资源简介

福州三中 2024-2025学年第一学期高三第三次质量检测
数 学 试 卷
命题人：高三数学集备组
审卷人：高三数学集备组
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无
效．
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
1．已知集合M = x x 3x 4 0 ，N = x Z 2 x 0 ，则M N = ( )
A．{3,4} B．{0,1} C．{ 1,0,1} D．{2,3,4}
2．已知向量 a = (0,1),b = (x, 2)，若b / /(b + 4a)，则 x = ( )
A． 1 B．0 C．1 D．2
3．已知a = 30.1，b = 0.13 ，c = log3 0.1，则( )
A． a b c B．a c b C．b a c D．c b a
4．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包
古代称作穹庐 毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥
的高为 2 米，圆柱的高为 3 米，底面圆的面积为 64π平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为
( )
A． (80+16 17 )π平方米 B． (80+18 17 )π平方米
C． (112+16 17 )π平方米 D． (112+18 17 )π平方米
5．已知抛物线C：x2 4y的焦点为 F ，准线为 l，点 P在C上，过点 P作准线 l的垂线，垂足为 A，

若 FPA ，则 PF ＝( )
3
A． 2 B． 2 2 C．2 3 D． 4
π 1 π
6．已知 sin + sin = ，则 sin 2 + = ( )
3 3 6
7 7 8 8
A． B． C． D．
9 9 9 9
试卷第 1 页 ，共 4 页
{#{QQABTYwQogCIAAAAAQgCQQ0gCEIQkhEAAYgOwFAEoAABSRFABAA=}#}
7．若函数 f (x) = 2sin xcos x+ 2 3 cos2 x 3 ( 0)在 0, 上恰有两个零点，则实数 的取值范
围为( )
5 4 5 4 3 11 4 11
A． , B． , C． , D． ,
6 3 6 3 4 6 3 6
8．已知不等式 xa+1 ex +a ln x 0 (a 0 )对任意的实数 x 1都成立，则实数a的最小值为( )
e 1
A． e2 B． e C． D．
2 e
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全
部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0 分．
9．已知等差数列 an 的前n项和为 Sn，且公差d 0，2a15 +a18 = 24 . 则以下结论正确的是
( )
4
A．a16 =8 B．若 S8 = S9 ，则 d =
3
C．若 d = 2 ，则 Sn的最大值为 S21 D．若a15,a16 ,a18 成等比数列，则 d = 4
10．设 z1 ， z2 ， z3为复数， z1 0．下列命题中正确的是( )
A．若 z1z2 = z1z3 ，则 z2 = z3 B．若 | z2 |=| z3 |，则 z2 = z3
C．若 z = z ，则 | z z |=| z 22 3 1 2 1z3 | D．若 z z =| z z = z1 2 1 | ，则 1 2
11．已知函数 f ( x)及其导函数 f (x)的定义域均为R ，记 g (x) = f (x)，且 f (x) f ( x) = 2x，
g ( x)+ g (2 x) = 0，则( )
f x
A． g (0)
( )
=1 B． y = 的图象关于点 (0,1)对称
x
n n n2
C． f (x)+ f (2 x) = 0 D． g (k ) = （n N*）
k=1 2
第Ⅱ卷
三、 填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分，把答案填在答题卡相应横线上．
5
2
12． 2 x + 的展开式中 x
