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《一元一次方程的实际应用》同步提升训练题（六）
一．选择题（共20小题）
1．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（　　）
A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元
2．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C．8x﹣3＝7x﹣4 D．8x+3＝7x+4
3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（　　）
A．升 B．升 C．升 D．升
5．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则x+y的值为（　　）
A．1 B．9 C．5 D．4
6．我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？”意思是说“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问车有几辆？”则该问题中车的数量是（　　）
A．16辆 B．15辆 C．14辆 D．13辆
7．A、B两地相距1000km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（　　）次．
A．5 B．4 C．3 D．2
8．根据下面的对话，算出小亮今年的年龄为（　　）
A．8岁 B．6岁 C．10岁 D．7岁
9．在2022年1月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（　　）
A．28 B．40 C．50 D．58
10．某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（　　）
A．72米． B．24米 C．144米 D．96米
11．淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的5%）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　）
A．264 B．240 C．260 D．269
12．父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲（　　）岁．
A．28 B．30 C．32 D．35
13．一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（　　）
A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s
14．一列火车正在匀速行驶，它先用26s的时间通过了一条长256m隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16s的时间通过了一条长96m隧道，则这列火车长（　　）米．
A．120 B．140 C．160 D．180
15．安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（　　）
A．400m B．300m C．200m D．100m
16．六（1）班举行校园安全知识抢答竞赛，答对1题得10分，答错1题倒扣5分，第一小组共抢到了15题，得了120分，这个小组答对了（　　）题．
A．11 B．12 C．13 D．14
17．甲、乙两站之间的铁路长1330千米，一列客车以110千米/时的速度从甲站开往乙站，同时一列货车以80千米/时速度从乙站开往甲站．（　　）小时后两车相遇．
A．5 B．6 C．7 D．8
18．耕一块地，甲拖拉机单独耕完需15小时，乙拖拉机单独耕完需10小时，丙拖拉机单独耕完需9小时，甲乙合作2小时后，剩下的由丙独自耕完，丙拖拉机还需要（　　）小时才能耕完．
A．5 B．6 C．7 D．8
19．A、B两地相距960千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过8小时相遇，已知甲车的速度是50千米/时，求乙车的速度是（　　）千米/时．
A．60 B．70 C．75 D．85
20．某厂为支援灾区赶制一批帐篷，第一天生产了总数的25%，第二天生产了总数的，两天共生产了990顶，这批帐篷一共有（　　）顶．
A．1200 B．1400 C．1600 D．1800
二．填空题（共13小题）
21．（古代数学问题）用绳子量井深，把绳子3折来量，井外余绳子4尺；把绳子4折来量，井外余绳子1尺，则这口井深 　 　尺．
22．已知某铁路桥长600米，若一列火车通过该桥，火车从开始上桥到过完桥共用了30秒，整列火车完全在桥上的时间为20秒，则火车的长度为 　 　．
23．某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长 　 　米．
24．一个两位数，个位上的数字为3，交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位数比原来的两位数小45，则这个两位数是 　 　．
25．古代数学问题趣题，如图，一个瓶子的容积为1200cm3，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液恰好为瓶子圆柱体部分，液体高度为24cm，当瓶子倒放时，空余部分圆柱体的高度为6cm．则瓶内溶液的体积为 　 　cm3．
26．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是 　 　步．（一亩＝240平方步）
27．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图所示是一个未完成的幻方，则m＝ 　 　．
28．A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过 　 　秒2只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度．
29．如图，已知点A在数轴上，点A表示的数为﹣10．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从原点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过　 　秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
30．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　 　；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
31．父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就79岁了．”现在父亲 　 　岁．
32．希望小学三年级有300人，五年级比三年级人数多30%，又比六年级人数少40%，希望小学六年级有学生 　 　人．
33．一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为 　 　千米/小时．
三．解答题（共27小题）
34．我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．
35．自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？
36．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？
请你运用二元一次方程组知识解答这个古代数学问题．
37．如图所示，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且a，c满足等式（c﹣15）2+|20+a|＝0，我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如，点A与点B之间的距离记作AB．
（1）点A，C表示的数分别为a＝　 　，c＝　 　．
（2）数轴上一个动点M表示的数为m，若点M满足条件AM+CM＝42．则点M表示的数m＝　 　．
（3）动点B从数﹣6对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒3个单位长度，每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．
①若点A向右运动，点C向左运动时，若AB＝BC．求t的值．
②若点A向左运动，点C向右运动时，是否存在m使得2AB﹣m BC的值不随时间t的变化而改变，如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
38．已知数轴上的A，B两点分别对应有理数a和b，且满足|b+8|+（a﹣4）2＝0．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴负半轴运动，那么运动多少秒时PA＝3PB？
（3）已知点C在数轴上对应的数为20，若点P，Q分别从点A、B出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向C点运动，直至Q点到C点时停止，那么当PQ＝4时，求Q点对应的数．
39．如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．
（3）点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．
40．在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a+2|+（b﹣3）2＝0．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒0.5个单位长度沿数轴向左移动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A运动到﹣4所在的点处时，求A、B两点间距离；
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距3个单位长度？
