下列叙述正确的是( )
A.若,则一定是锐角三角形
B.若,则一定是等边三角形
C.若,则
D.若,则
3．已知向量，，则下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.设，则当取得最大值时，
D.的最大值为
4．关于非零向量,,下列命题中正确的是( )
A.若,则. B.若,则.
C.若,则. D.若,,则.
5．在钝角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，那么c的值可能为( )
A.1 B. C.2 D.4
6．所在平面内一点O满足，则下列选项正确的是( )
A.
B.延长交于点M，则
C.若，且，则
D.若，则
7．在中,已知,,,则角A的值可能为( )
A. B. C. D.
8．设向量,,若,则x的取值可能是( )
A. B.0 C.3 D.5
9．下列说法中错误的是( )
A.向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
B.零向量与零向量共线
C.若，，则
D.温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则( )
A. B.
C.周长的最大值为3 D.的最大值为
11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B.的周长为
C. D.外接圆的面积为
12．设向量,,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.与夹角的余弦值为
D.在方向上的投影向量的坐标为
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，，则a的可能取值为( )
A.1 B. C. D.
14．下列说法正确的有( )
A.在中,
B.在中,若,则为等腰三角形
C.中,是的充要条件
D.在中,若,则
15．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的有( )
A.若，则一定是等边三角形
B.若，则一定是等腰三角形
C.若，则一定是等腰三角形
D.若，则一定是钝角三角形
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，O为的外心，则( )
A.若有两个解，则
B.的取值范围为
C.的最大值为9
D.若B，C为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
17．以，，三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标可以是( )
A. B. C. D.
18．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列说法错误的是( )
A.若，则
B.若，，，则有一解
C.若为钝角三角形，则
D.若，，则面积的最大值为
19．已知向量,的夹角为 ,且,,则( )
A. B.
C. D.在的方向上的投影向量为
20．已知，，则( )
A.
B.
C.与的夹角为
D.向量在向量方向上的投影向量为
参考答案
1．答案：CD
解析：因为点P为三棱锥的底面ABC所在平面内的一点,
所以由平面向量基本定理可知：
,
化简得：,显然有,
而,所以有,
当,时,,所以选项A不可能;
当,时,,所以选项B不可能;
当,时,,所以选项C可能;
当,时,,所以选项D可能,
故选：CD
2．答案：BC
解析：对于A选项,在中,因为,又,
所以,即C为锐角,但题中没有告诉C最大,
所以不一定是锐角三角形,故A错误;
对于B选项,,由正弦定理得,
整理得,即,一定是等边三角形,故B正确;
对于C选项,因为,在单调递减,
所以,故C正确;
对于D选项,由,得,所以,
由余弦定理可得,
,当且仅当时,等号成立,
则当,时,,即角可以大于,故D错误;
故选:BC.
3．答案：ACD
解析：A项，若，则，即，故A项正确；
B项，若，则，所以，故B项错误；
C项，，其中，，故当时，取得最大值，此时，故C项正确；
D项，，所以
，
即的最大值为，故D项正确.
4．答案：BD
解析：对于A,不能得到,的方向,故A错误,
对于B,若,则,B正确,
对于C,向量不能比较大小,故C错误,
对于D,若,,则,D正确,
故选:BD
5．答案：BCD
解析：若B为钝角，则，且，
即，BC满足；
若C为钝角，则，且，
即，D满足；
故选：BCD
6．答案：BCD
解析：选项A：，，故A错；
选项B：延长交于点M，设，，
所以，
由，得，
所以，
即，解得：，则，故B正确；
选项C：，，延长交于点M，
，，由B选项知，，
故C正确；
选项D：由，，
两边平方得，，
，故D正确.
故选：BCD
7．答案：AC
解析：由正弦定理得,得,
因为,且,所以或.
故选：AC.
8．答案：AC
解析：,,
由,可得,解之得
故选：AC.
9．答案：AD
解析：向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；
零向量与任一向量共线，故B正确；
若，，则，故C正确；
温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误.
故选：AD.
10．答案：BCD
解析：对于A，因为，所以由正弦定理得，所以，所以A错误.
对于B，因为，所以由正弦定理得，所以，所以B正确.
对于C，根据余弦定理得，所以，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以C正确.
对于D，由选项C可知，所以，则，当且仅当时，等号成立.，所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：由，得，解得或（舍去），所以的周长为，A正确，B正确.
因为，所以，解得，C错误.
设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确.
12．答案：BCD
解析：因为,所以A错误;
因为,所以B正确;
因为,所以C正确;
在方向上的投影向量的坐标为,则D正确.
13．答案：AD
解析：因为，所以，即.
当，即时，因为，，所以；
当时，，由正弦定理可得，由余弦定理可得，解得（负值舍去）.
综上，或.故选AD.
14．答案：AC
解析：由正弦定理
可得:
即成立,
故选项A正确;
由可得或,
即或,
则是等腰三角形或直角三角形,
故选项B错误;
在中,由正弦定理可得
,
则是的充要条件,
故选项C正确;
在中,若,则或,
故选项D错误.
故选:AC.
15．答案：ACD
解析：对于A，若，则，即，即，即ABC是等边三角形，故正确；
对于B，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于C，若，所以，所以，即，则ABC是等腰三角形，故正确；
对于D，ABC中，，又，所以，角C为钝角，但ABC一定是钝角三角形，故正确；故选：ACD.
16．答案：ABD
解析：对于A，由正弦定理，得，
有两解的情形为，且，则，故A正确；
对于B，由正弦定理，得外接圆半径，
由正弦定理知A点在以O为圆心半径为的优弧上运动，，
于是，故B正确；
对于C，法一：用投影向量求解：当在上的投影向量的模最大，且与同向时，取得的最大值，此时，
设H为的中点，则，
在上的投影向量的模为，最大值为，故C错误；
法二：转化到圆心：，故C错误；
对于D，如下图，由正弦定理知A点在以O为圆心半径为的优弧上运动，由两段优弧拼接成，每段优弧所对圆心角为，
所以A点的轨迹长度为，故D正确.
故选：ABD.
17．答案：ACD
解析：设.若，则，即，解得，即；若，则，即，解得，即；若，则，即，解得，即.故选ACD.
18．答案：ABC
解析：对于A中，由且，
根据函数在上单调递减，可得，所以A错误；
对于B中，若,,，可得，
因为，所以，所以A为锐角，可得B有两解，所以B错误；
对于C中，若为钝角三角形，可能C为钝角，此时，所以C错误；
对于D，若,，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，所以的面积有最大值，所以D正确.
故选：ABC.
19．答案：AB
解析：,,故A正确;
,所以,故B正确;
,所以,
又因为,所以,故C错误;
在上的投影向量为,故D错误;
故选：AB.
20．答案：BCD
解析：对A：，则，，则，故A错误；对B：，故B正确；
对C：，故与的夹角为，故C正确；
对D：，故D正确.故选：BCD.
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