7 的系数为_________________．（用数字作答）
x
13．已知两定点 A( 1,0)和B (1,0)，动点 P ( x, y )在直线 l : y = x+3上移动，椭圆C以 A,B为焦点且
经过点 P，则椭圆C的离心率的最大值为_________________．
14．在三棱锥中P ABC，AB = BC = 2 2 ，且 AB ⊥ BC．记直线 PA，PC与平面 ABC所成角分
别为 ， ，已知 = 2 = 60 ，当三棱锥P ABC的体积最小时，则三棱锥P ABC外接球的
表面积为_________________．
试卷第 2 页 ，共 4 页
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
已知 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c， 3sin 2A+cos2A= 2，b = 2a．
（1）求 B；
（2）若 B为锐角， AC边上的高为 2 + 6 ，求 ABC的周长．
16．（本小题满分 15 分）
*
已知数列 an 满足a1 = 2，且 a1a2a3 an = n+1(n N )．
（1）求数列 an 的通项公式；
na
（2）设b = n ，且数列{bn}n 的前 n项和为 Sn，若 Sn + 3恒成立，求实数 的取值范围．
2n n +1
17．（本小题满分 15 分）
已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 如图所示，底面 ABCD为平行四边形，其中点 A1在平面 ABCD内
的投影为点D，且 AB = AA1 = 2AD， ABC =120
．
（1）求证：平面 A1BD⊥平面 ADD1A1；
5
（2）已知点 E在线段C ABE BCC B1D上（不含端点位置），且平面 1 与平面 1 1夹角的余弦值为 ，
5
DE
求 的值．
EC1
试卷第 3 页 ，共 4 页
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18．（本小题满分 17 分）
平面内有一点 F2 (1,0)和直线 l : x = 2，动点 P ( x, y )满足： P到点F2的距离与 P到直线 l的距离的
2
比值是 ．点 P的运动轨迹是曲线 E，曲线 E上有 A， B，C，D四个动点．
2
（1）求曲线 E的方程；
（2）若 A在 x轴上方， 2F2A+ F2B = 0，求直线 AB的斜率；
（3）若C，D都在 x轴上方， F1 ( 1,0)，直线CF2 //DF1，求四边形CF2F1D的面积的最大值．
19．（本小题满分 17 分）
已知函数 f (x) = sinx + ln (1+ x) ax， a R．
（1）讨论函数 g (x) = f (x) sin x的单调性；
（2）若 f ( x) 0 恒成立，求a的值；
2n
1 2n 1
（3）求证： sin 2ln ln2，n 2，n N ．
i=n+1 i 1 n 1
试卷第 4 页 ，共 4 页
{#{QQABTYwQogCIAAAAAQgCQQ0gCEIQkhEAAYgOwFAEoAABSRFABAA=}#}福州三中 2024-2025学年第一学期高三第三次质量检测
数 学 答 案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C D A A B
题号 9 10 11 12 13 14
5
答案 AD AC ABD 10 16
5
1．【详解】由题意可得M = x 1 x 4 ，N = x Z | x 2 ，则M N ={ 1,0,1}．故选 C．
2．【详解】因为b / /(b + 4a)，所以6x 2x = 0，解得 x = 0．故选 B．
3．【详解】易知30.1 30 =1，0 0.13 1， log3 0.1 log31= 0，所以 a b c．故选 A．
4．【详解】由题意知圆锥的高为 2 米，圆柱的高为 3 米，底面圆的面积为 64π平方米，
设底面圆的半径为 r，则 64π = πr2 , r =8，则圆锥的母线长为 22 +82 = 2 17 （米），
故该蒙古包(含底面)的表面积为 π 8 2 17 +2π 8 3+ π 82 =112π+16 17π（平方米），故选 C．