41．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为17，且a，b满足|a+10|+（11﹣b）2＝0，动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）a＝ 　 　；b＝ 　 　；
（2）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M对应的数是多少？
42．A、B、C为数轴上的三点，动点A、B同时从原点出发，动点A每秒运动x个单位，动点B每秒运动y个单位，且动点A运动到的位置对应的数记为a，动点B运动到的位置对应的数记为b，定点C对应的数为8．
（1）若2秒后，a，b满足|a+6|+（b﹣2）2＝0，则点A速度x＝ 　 　，点B速度y＝ 　 　，并请在数轴上标出A、B两点的位置．
（2）若动点A、B在（1）运动后的位置上保持原来的速度，且同时向正方向运动m秒后使得|a|＝|b|，求m的值．
（3）若动点A、B在（1）运动后的位置上都以每秒2个单位向正方向继续运动t秒，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离为AB，且AC+BC＝1.5AB，求t的值．
43．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 　，点P表示的数是 　 　（用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM﹣PN的值；
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
44．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+（b﹣10）2＝0．
（1）点A表示的数为 　 　，点B表示的数为 　 　；
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以5个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），
①当t＝3时，甲小球到原点的距离＝　 　；乙小球到原点的距离＝　 　；
②当甲，乙两小球到原点的距离相等时，求t的值．
③若甲，乙两小球开始运动时，挡板同时也从原点以1个单位/秒的速度向右运动，当甲，乙两小球到挡板的距离相等时，求t的值．
45．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点C，且AC＝4BC，求C点表示的数；
（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为 　 　．
46．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，现将A、B之间的距离记作AB，定义AB＝|a﹣b|．若a、b满足|a+5|+（b﹣1）2＝0．
（1）点A表示的数 　 　；点B表示的数 　 　；AB＝ 　 　；
（2）点P在数轴上对应的数是x，则PB＝ 　 　；如果PB＝3，则x＝ 　 　；
（3）若点P表示的数是﹣9，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，求多少秒时，蚂蚁所在的点到点A、点B的距离之和是8？
47．若数轴上点A，B所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即AB＝|a﹣b|或|b﹣a|．已知点A，B在数轴上，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足|a+5|+（b﹣4）2＝0．
（1）求点A，B两点之间的距离AB；
（2）如果点P，Q分别同时从点A，B出发，沿数轴相向运动，点P每秒走1个单位长度，点Q每秒走2个单位长度，经过几秒P，Q两点相遇？此时点P，Q对应的数是多少？
48．如图：在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为 　 　，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为 　 　；运动t秒后，点A表示的数为 　 　（用含t的式子表示）；
（2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；
（3）当点C在点B右侧时，若存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，请直接写出m的值．
49．阅读理解：若A，B，C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离的三倍时，我们就称点C是【A，B】的定位点；当点C到点B的距离是点C到点A的距离的三倍时，我们就称点C是【B，A】的定位点．
如图所示，数轴上两点A，B，一只蚂蚁从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设蚂蚁所在位置为点P，运动时间为t秒．
（1）当t＝0时，线段PA的长是　 　，线段PB的长是　 　，此时点P　 　（填“是”或“否”）【A，B】的定位点；
（2）在蚂蚁运动过程中，t为何值时，蚂蚁所在位置是【A，B】的定位点；
（3）设一只蜗牛从点A和蚂蚁同时出发，以每秒0.1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设蜗牛所在位置为点Q，点A，B，P，Q所表示的数分别是xA，xB，xP，xQ．若|xP﹣xQ|+|xB﹣xP|﹣|xA﹣xQ|＝8，请直接写出一个满足条件的t值．
50．在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的．
（1）求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？
（2）求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？
（3）在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？
51．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．
（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
52．某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 40 60
售价（元/件） 50 80
（1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍：甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少400元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
53．第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天．
（1）乙工程队单独完成需要多少天？
（2）若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？
54．某商场在“十一”黄金周投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）为了促销，该商场将甲种矿泉水打九折，乙种矿泉水打八五折出售．这样，500箱矿泉水在“十一”黄金周结束时全部售完，该商场可获得利润多少元？
55．一段公路甲队独修需30天，乙队独修需20天，甲队独修路10天后，再由甲、乙两队共同修路，还需多少天能修完？
56．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，达两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价）
型号 进价（元/只） 预售价（元/只）
甲型 20 25
乙型 35 40
（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．
57．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣22，﹣10和10，动点P从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止运动．
（1）动点P从点B运动到点C，一共需要 　 　秒；
（2）当点P运动t秒时，点P在数轴上对应的数为． 　 　；（用含t的代数式表示）
（3）经过多长时间，点Q能够追上点P？
（4）在整个运动过程中，P、Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出点P运动的时间；如果不能，请说明理由．
58．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题：
（1）当t＝1时，A点表示的数为 　 　，此时BC＝　 　；
（2）当运动到BC＝6（单位长度）时，求运动时间t的值；
（3）P是线段AB上一点，当点B运动到线段CD上时，若关系式BD﹣AP＝4PC成立，请直接写出此时线段PD的长：PD＝　 　．
59．（1）小聪从学校去杨根思陵园缅怀先烈．若步行前往，则需要2小时到达；若骑共享单车沿原路返回，速度比步行每小时快10千米，则需要40分钟回到学校．问学校到根思陵园多少千米？
（2）某人从甲地出发，以5km/h的速度步行到乙地，然后骑自行车沿原路返回．小虎认为：如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，那么往返全程的平均速度是步行速度的2倍．小虎的判断正确吗？请说明你的理由．
60．如图，已知数轴上有三点A、B、C，若用AB表示A、B两点的距离，AC表示A、C两点的距离，且ABAC，点A、点C对应的数分别是a、c，且|a+40|+|c﹣20|＝0．
（1）求a、c的值；
（2）求点B对应的数和BC的长；
（3）若点P、Q分别从A、C两点同时出发，向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了多少秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等？中小学教育资源及组卷应用平台
《一元一次方程的实际应用》同步提升训练题（六）
一．选择题（共20小题）
1．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（　　）
A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元
【思路点拔】设有x个人，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：设有x个人，
根据题意得，8x﹣3＝7x+4，
解得x＝7，
7×8﹣3＝53（元），
故选：D．
2．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C．8x﹣3＝7x﹣4 D．8x+3＝7x+4
【思路点拔】可设有x个人，根据所花总钱数不变列出方程即可．
【解答】解：设有x人，根据题意，
可列方程：8x﹣3＝7x+4，
故选：B．
3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【思路点拔】解析由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等可求九宫格中左下角的数和九宫格中间的数，列出方程可求x，y的值，即可求解．
【解答】解：由题意可得：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为x+20+6＝26+x，
∴九宫格中左下角的数＝（26+x）﹣（22+x）＝4，
∴九宫格中间的数＝（26+x）﹣（20+4）＝2+x，
∴22+x+2+y＝26+x，
解得：y＝2，
由题意可得：x+x+2＝20+y，
∴x＝10，
∴x+y＝12，
故选：D．
4．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（　　）
A．升 B．升 C．升 D．升
【思路点拔】设壶中原来有酒x升，根据“遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设壶中原来有酒x升，
根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]﹣5＝0，
解得：x，
∴壶中原来有酒升．
故选：B．
5．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则x+y的值为（　　）
A．1 B．9 C．5 D．4
【思路点拔】根据“三阶幻方”的知识分别列出关于x、y的一元一次方程并求解，然后代入求值即可．
【解答】解：根据题意，可得x+0+（﹣5）＝1+（﹣2）+（﹣5），
解得x＝﹣1，
∴y+（﹣2）＝1+（﹣1），
解得y＝2，
∴x+y＝﹣1+2＝1．
故选：A．
6．我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？”意思是说“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问车有几辆？”则该问题中车的数量是（　　）
A．16辆 B．15辆 C．14辆 D．13辆
【思路点拔】人数是定值，列一元一次方程可解此题．
【解答】解：设有x辆车，则有3（x﹣2）人，
根据题意得：2x+9＝3（x﹣2），
解的：x＝15，
∴有15辆车，
故选：B．
7．A、B两地相距1000km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（　　）次．
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拔】设两车相距200km时，行驶的时间为t小时，相距200km要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意．
【解答】解：设两车相距200km时，行驶的时间为t小时，依题意得：
当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距200km时，则有：200t+75t+200＝1000，
解得；
②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距200km时，
200t+75t﹣200＝1000，
解得；
③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶5×75＝375km，
∵375＞200，
∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有：
75t＝200+200（t﹣5），
解得；
④快车追上慢车后并超过慢车相距200km时，则有200（t﹣5）﹣75t＝200，
解得；
⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了10×75＝750km，距终点还需行驶1000﹣750＝250km，则有：75t＝1000﹣200，
解得．
综上所述，两车恰好相距200km的次数为5次．
故选：A．
8．根据下面的对话，算出小亮今年的年龄为（　　）
A．8岁 B．6岁 C．10岁 D．7岁
【思路点拔】设小亮今年的年龄为x岁，根据题意列出方程并求解，即可获得答案．
【解答】解：设小亮今年的年龄为x岁，
则42﹣x+5＝3（x+5），
解得x＝8，
即小亮今年的年龄为8岁．
故选：A．
9．在2022年1月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（　　）
A．28 B．40 C．50 D．58
【思路点拔】设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为（x+1），（x+6），（x+7），进而可得出四个数之和A＝4x+14，再分别代入A＝28，A＝34，A＝58，A＝82求出x的值，对照月历表后即可得出结论．
【解答】解：设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为（x+1），（x+6），（x+7），
∴四个数的和A＝x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝4x+14．
当A＝28时，x，
∵x为整数，
∴选项A不符合题意；
当A＝40时，x＝6.5，
∵x为整数，
∴选项B不符合题意；
当A＝50时，x＝9，
∵x＝9在第3列开始位置，无法框出“S”型框，选项C不合题意；
当A＝58时，x＝11，
∴选项D符合题意；
故选：D．
10．某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（　　）
A．72米． B．24米 C．144米 D．96米
【思路点拔】设这个列车的长是x米，利用速度＝路程÷时间，结合这个列车的速度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这个列车的长是x米，
根据题意得：，
解得：x＝72，
∴这个列车的长是72米．
故选：A．
11．淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的5%）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　）
A．264 B．240 C．260 D．269
【思路点拔】设这件冲锋衣的原价是x元，根据明明的妈妈在淘宝“618年中大促”活动中购买一件冲锋衣加上邮费（邮费相当于原价的5%）共付132元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这件冲锋衣的原价是x元，
根据题意得：50%x+5%x＝132，
解得：x＝240，
∴这件冲锋衣的原价是240元．
故选：B．
12．父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲（　　）岁．
A．28 B．30 C．32 D．35
【思路点拔】设两年前儿子x岁，则两年前父亲8x岁，根据父子二人今年年龄之和为40岁，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：设两年前儿子x岁，则两年前父亲8x岁，
由题意得：x+2+8x+2＝40，
解得：x＝4，
∴8x＝8×4＝32，
即两年前父亲32岁，
故选：C．
13．一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（　　）
A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s
【思路点拔】设列车的速度为x m/s，由题意：一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设列车的速度为x m/s，
由题意得：64x＝1000+280，
解得：x＝20，
即列车的速度为20m/s，
故选：C．
14．一列火车正在匀速行驶，它先用26s的时间通过了一条长256m隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16s的时间通过了一条长96m隧道，则这列火车长（　　）米．
A．120 B．140 C．160 D．180
【思路点拔】设这列火车的长度为x m，根据速度＝路程÷时间结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这列火车的长度为x m，
依题意得：，
解得x＝160．
答：这列火车的长度为160m，
故选：C．
15．安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（　　）
A．400m B．300m C．200m D．100m
【思路点拔】设这列动车长为x米，根据动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒得：，即可解得答案．
【解答】解：设这列动车长为x米，
根据题意得：，
解得x＝200，
∴这列动车长为200米；
故选：C．
16．六（1）班举行校园安全知识抢答竞赛，答对1题得10分，答错1题倒扣5分，第一小组共抢到了15题，得了120分，这个小组答对了（　　）题．
A．11 B．12 C．13 D．14
【思路点拔】设这个小组答对了x题，根据第一小组共抢到了15题，得了120分，列方程解答即可．
【解答】解：设这个小组答对了x题，
根据题意得10x﹣5（15﹣x）＝120，