5．【详解】因为 PF PA ，所以 PAF PFA ，设准线 l与 x轴交于点Q，因为PA / /QF ，
3

所以 AFQ PAF ．因为 QF p 2 ，所以 AF 4，所以在正 PAF 中，PF 4 ，故选 D．
3
π 1
3 1 16．【详解】由 sin + sin = ，可得 cos sin + sin = ，
3 3 2 2 3
1 3 1 π 1
即 sin + cos = ，可得 sin + = ，
2 2 3 3 3
π π π π π 7
所以 sin 2 + = sin 2 + = cos2 + = 2sin
2
+ 1= ．故选 A．
6 3 2 3 3 9
2
7．【详解】 f (x) = 2sin xcos x+ 2 3 cos x 3 ( 0)，

f (x) = sin 2 x + 3 cos 2 x + 3 3 = 2sin 2 x + ，
3

x 0, ， 2 x + , 2 + ，
3 3 3


5 4
f (x)在 0, 上恰有两个零点，故 2 2 + 3 ， ．故选 A．
3 6 3
8．【详解】由题意，不等式变形为 xex x a x
a
( a ln x) ，即 xe ln x a eln x ，
设 f ( x) = xex (x 1) ，则不等式 xa+1 ex +a ln x 0对任意的实数 x 1恒成立，
等价于 f ( x) f (ln x a ) 对任意 x 1恒成立，
又由 f (x) = (x +1)ex 0 ，则 f (x)在 (1,+ )上单调递增，所以 x ln x a，
x x
即 x a ln x对任意 x 1恒成立，所以 a ( )恒成立，即 a ( )min ，
ln x ln x
x ln x 1
令 g ( x) = ，则 g (x) = , (x 1)，
ln x (ln x)
2
答案第 1 页，共 7 页
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当1 x e 时，g (x) 0, g (x)在 (1,e)上单调递减；当 x e时，g (x) 0, g (x)在 (1,e)上单调递增，
所以当 x = e时，g ( x )取得最小值 g (e) = e，所以 a e，即 a e，所以a的最小值是 e．故选 B．
9．【详解】由2a +a = 24得 2(a1 +14d )+ a1 +17d = 2415 18 ，故a1 +15d =8，所以a16 =8，故 A 正确，
8
由 S8 = S9 可得a9 = 0 = a16 7d ，故 d = ，故 B 错误，
7
若 d = 2 ，则 a20 = a16 +4d = 0，且{ }单调递减，故 Sn的最大值为 S20或 S19 ，故 C 错误，
若a a a = a a 64 = 8 d 8+ 2d15,a16 ,a18 成等比数列，则 16 16 15 18 ，即 ( )( )，解得d = 4或d = 0 (舍去)，
故 D 正确．故选：AD．
10．【详解】当 z1z2 = z1z3 时，有 z1z2 z1z3 = z1(z2 z3) = 0，又 z1 0 ，所以 z2 = z3 ，故 A 正确；
由复数的形式可知，故 B 错误；
当 z2 = z 时，则 z = z ，所以3 2 3 | z1z2 |
2 | z 21z3 | = (z1z2)(z1z2) (z1z3)(z1z3) = z1z2 z1z2 z1z3 z1z = 0，故 C 正确； 3
当 z1z
2
2 =| z1 | 时，则 z z =| z |
2= z z ，可得 z z z z = z ，所以 ，故 D 错误． 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1(z2 z1) = 0 z1 = z2
故选 AC．
11．【详解】因为 f (x) f ( x) = 2x，所以 f (x)+ f ( x) = 2，即 g(x)+ g( x) = 2，
令 x = 0，得 g(0) =1，故 A 正确；
f (x) f ( x)
因为 f (x) f ( x) = 2x，当 x 0时， + = 2，
x x
f (x)
所以 y = 的图象关于点(0,1)对称，故 B 正确；
x
对于 C，假设 f (x)+ f (2 x) = 0成立，求导得 f (x) f (2 x) = 0，即 g(x) g(2 x) = 0，
又 g(x)+ g(2 x) = 0，所以 g(x) = 0 ，所以 g(0) = 0与 g(0) =1矛盾，故 C 错误；
对于 D，因为 g(x)+ g( x) = 2， g(x)+ g(2 x) = 0，
所以 g(2 x) g( x) = 2， g(0) =1， g (1) = 0， g (2) = 1，所以有 g(n + 2) g(n) = 2 ，
所以数列 g(n) 的奇数项是以0 为首项， 2为公差的等差数列，
数列 g(n) 的偶数项是以 1为首项， 2为公差的等差数列，
又 g (2) g (1) = 1，n N*，所以数列 g(n) 是以0 为首项， 1为公差的等差数列，
n n n2
所以 g(n) =1 n，所以 g(k) = ，故 D 正确．故选：ABD．
k=1 2
r
5 r
r 2 212．【详解】由题意可得Tr+1 =C5 (