解得x＝13，
故选：C．
17．甲、乙两站之间的铁路长1330千米，一列客车以110千米/时的速度从甲站开往乙站，同时一列货车以80千米/时速度从乙站开往甲站．（　　）小时后两车相遇．
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】设x小时后两车相遇，根据甲、乙两站之间的铁路长1330千米，列方程解答即可．
【解答】解：设x小时后两车相遇，
根据题意得110x+80x＝1330，
解得x＝7，
故选：C．
18．耕一块地，甲拖拉机单独耕完需15小时，乙拖拉机单独耕完需10小时，丙拖拉机单独耕完需9小时，甲乙合作2小时后，剩下的由丙独自耕完，丙拖拉机还需要（　　）小时才能耕完．
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】设丙拖拉机还需要x小时才能耕完，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设丙拖拉机还需要x小时才能耕完，
根据题意得1，
解得x＝6，
故选：B．
19．A、B两地相距960千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过8小时相遇，已知甲车的速度是50千米/时，求乙车的速度是（　　）千米/时．
A．60 B．70 C．75 D．85
【思路点拔】设乙车的速度是x千米/时，利用路程＝速度×时间，结合两车经过8小时相遇，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设乙车的速度是x千米/时，
根据题意得：50×8+8x＝960，
解得：x＝70，
∴乙车的速度是70千米/时．
故选：B．
20．某厂为支援灾区赶制一批帐篷，第一天生产了总数的25%，第二天生产了总数的，两天共生产了990顶，这批帐篷一共有（　　）顶．
A．1200 B．1400 C．1600 D．1800
【思路点拔】设这批帐篷一共有x顶，根据两天共生产了990顶得25%xx＝990，即可解得答案．
【解答】解：设这批帐篷一共有x顶，
根据题意得25%xx＝990，
解得x＝1800，
∴这批帐篷一共有1800顶；
故选：D．
二．填空题（共13小题）
21．（古代数学问题）用绳子量井深，把绳子3折来量，井外余绳子4尺；把绳子4折来量，井外余绳子1尺，则这口井深 　8　尺．
【思路点拔】设绳子长x尺，根据绳子的三分之一减去4尺等于井深，以及绳子的四分之一长减去1尺等于井深列出方程求解即可．
【解答】解：设绳子长x尺，
由题意得，
所以x＝36，
所以（尺）．
答：井深8尺．
故答案为：8．
22．已知某铁路桥长600米，若一列火车通过该桥，火车从开始上桥到过完桥共用了30秒，整列火车完全在桥上的时间为20秒，则火车的长度为 　120米　．
【思路点拔】设火车的长度为x米，根据火车的速度不变，火车从开始上桥到过完桥共用了30秒，整列火车完全在桥上的时间为20秒，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设火车的长度为x米，
由题意得：，
解得：x＝120，
即火车的长度为120米，
故答案为：120米．
23．某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长 　265　米．
【思路点拔】根据“火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒”列方程求解．
【解答】解：设火车长x米，列车的速度为千米/秒，1米千米，
则：（4.5+120），
解得：x＝265，
故答案为：265．
24．一个两位数，个位上的数字为3，交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位数比原来的两位数小45，则这个两位数是 　83　．
【思路点拔】设十位上的数字为a，根据交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位数比原来的两位数小45，列出一元一次方程，解之即可得结论．
【解答】解：设十位上的数字为a，则这个两位数是10a+3，
根据题意得：10a+3﹣（30+a）＝45，
解得：a＝8，
∴10a+3＝80+3＝83，
即这个两位数是83，
故答案为：83．
25．古代数学问题趣题，如图，一个瓶子的容积为1200cm3，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液恰好为瓶子圆柱体部分，液体高度为24cm，当瓶子倒放时，空余部分圆柱体的高度为6cm．则瓶内溶液的体积为 　960　cm3．
【思路点拔】根据瓶子底面面积不变，可以列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设瓶内溶液的体积为V cm3，
由图可得：，
解得V＝960，
答：瓶内溶液的体积为960cm3，
故答案为：960．
26．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是 　60　步．（一亩＝240平方步）
【思路点拔】设此矩形田的宽为x步，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设此矩形田的宽为x步，
依据题意，可列方程为x 2x＝240×7.5，
解得x＝30（负值舍去），
则长为60步，
故答案为：60．
27．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图所示是一个未完成的幻方，则m＝ 　﹣1　．
【思路点拔】根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于m的一元一次方程，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：﹣5+9+m＝﹣7+1+9，
解得，m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
28．A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过 　15或25　秒2只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度．
【思路点拔】分为2只电子蚂蚁相遇前相距25个单位长度和相遇后相距25个单位长度，根据距离除以速度等于时间即可求得答案．
【解答】解：当两只电子蚂蚁相遇前在数轴上相距25个单位长度时，则需要的时间为（90+10﹣25）÷（3+2）＝15秒，
当两只电子蚂蚁相遇后在数轴上相距25个单位长度时，则需要的时间为（90+10+25）÷（3+2）＝25秒，
综上，经过15秒或25秒满足题意，
故答案为：15或25．
29．如图，已知点A在数轴上，点A表示的数为﹣10．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从原点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过　2s或　秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
【思路点拔】分两种情况：①点M、N在点O的两侧时，②点M、N重合时，分别列方程求解即可．
【解答】解：设经过t秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，
①点M、N在点O的两侧时，10﹣4t＝t，
解得t＝2s，
②点M、N重合时，4t﹣10＝t，
解得，
∴经过2s或，点M、点N分别到原点O的距离相等，
故答案为：2s或．
30．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　﹣4　；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【思路点拔】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答；
（2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点分情况列出方程求解．
【解答】解：（1）根据数轴上两点间的距离数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②当P不超过Q时，则10+4t﹣6t＝8，
解得t＝1；
当P超过Q时，则10+4t+8＝6t，
解得t＝9；
所以当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
31．父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就79岁了．”现在父亲 　54　岁．
【思路点拔】设现在父亲x岁，然后根据题意可知：他们的年龄差为（79﹣x）岁，再根据题意可以列出方程x﹣（79﹣x）＝4+（79﹣x），然后求解即可．
【解答】解：设现在父亲x岁，
由题意可得：x﹣（79﹣x）＝4+（79﹣x），
解得x＝54，
答：现在父亲54岁，
故答案为：54．
32．希望小学三年级有300人，五年级比三年级人数多30%，又比六年级人数少40%，希望小学六年级有学生 　650　人．
【思路点拔】设希望小学六年级有学生x人，根据“希望小学三年级有300人，五年级比三年级人数多30%，又比六年级人数少40%”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设希望小学六年级有学生x人，
根据题意得：（1﹣40%）x＝300×（1+30%），
解得：x＝650，
∴希望小学六年级有学生650人．
故答案为：650．
33．一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为 　12　千米/小时．
【思路点拔】设该轮船在静水中的速度为x千米/小时，利用顺流的速度﹣轮船在静水中的速度＝轮船在静水中的速度﹣逆流的速度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出该轮船在静水中的速度．
【解答】解：设该轮船在静水中的速度为x千米/小时，
依题意得：x＝x，
解得：x＝12．
故答案为：12．
三．解答题（共27小题）
34．我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．
【思路点拔】设这个问题中的牧童人数为x，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这个问题中的牧童人数为x，
根据题意得：6x+14＝8x，
解得：x＝7．
答：这个问题中的牧童人数为7．
35．自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？
【思路点拔】设x人共同出资买羊，根据“每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出共同出资买羊的人数，再将其代入5x+45中，即可求出羊的价格．
【解答】解：设x人共同出资买羊，
根据题意得：5x+45＝7x+3，
解得：x＝21，
∴5x+45＝5×21+45＝150（元）．
答：21人共同出资买羊，羊价是150元．
36．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？
请你运用二元一次方程组知识解答这个古代数学问题．
【思路点拔】设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设绳子长x尺，木条长y尺，
依题意得：，
解得：．
答：木条长6.5尺．
37．如图所示，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且a，c满足等式（c﹣15）2+|20+a|＝0，我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如，点A与点B之间的距离记作AB．
（1）点A，C表示的数分别为a＝　﹣20　，c＝　15　．
（2）数轴上一个动点M表示的数为m，若点M满足条件AM+CM＝42．则点M表示的数m＝　﹣23.5或18.5　．
（3）动点B从数﹣6对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒3个单位长度，每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．
①若点A向右运动，点C向左运动时，若AB＝BC．求t的值．
②若点A向左运动，点C向右运动时，是否存在m使得2AB﹣m BC的值不随时间t的变化而改变，如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据非负性可求出答案；
（2）分三种情况：当点D在点A的左侧；当点D在点A，C之间时；当点D在点C的右侧时；进行讨论可求D点表示的数；
（3）①用t的代数式表示AB，BC，列出等式可求解；
②用t的代数式表示AB，BC，代入代数式可求解．
【解答】解：（1）∵（c﹣15）2+|20+a|＝0，
∴c﹣15＝0，20+a＝0，
a＝﹣20，c＝15．
故答案为：﹣20；15；
（2）当点D在点A的左侧，
∵AM+CM＝42，
∴AM+AC+AM＝42，
∴2AM+35＝42，
解得AM＝3.5，
∴点M点表示的数为﹣20﹣3.5＝﹣23.5；
当点M在点A，C之间时，
∵CM+AM＝AC＝35≠42，
∴不存在点M，使CM+AM＝42；
当点M在点C的右侧时，
∵CM+AM＝42，
∴AC+CM+CM＝42，
∴35+2CM＝42，
解得CM＝3.5，
∴点M点表示的数为15+3.5＝18.5．
综上所述，M点表示的数为﹣23.5或18.5；
（3）①∵AB＝BC，
∴|（﹣6+2t）﹣（﹣20+3t）|＝|（﹣6+2t）﹣（15﹣4t）|
解得t＝1.4或5；
②∵2AB﹣m×BC
＝2×|（﹣6+2t）﹣（﹣20+3t）|﹣m|（﹣6+2t）﹣（15﹣4t）|
＝10t+28﹣2mt﹣21m
＝（10﹣2m）t+14﹣21m，
∵2AB﹣m×BC的值不随时间t的变化而改变，
∴10﹣2m＝0，
解得m＝5．
故m的值为5．
38．已知数轴上的A，B两点分别对应有理数a和b，且满足|b+8|+（a﹣4）2＝0．
（1）a＝　4　，b＝　﹣8　；
（2）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴负半轴运动，那么运动多少秒时PA＝3PB？
（3）已知点C在数轴上对应的数为20，若点P，Q分别从点A、B出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向C点运动，直至Q点到C点时停止，那么当PQ＝4时，求Q点对应的数．
【思路点拔】（1）利用非负数的性质得到b+8＝0，a﹣4＝0，求解即可；
（2）设运动时间为x（秒），根据题意得到点P表示的数，进而表示PA，PB，以此列出方程，求解即可；
（3）运动时间为t（秒），根据题意得到点P，Q表示的数，由Q点到C点时停止得出t的取值范围，再利用PQ＝4列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵|b+8|+（a﹣4）2＝0，
∴b+8＝0，a﹣4＝0，
解得：b＝﹣8，a＝4，
故答案为：4，﹣8．
（2）设运动时间为x（秒），由题意可得，点P表示的数为4﹣2x，
则PA＝2x，PB＝|4﹣2x﹣（﹣8）|＝|12﹣2x|，
当PA＝3PB时，2x＝3×|12﹣2x|，
解得：x＝9或x，
∴运动9或秒时，PA＝3PB．
（3）运动时间为t（秒），
根据题意得，点P表示的数为4+2t，点Q表示的数为4t﹣8，0＜t≤7，
∴PQ＝|4t﹣8﹣（4+2t）|＝|2t﹣12|，
当PQ＝4时，|2t﹣12|＝4，
解得：t＝4或t＝8（舍去），
此时，点Q表示的数为4×4﹣8＝8．
39．如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．
（1）a＝　﹣3　，b＝　﹣1　，c＝　9　．
（2）点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．
（3）点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质，求出a、c的值，根据负整数求得b的值；
（2）由于P在AC上面，可得PB＝13﹣AC＝1，根据时间＝路程÷速度可求x的值；
（3）以M为P、N点的中点；P为M、N点的中点；N为P、M点的中点；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴a+3＝0，c﹣9＝0，
解得a＝﹣3，c＝9，
∵b是最大的负整数，
∴b＝﹣1．
故答案为：﹣3，﹣1，9；
（2）AB＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
AC＝9﹣（﹣3）＝12，
BC＝9﹣（﹣1）＝10，
∵PA+PB+PC＝13，
∴PB＝13﹣AC＝1，
如图，
∴x＝1÷3或x＝（2×2﹣1）÷3＝1或x＝（2×2+1）÷3或x＝（2×12﹣1）÷3．
故x的值为或1或或；
（3）M为P、N点的中点，
当0＜t时，有（﹣1﹣3t）+（9﹣5t）＝2（﹣3+4t），
解得t（舍去），
当t时，有（3t﹣5）+（9﹣5t）＝2（﹣3+4t），
解得t＝1；
P为M、N点的中点，t，
有（9﹣5t）+（﹣3+4t）＝2（3t﹣5），
解得t；
或（9﹣5t）+（﹣3+4t）＝2[9﹣（3t﹣14）]，
解得t＝8；
N为P、M点的中点，t，
有（﹣3+4t）+（3t﹣5）＝2（9﹣5t），
解得t．
综上所述，t的值为1，，，8．
40．在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a+2|+（b﹣3）2＝0．
（1）a＝　﹣2　，b＝　3　；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒0.5个单位长度沿数轴向左移动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A运动到﹣4所在的点处时，求A、B两点间距离；
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距3个单位长度？
【思路点拔】（1）根据非负数的性质可求a，b所对应的数；
（2）先根据时间＝路程÷速度，求出运动时间，再根据路程＝速度×时间求解即可；
（3）分两种情况：运动后的B点在A点右边3个单位长度；运动后的B点在A点左边3个单位长度；列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣3）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3．
故答案为：﹣2，3；
（2）（﹣2+4）÷0.5
＝2÷0.5
＝4（秒），
3+4+1×4
＝3+4+4
＝11（个单位长度）．
故A、B两点间距离是11个单位长度；
（3）运动后的B点在A点右边3个单位长度，
设经过x秒长时间A、B两点相距3个单位长度，依题意有：
x+3＝11，
解得x＝8；
运动后的B点在A点左边3个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距3个单位长度，依题意有：
x﹣3＝11，
解得x＝14．
故经过8秒或14秒A、B两点相距3个单位长度．
41．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为17，且a，b满足|a+10|+（11﹣b）2＝0，动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）a＝ 　﹣10　；b＝ 　11　；
（2）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M对应的数是多少？
【思路点拔】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出a，b的值；
（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数为17﹣t，根据P、Q两点相遇，可列出关于t的一元一次方程，解之可求出t的值，再将其代入（﹣10+2t）中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵|a+10|+（11﹣b）2＝0，
∴a+10＝0，11﹣b＝0，
∴a＝﹣10，b＝11．
故答案为：﹣10，11；
（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数为17﹣t，