x ) =Cr5 2r x10 3r，
x
r r 1 1
令10 3r = 7 ,则 r =1，所以C5 2 =C5 2 =10 .
13．【详解】 A( 1,0)关于直线 l : y = x+3的对称点为 A ( 3,2)，连接 A B交直线 l于点 P，则椭圆
c 1 5
C的长轴长的最小值为 A B = 2 5 ，所以椭圆C的离心率的最大值为 = = .
a 5 5
答案第 2 页，共 7 页
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14．【详解】设点 P在平面 ABC内的投影为 P ，因为直线 PA,PC与平面
ABC所成角分别为 , ，且 = 2 = 60 ，则 = 30 ，根据线面夹角关
3
系可知 P P = 3 P C ， P P = P A ，所以3 P C = P A ，由阿波罗尼
3
斯圆可知，投影 P 在圆上运动，以 AC为 x轴，过 AC的中点O作垂线，建
立如图所示直角坐标系．令 P ( x, y )，由题可知 A( 2,0)，B (0,2)，C (2,0)．
2
2 2 2 2 5 9则3 (x 2) + y = (x+ 2) + y ，化简得 x + y
2 = ，
2 4
5 3
可知 P 在以 , 0 为圆心，半径为 的圆上，
2 2
当 P C 最小时， P P 最小，即三棱锥 P ABC的体积最小，
3 5
此时 P (1,0)， P C = 2 =1， min 2 2
∴ P点在底面 ABC上的射影 P 在 AC上，且 APC = 90 ，又 ABC = 90 ，
1
∴三棱锥 P ABC的外接球的球心为 AC的中点，外接球的半径 R = AC = 2，
2
S 2∴ 球表面积 = 4πR = 4π 2
2 =16π．

15．解：（1）由 3 sin 2A+ cos 2A = 2sin 2A+ = 2，得 sin 2A+ =1， ·············· 1 分
6 6

因为 A (0, )，所以 A = ， ·············································································· 3 分
6
2
因为b = 2a，所以 sin B = 2 sin A = ， ···························································· 4 分
2
3
因为B (0, )，所以 B = 或B = ； ································································· 7 分
4 4
7
（2）由（1）知 A = ,B = ，则C = = ，
6 4 6 4 12
7 3 2 1 2 6 + 2
且 sinC = sin = sin( + ) = + = ， ·································· 8 分
12 3 4 2 2 2 2 4
过点 B作BD⊥ AC于点D，则BD = 2 + 6，
BD
所以 sin A = ， AB = 2 2 +2 6 ， ···································································· 10 分
AB
AC BC 2 2 2 6
AC BC AB
在 ABC中，由正弦定理 ，得 7 ，
sin ABC sin BAC sin ACB sin sin sin
4 6 12
所以 AC = 4 2 ，BC = 4， ·················································································· 12 分
故 ABC的周长为C ABC = AB + BC + AC = 2 2 + 2 6 + 4+ 4 2 = 6 2 + 2 6 + 4． ······· 13 分
答案第 3 页，共 7 页
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*
16．解：（1）因为 a1a2a3 an = n+1(n N )，当 n 2时，a1a2a3 an 1 = n， ··············· 1 分
n +1
两式相除得： an = ( n 2 )， ··········································································· 2 分
n
n +1
又a1 = 2符合上式，故 an = ； ········································································· 3 分
n
na
（2）b = n
n+1
n = ， ······················································································· 4 分
2n 2n
2 3 4 n+1 1 2 3 n n+1
Sn = + + + + ， Sn = + + + + ， ································· 5 分
2 22 23 2n 2 22 23 2n 2n+1
1 1