根据题意得：﹣10+2t＝17﹣t，
解得：t＝9，
∴﹣10+2t＝﹣10+2×9＝8．
答：当t为8秒时，P、Q两点相遇，相遇点M对应的数是8．
42．A、B、C为数轴上的三点，动点A、B同时从原点出发，动点A每秒运动x个单位，动点B每秒运动y个单位，且动点A运动到的位置对应的数记为a，动点B运动到的位置对应的数记为b，定点C对应的数为8．
（1）若2秒后，a，b满足|a+6|+（b﹣2）2＝0，则点A速度x＝ 　3　，点B速度y＝ 　1　，并请在数轴上标出A、B两点的位置．
（2）若动点A、B在（1）运动后的位置上保持原来的速度，且同时向正方向运动m秒后使得|a|＝|b|，求m的值．
（3）若动点A、B在（1）运动后的位置上都以每秒2个单位向正方向继续运动t秒，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离为AB，且AC+BC＝1.5AB，求t的值．
【思路点拔】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b的值，结合路程＝速度×时间，可得出x，y的值，再在数轴上标出A、B两点的位置即可；
（2）当运动时间为m秒时，点A对应的数为﹣6+3m，点B对应的数为2+m，根据|a|＝|b|，可列出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当运动时间为t秒时，点A对应的数为﹣6+2t，点B对应的数为2+2t，根据AC+BC＝1.5AB，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a+6|+（b﹣2）2＝0，
∴a＝﹣6，b＝2，
∴2x＝6，2y＝2，
∴x＝3，y＝1，
将点A，B标记在数轴上，如图所示．
故答案为：3，1；
（2）当运动时间为m秒时，点A对应的数为﹣6+3m，点B对应的数为2+m，
根据题意得：|﹣6+3m|＝|2+m|，
即6﹣3m＝2+m或3m﹣6＝2+m，
解得：m＝1或m＝4．
答：m的值为1或4；
（3）当运动时间为t秒时，点A对应的数为﹣6+2t，点B对应的数为2+2t，
根据题意得：|﹣6+2t﹣8|+|2+2t﹣8|＝1.5|﹣6+2t﹣（2+2t）|，
即|2t﹣14|+|2t﹣6|＝12，
当t＜3时，14﹣2t+6﹣2t＝12，
解得：t＝2；
当3≤t≤7时，14﹣2t+2t﹣6＝8≠12，不符合题意，舍去；
当t＞7时，2t﹣14+2t﹣6＝12，
解得：t＝8．
答：t的值为2或8．
43．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是 　10　，点B表示的数是 　﹣6　，点P表示的数是 　10﹣8t　（用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM﹣PN的值；
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
【思路点拔】（1）由（a﹣10）2+|b+6|＝0可得a＝10，b＝﹣6，即可得到答案；
（2）M表示的数是10﹣4t，N表示的数是2﹣4t，可得PM＝4t，PN＝4t﹣8，即得PM﹣PN＝4t﹣（4t﹣8）＝8；
（3）Q表示的数是﹣6﹣4t，可得|（﹣6﹣4t）﹣（10﹣8t）|＝4，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵（a﹣10）2+|b+6|＝0，
∴a﹣10＝0，b+6＝0，
∴a＝10，b＝﹣6，
∴点A表示的数是10，点B表示的数是﹣6，点P表示的数是10﹣8t；
故答案为：10，﹣6，10﹣8t；
（2）∵点P在点B的左侧运动，M、N分别是PA、PB的中点，
∴M表示的数是10﹣4t，N表示的数是2﹣4t，
∴PM＝（10﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t，PN＝（2﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t﹣8，
∴PM﹣PN＝4t﹣（4t﹣8）＝8；
（3）∵动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴Q表示的数是﹣6﹣4t，
又点P表示的数是10﹣8t；
∵P、Q两点相距4个单位长度，
∴|（﹣6﹣4t）﹣（10﹣8t）|＝4，
∴4t﹣16＝4或4t﹣16＝﹣4，
解得t＝5或t＝3，
答：点P运动5秒或3秒时，P、Q两点相距4个单位长度．
44．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+（b﹣10）2＝0．
（1）点A表示的数为 　﹣2　，点B表示的数为 　10　；
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以5个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），
①当t＝3时，甲小球到原点的距离＝　8　；乙小球到原点的距离＝　5　；
②当甲，乙两小球到原点的距离相等时，求t的值．
③若甲，乙两小球开始运动时，挡板同时也从原点以1个单位/秒的速度向右运动，当甲，乙两小球到挡板的距离相等时，求t的值．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可；
（2）①当t＝3时，根据一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动即可求出甲小球到原点的距离；根据乙小球2秒碰到挡板，然后再以原来的速度向右运动1秒即可求出乙小球到原点的距离；
②分两种情况列出方程求解即可；
③当小球乙碰到挡板后再分两种情况列出方程求解即可．
【解答】解：∵|a+2|+（b﹣10）2＝0，
又∵|a+2|≥0，（b﹣10）2≥0，
∴a+2＝0，b﹣10＝0，
∴a＝﹣2，b＝10，
∴点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，
故答案为：﹣2，10；
（2）①当t＝3时，
∵一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动，
∴甲小球到原点的距离为|﹣2﹣2×3|＝|﹣8|＝8，
∵一小球乙从点B处以5个单位/秒的速度也向左运动，
∴小球乙2秒钟碰到挡板，再向右以原来的速度运动了1秒，
∴乙小球到原点的距离为5×1＝5，
故答案为：8，5；
②当0＜t≤2时，
由甲，乙两小球到原点的距离相等得2+2t＝10﹣5t，
解得t；
当t＞2时，
由甲，乙两小球到原点的距离相等得2+2t＝5t﹣10，
解得t＝4，
∴当t秒或4秒时甲，乙两小球到原点的距离相等；
③乙小球碰到挡板需要10÷（5+1）（秒），
当0时，2+2t+t＝10﹣5t﹣t，
解得；
当时，2+2t+t＝（5﹣1），
解得；
∴当秒或秒甲，乙两小球到挡板的距离相等
45．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点C，且AC＝4BC，求C点表示的数；
（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为 　秒或4秒　．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；
（2）分两种情况讨论：当C点在线段AB上时；当C点在线段AB的延长线上时；根据AC＝4BC分别计算即可；
（3）分两种情况讨论：当小球乙向左运动时，即小球乙没有碰到挡板时；当小球乙向右运动时，即小球乙碰到挡板后；根据甲、乙两小球到原点的距离相等分别列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，且|a+1|≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴AB的距离＝|b﹣a|＝4；
（2）设数轴上点C表示的数为c，
∵AC＝4BC，
∴|c﹣a|＝4|c﹣b|，即|c+1|＝4|c﹣3|．
∵AC＝4BC＞BC，
∴点C不可能在线段BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有﹣1≤c≤3，
得c+1＝4（3﹣c），
解得；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞3，
得c+1＝4（c﹣3），
解得．
故当AC＝4BC时，或；
（3）设运动时间为t秒，
当小球乙向左运动时，即小球乙没有碰到挡板时，
∵甲、乙两小球到原点的距离相等，
∴1+t＝3﹣2t，
解得；
当小球乙向右运动时，即小球乙碰到挡板后，
∵甲、乙两小球到原点的距离相等，
∴1+t＝2t﹣3，
解得t＝4；
综上，甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为秒或4秒，
故答案为：秒或4秒．
46．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，现将A、B之间的距离记作AB，定义AB＝|a﹣b|．若a、b满足|a+5|+（b﹣1）2＝0．
（1）点A表示的数 　﹣5　；点B表示的数 　1　；AB＝ 　6　；
（2）点P在数轴上对应的数是x，则PB＝ 　|x﹣1|　；如果PB＝3，则x＝ 　﹣2或4　；
（3）若点P表示的数是﹣9，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，求多少秒时，蚂蚁所在的点到点A、点B的距离之和是8？
【思路点拔】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b的值，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出AB的长；
（2）利用数轴上两点间的距离公式，可找出PB＝|x﹣1|，结合PB＝3，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当运动时间为t秒时，蚂蚁所在的点对应的数为﹣9+t，根据蚂蚁所在的点到点A、点B的距离之和是8，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a+5|+（b﹣1）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣5，b＝1，