1 1 1 1 n +1 n+1 n +1 3 n +3
两式相减得： Sn =1+ + + + =1+
4 2 =
2 3 n n+1 ， ·········· 7 分 2 2 2 2 2 1 2n+1 2 2n+1
1
2
n+3
即 Sn = 3 ， ······························································································· 8 分
2n
(n+1)(n+3)
由 Sn + 3，得 ， ·································································· 9 分
n +1 2n
(n+1)(n+3) (n+ 2)(n+ 4)
设 f (n) = ，则 f (n+1) = ，
2n 2n+1
(n+ 2)(n+ 4) (n+1)(n+3) n2 2n+ 2
所以 f (n+1) f (n) = = ， ····························· 11 分
2n+1 2n 2n+1
由n N* 可知， n2 2n+2随n的增大而减小，所以 n2 2n+2 1 2+2 = 1 0，
所以 f (n+1) f (n) 0恒成立，所以{ f (n)}单调递减， ············································· 13 分
所以 f (n) 的最大值为 f (1) = 4， ············································································ 14 分
所以 4． ······································································································ 15 分
17．解：（1）不妨设 AD =1，
在 ADB中， AB = 2,AD =1, DAB = 60 ，
由余弦定理，BD2 = AB2 + AD2 2AB AD cos DAB = 22 +12 2 2 1 cos60 = 3， ·· 1 分
得BD = 3 ，故 AD2 + BD2 = AB2，则 AD ⊥ DB， ·················································· 2 分
因为 A1D⊥平面 ABCD,AD 平面 ABCD，故 A1D ⊥ AD， ······································· 3 分
因为 A1D DB =D,A1D,DB 平面 A1BD，所以 AD ⊥平面 A1BD， ···························· 4 分
而 AD 平面 ADD1A1，所以平面 A1BD⊥平面 ADD1A1； ············································ 5 分
（2）由（1）知，DA,DB,DA1 两两垂直，
如图所示，以D为坐标原点，建立的空间直角坐标系D xyz， ···································· 6 分
答案第 4 页，共 7 页
{#{QQABTYwQogCIAAAAAQgCQQ0gCEIQkhEAAYgOwFAEoAABSRFABAA=}#}
则D (0,0,0) , A(1,0,0) ,B (0, 3,0) , A1 (0,0, 3) ,C ( 1, 3,0)，
所以 A1B = (0, 3, 3)， A1D = (0,0, 3)， ·························································· 7 分
设DE = DC1 (0 1)，则DE = DC1 = ( 2 , 3 , 3 )，
所以 A1E = A1D +DE = ( 2 , 3 , 3 3)， ························································ 9 分