∴点A表示的数﹣5，点B表示的数1，
∴AB＝|﹣5﹣1|＝6．
故答案为：﹣5，1，6；
（2）根据题意得：点P在数轴上对应的数是x，则PB＝|x﹣1|，
∵PB＝3，
∴|x﹣1|＝3，
即1﹣x＝3或x﹣1＝3，
解得：x＝﹣2或x＝4．
故答案为：|x﹣1|，﹣2或4；
（3）当运动时间为t秒时，蚂蚁所在的点对应的数为﹣9+t，
根据题意得：|﹣9+t﹣（﹣5）|+|﹣9+t﹣1|＝8，
即4﹣t+10﹣t＝8或t﹣4+t﹣10＝8，
解得：t＝3或t＝11．
答：3或11秒时，蚂蚁所在的点到点A、点B的距离之和是8．
47．若数轴上点A，B所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即AB＝|a﹣b|或|b﹣a|．已知点A，B在数轴上，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足|a+5|+（b﹣4）2＝0．
（1）求点A，B两点之间的距离AB；
（2）如果点P，Q分别同时从点A，B出发，沿数轴相向运动，点P每秒走1个单位长度，点Q每秒走2个单位长度，经过几秒P，Q两点相遇？此时点P，Q对应的数是多少？
【思路点拔】（1）先根据非负性求得a，b，然后根据两点之间距离的公式求解即可；
（2）设经过t秒P，Q的两点相遇，然后根据相遇列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵|a+5|+（b﹣4）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝﹣5，b＝4，
∴AB＝|b﹣a|＝|4﹣（﹣5）|＝9，
∴点A，B两点之间的距离AB＝9；
（2）设经过t秒P，Q的两点相遇，
根据题意得：t+2t＝9，
解得：t＝3，
点P，Q对应的数：﹣5+t＝﹣5+3＝﹣2，
答：经过3秒P，Q两点相遇，对应数是﹣2．
48．如图：在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为 　4　，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为 　3　；运动t秒后，点A表示的数为 　﹣3﹣2t　（用含t的式子表示）；
（2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；
（3）当点C在点B右侧时，若存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，请直接写出m的值．
【思路点拔】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算可求出AB的长，根据数轴上线段中点的计算公式可求出点D表示的数，根据点A的运动速度即可求出运动t秒后，点A表示的数；
（2）t秒钟过后，点A表示的数为﹣3﹣2t，点B表示的数为1﹣t，点C表示的数为9﹣4t，分三种情况：①若B为AC中点；②若C为AB中点；③若A为BC中点，列出一元一次方程解答即可；
（3）当点C在点B右侧时，表示出BC、AB的长，再计算mBC﹣2AB，整理成（﹣3m﹣2）t+8m﹣8，令﹣3m﹣2＝0，即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数1，点C表示数9，
∴运动之前，AB的距离为1﹣（﹣3）＝1＝3＝4，A点与C点的中点D表示的数为，
∵点A以每秒2个单位长度的速度在数轴上向左运动，
∴运动t秒后，点A表示的数为﹣3﹣2t，
故答案为：4，3，﹣3﹣2t；
（2）由题意可知，t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，B点所在的数为：1﹣t，C点所在的数 为：9﹣4t．分三种情况：
①若B为AC中点，则，
解得t＝1；
②若C为AB中点，则，
解得 t＝4；
③若A为BC中点，则，
解得t＝16，
综上，当 t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点；
（3）m的值为；理由如下：
∵点C在点B右侧，
∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝t+4，
∴mBC﹣2AB
＝m（8﹣3t）﹣2（t+4）
＝8m﹣3mt﹣2t﹣8
＝（﹣3m﹣2）t+8m﹣8，
当﹣3m﹣2＝0，即m时，mBC﹣2AB的值为定值，值为，
∴m的值为．
49．阅读理解：若A，B，C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离的三倍时，我们就称点C是【A，B】的定位点；当点C到点B的距离是点C到点A的距离的三倍时，我们就称点C是【B，A】的定位点．
如图所示，数轴上两点A，B，一只蚂蚁从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设蚂蚁所在位置为点P，运动时间为t秒．
（1）当t＝0时，线段PA的长是　2　，线段PB的长是　6　，此时点P　否　（填“是”或“否”）【A，B】的定位点；
（2）在蚂蚁运动过程中，t为何值时，蚂蚁所在位置是【A，B】的定位点；
（3）设一只蜗牛从点A和蚂蚁同时出发，以每秒0.1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设蜗牛所在位置为点Q，点A，B，P，Q所表示的数分别是xA，xB，xP，xQ．若|xP﹣xQ|+|xB﹣xP|﹣|xA﹣xQ|＝8，请直接写出一个满足条件的t值．
【思路点拔】（1）根据数轴上两点距离计算公式得到PA＝2，PB＝6，再根据所给的定义判断即可；
（2）由题意得，点P表示的数为2t，则PA＝2t+2，PB＝|2t﹣6|，根据等腰可得PA＝3PB，则2t+2＝3|2t﹣6|，解方程即可得到答案；
（3）由题意得，xA＝﹣2，xB＝6，xP＝2t，xQ＝﹣2﹣0.5t，根据|xP﹣xQ|+|xB﹣xP|﹣|xA﹣xQ|＝8，推出|6﹣2t|＝6﹣2t，据此解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）当t＝0时，点P即为原点O，
∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6，
∴PA＝0﹣（﹣2）＝2，PB＝6﹣0＝6，
∵PA≠3PB，
∴点P不是【A，B】的定位点，
故答案为：2；6；否；
（2）由题意得，点P表示的数为2t，
∴PA＝2t﹣（﹣2）＝2t+2，PB＝|2t﹣6|，
∵蚂蚁所在位置是【A，B】的定位点，
∴PA＝3PB，
∴2t+2＝3|2t﹣6|，
∴2t+2＝3（2t﹣6）或2t+2＝﹣3（2t﹣6），
解得t＝5或t＝2，
所以在蚂蚁运动过程中，t＝5或t＝2时，蚂蚁所在位置是【A，B】的定位点；
（3）由题意得，xA＝﹣2，xB＝6，xP＝2t，xQ＝﹣2﹣0.5t，
∵|xP﹣xQ|+|xB﹣xP|﹣|xA﹣xQ|＝8，
∴|2t﹣（﹣2﹣0.5t）|+|6﹣2t|﹣|﹣2﹣（﹣2﹣0.5t）|＝8，
∴|2.5t+2|+|6﹣2t|﹣|0.5t|＝8，
∴2.5t+2+|6﹣2t|﹣0.5t＝8，
∴|6﹣2t|＝6﹣2t，
∴6﹣2t＝6﹣2t或6﹣2t＝﹣（6﹣2t），
解得t＝0或t＝3，
所以t＝0或t＝3时，|xP﹣xQ|+|xB﹣xP|﹣|xA﹣xQ|＝8．
50．在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的．
（1）求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？
（2）求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？
（3）在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？
【思路点拔】（1）直接将计算即可；
（2）设未知数，利用总人数为600列出方程即可；
（3）根据在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人列出方程即可．
【解答】解：（1）（人），
答：参加A街路清冰雪劳动共有240人；
（2）设参加C街路的清冰雪劳动有x人，
，
整理得x＝360，
解得x＝216，
∴，
∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人，
答：参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人；
（3）设参加清冰雪劳动的居民有y人，
，
y＝72，
∴参加清冰雪劳动的居民有72人，
答：参加清冰雪劳动的居民有72人．
51．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．
（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
【思路点拔】（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，根据该工厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，
由题意得：（2x﹣200）+x＝1000，
解得：x＝400，
∴2x﹣200＝2×400﹣200＝600，
答：生产盲盒A的工人人数为600人；
（2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，
由题意得：3×20m＝2×10（1000﹣m），
解得：m＝250，
∴1000﹣m＝1000﹣250＝750，
答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套．
52．某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 40 60
售价（元/件） 50 80
（1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍：甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少400元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【思路点拔】（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件，根据第一次用7000元购进甲、乙两种商品，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少400元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件，