n A1B = 3y1 3z1 = 0
设 n = (x1, y1, z1 )为平面 A1EB的一个法向量，则 ，
n A1E = 2 x1 + 3 y1 ( 3 3 ) z1 = 0
令 z = 2 ，则 y = 2 , x = 2 3 3 ，所以 n = (2 3 3,2 , 2 1 1 1 )， ························ 11 分
因为 y轴⊥平面BCC m = 0,1,01B1，则可取 ( )为平面BCC1B1的一个法向量， ·················· 12 分
n m 2 5
设平面 A1EB与平面BCC B cos = = =1 1的夹角为 ，则 ， ····· 13 分
n m 20 2 12 +3 5
1
解得 = ， ······································································································ 14 分
4
DE 1
故 = ． ····································································································· 15 分
EC1 3
18．解：（1）依题意 (x 1)2
2
+ y2 = x 2 ， ····················································· 1 分
2
x2 4x + 4 x2
两边平方得 x2 2x +1+ y2 = ，化简得 + y2 =1，
2 2
x2
所以曲线 E的方程为 + y2 =1； ·········································································· 3 分
2
（2）设 lAB : x =my+1， A(x1, y1),B(x2, y2)，
x = my +1
2 2 2m 1
联立 x2 ，得 (m + 2) y + 2my 1= 0，所以 y1 + y2 = , y1y2 = ， ···· 5 分
+ y
2 =1 m
2 + 2 m2 + 2
2
由 2F2A+ F2B = 0，得 2(x 1, y ) + (x 1, y ) = 0，所以 y2 = 2y1， ···························· 6 1 1 2 2 分
2m 1 2
代入 y1 + y
2 2
2, y1y2 ，消 y2 ，可得 y1 = , 2y y1 = ，消 1 ，解得m = ， ········· 8 分
m2 + 2 m2 + 2 7
2m 2
因为 A在 x轴上方，所以 y1 = 0，所以m 0，所以m = ， ························· 9 分
m2 + 2 7
1 14
所以直线 AB的斜率是 = ； ········································································· 10 分
m 2
（3）延长CF2，交椭圆于点G，CF2 //DF1，由对称性可知GF2 =DF1，
△F S = S1GF2和 CDF1等底等高， FGF CDF ， ························································· 11 分 1 2 1
答案第 5 页，共 7 页
{#{QQABTYwQogCIAAAAAQgCQQ0gCEIQkhEAAYgOwFAEoAABSRFABAA=}#}
1
四边形CF2F1D的面积 S = S GCF = F1F2 ( yC yG ) = yC yG， ································ 12 分 1 2
2n 1
设 lCD : x = ny+1，由（2）同理可知 yC + yG = , y y = ， ·························· 13 分
n2
C G
+ 2 n2 + 2
2 2 8n
2 +8
所以 S = y y = ( y y ) = ( y + y ， ···························· 14 分 C G C G C G ) 4yC yG =
n2 + 2
8n2 +8 2 2t 2 2
令 n2
= = 2
+1 = t, t 1，所以 n2 + 2 t2 +1 1 ， ·········································· 15 分
t +
t
等号成立，当且仅当 t =1即 n = 0， ········································································ 16 分
所以S 的最大值为 2 ，此时C D分别在F2 F1正上方． ·············································· 17 分
19．解：（1）函数 g (x) = ln (1+ x) ax的定义域为 ( 1, )，
1
g '(x) = a， ····························································································· 1 分
1+ x
①当 a 0时， g '( x) 0， g ( x)在 ( 1, )上单调递增； ········································· 2 分
1 1
②当 a 0时，由 g '( x) 0得， x 1，由 g '( x) 0得， x 1，
a a
1 1
所以 g ( x)在 1, 1 上单调递增，在 1,+ 上单调递减，
a a
综上所述，①当 a 0时， g ( x)在 ( 1, )上单调递增；
1 1
②当 a 0时， g ( x)在 1, 1 上单调递增，在 1,+ 上单调递减； ··················· 4 分
a a
（2）因为 f (0) = 0, f (x) 0 ，
1
所以 x = 0是 f ( x)的极大值点，因为 f (x) = cos x + a，
x +1
所以 f (0) = 2 a = 0 a = 2，
只需证，当 a = 2时， f (x) = sinx + ln (1+ x) 2x 0恒成立即可， ······························· 6 分
1
因为 f (x) = cos x + 2，
x +1
1 1
令 (x) = f (x) = cos x + 2，则 (x) = sin x 2 ，
x +1 (x+1)
1
①当 x ( 1,0)时， 12 ， (x) 0，则 ( x)在 ( 1,0)单调递减，
(x+1)
所以 f (x) f (0) = 0， f ( x)在 ( 1,0)单调递增， f (x) f (0) = 0 ，
②当 x (0,+ )时， f ( x) 0，则 f ( x)在 (0,+ )单调递减，所以 f (x) f (0) = 0，
综上所述， a = 2符合题意； ················································································· 10 分
（3）由（2）可知， sin x 2x ln (x +1)，当且仅当 x = 0时取等号，
2n 1 2n 1 2n 1
所以 sin 2 ln 1+ ， ····················································· 11 分
i=n+1 i 1 i=n+1 i 1 i=n+1 i 1
答案第 6 页，共 7 页
{#{QQABTYwQogCIAAAAAQgCQQ0gCEIQkhEAAYgOwFAEoAABSRFABAA=}#}
2n 2n
1 i n +1 n + 2 2n
ln 1+ = ln = ln + ln + + ln = ln 2， ······················ 12 分
i=n+1 i 1 i=n+1 i 1 n n +1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 2 n 2n 1 2n 2 n
2n
n 1
因为 ln = ln = ln + ln + + ln = ln ，
n 1 2n 2 2n 3 n 1 2n 2 2n 3 n 1 i=n+1 n 2
······················································································································· 13 分
1 i 1
所以即证 ln ， ·················································································· 14 分
i 1 i 2
i 1 1 1 1
令 x = =1+ (1,+ )，则 =1 ，
i 2 i 2 i 1 x
1
所以即证：1 ln x， x (1,+ )，
x
1 1 1 1 x
令m(x) =1 ln x，则m (x) = = ，
x x2 x x2
所以 x (1,+ )时，m ( x) 0 ，m ( x)单调递减，
1
所以m (x) m (1) = 0，即1 ln x， x (1,+ )，
x
2n
1 2n 1
综上所述， sin 2ln ln2，n 2，n N ． ····································· 17 分
i=n+1 i 1 n 1
答案第 7 页，共 7 页
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