根据题意得：40×2x+60x＝7000，
解得：x＝50，
∴2x＝2×50＝100，
答：该超市第一次购进甲种商品100件，乙种商品50件；
（2）第一次获得的总利润为：（50﹣40）×100+（80﹣60）×50＝2000（元），
设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：（50﹣40）×100+（80×0.1y﹣60）×50×3＝2000﹣400，
解得：y＝8，
答：第二次乙商品是按原价打8折销售．
53．第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天．
（1）乙工程队单独完成需要多少天？
（2）若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？
【思路点拔】（1）设乙工程队单独完成需要x天，根据乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天．列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设甲乙还需合作y天修完这条路，根据时间×工作效率＝工作量，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成需要x天，
由题意得：x＝301，
解得：x＝20，
答：乙工程队单独完成需要20天；
（2）设甲乙还需合作y天修完这条路，
由题意得：（5+y）y＝1，
解得：y＝10，
答：甲乙还需合作10天修完这条路．
54．某商场在“十一”黄金周投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）为了促销，该商场将甲种矿泉水打九折，乙种矿泉水打八五折出售．这样，500箱矿泉水在“十一”黄金周结束时全部售完，该商场可获得利润多少元？
【思路点拔】（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可；
（2）总利润＝甲的利润+乙的利润．
【解答】解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得：
，
解得：．
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．
（2）由题意可得：（36×0.9﹣24）×300+（48×0.85﹣33）×200＝4080（元）．
答：该商场可获得利润4080元．
55．一段公路甲队独修需30天，乙队独修需20天，甲队独修路10天后，再由甲、乙两队共同修路，还需多少天能修完？
【思路点拔】设还需x天能修完，由题意：一段公路甲队独修需30天，乙队独修需20天，甲队独修路10天后，再由甲、乙两队共同修完，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设还需x天能修完，
由题意得：10（）x＝1，
解得：x＝8，
答：还需8天能修完．
56．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，达两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价）
型号 进价（元/只） 预售价（元/只）
甲型 20 25
乙型 35 40
（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．
【思路点拔】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100﹣x）只，根据“购进100只节能灯的进货款恰好为2600元”列方程，解方程即可求解；
（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由两种节能灯共获利380元列方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100﹣x）只，
由题意可得：20x+35（100﹣x）＝2600，
解得：x＝60，100﹣60＝40（只），
答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只；
（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，
由题意得60×（25﹣20）+（40﹣35）y+（40﹣y）×（40×90%﹣35）＝380，
解得：y＝10，
答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．
57．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣22，﹣10和10，动点P从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止运动．
（1）动点P从点B运动到点C，一共需要 　20　秒；
（2）当点P运动t秒时，点P在数轴上对应的数为． 　﹣10+t　；（用含t的代数式表示）
（3）经过多长时间，点Q能够追上点P？
（4）在整个运动过程中，P、Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出点P运动的时间；如果不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）由路程除以速度可得运动时间；
（2）由运动中所对应的数为起点对应的数加上运动路程即可得到答案；
（3）由当点Q运动t秒时，点Q在数轴上对应的数为﹣22+2t；点P在数轴上对应的数为﹣10+t；结合相遇时，两数相等可得方程，再解方程即可；
（4）由两点之间的距离公式可得|（﹣22+2t）﹣（﹣10+t）|＝2，再解方程即可．
【解答】解：（1）∵数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣22，﹣10和10，
∴动点P从点B运动到点C，一共需要[10﹣（﹣10）]÷1＝（10+10）÷1＝20（秒），
故答案为：20；
（2）当点P运动t秒时，点P在数轴上对应的数为﹣10+t，
故答案为：﹣10+t；
（3）当点Q运动t秒时，点Q在数轴上对应的数为﹣22+2t；
∴2t﹣t＝﹣10+22，
解得：t＝12；
∴经过12秒时间，点Q能够追上点P；
（4）∵P、Q两点之间的距离为2个单位长度，
当t≤16时，|（﹣22+2t）﹣（﹣10+t）|＝2，
整理得：|﹣12+t|＝2，
解得：t＝10或t＝14，
当16＜t≤20时，PQ＝10﹣（﹣10+t）＝2，
解得：t＝18，
所以：当点P运动的时间为10秒、14秒或18秒时，P、Q两点之间的距离为2个单位长度．
58．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题：
（1）当t＝1时，A点表示的数为 　﹣4　，此时BC＝　16　；
（2）当运动到BC＝6（单位长度）时，求运动时间t的值；
（3）P是线段AB上一点，当点B运动到线段CD上时，若关系式BD﹣AP＝4PC成立，请直接写出此时线段PD的长：PD＝　或　．
【思路点拔】（1）用﹣10加上A点运动1秒的路程可得A点表示的数；分别求出B、C两点运动1秒后在数轴上表示的数，再利用两点间的距离公式即可求出BC；
（2）设运动t秒时，BC＝6（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；
（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
【解答】解：（1）当t＝1时，A点表示的数为﹣10+6×1＝﹣4；
∵B、C两点运动1秒后在数轴上表示的数为﹣8+6×1＝﹣2，16﹣2×1＝14，
∴此时BC＝14﹣（﹣2）＝16．
故答案为：﹣4，16；
（2）设运动t秒时，BC＝6（单位长度），
①当点B在点C的左边时，
由题意得：6t+6+2t＝24，
解得：t；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t﹣6+2t＝24，
解得：t．
综上所述，当运动到BC＝6（单位长度）时，运动时间t的值为或；
（3）设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，
则此时C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，
∴BD＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t，
AP＝x+6t﹣（﹣10+6t）＝10+x，
PC＝|16﹣2t﹣（x+6t）|＝|16﹣8t﹣x|，
PD＝20﹣2t﹣（x+6t）＝20﹣8t﹣x＝20﹣（8t+x），
∵BD﹣AP＝4PC，
∴28﹣8t﹣（10+x）＝4|16﹣8t﹣x|，
即：18﹣8t﹣x＝4|16﹣8t﹣x|，
①当C点在P点右侧时，
18﹣8t﹣x＝4（16﹣8t﹣x）＝64﹣32t﹣4x，
∴x+8t，
∴PD＝20﹣（8t+x）＝20；
②当C点在P点左侧时，
18﹣8t﹣x＝﹣4（16﹣8t﹣x）＝﹣64+32t+4x，
∴x+8t，
∴PD＝20﹣（8t+x）＝20；
∴PD的长有2种可能，即或．
故答案为：或．
59．（1）小聪从学校去杨根思陵园缅怀先烈．若步行前往，则需要2小时到达；若骑共享单车沿原路返回，速度比步行每小时快10千米，则需要40分钟回到学校．问学校到根思陵园多少千米？
（2）某人从甲地出发，以5km/h的速度步行到乙地，然后骑自行车沿原路返回．小虎认为：如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，那么往返全程的平均速度是步行速度的2倍．小虎的判断正确吗？请说明你的理由．
【思路点拔】（1）设小聪从步行的速度为x千米/小时，则骑共享单车的速度为（x+10）千米/小时，利用路程＝速度×时间，结合往返路程不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入2x中，即可求出结论；
（2）设甲、乙两地的路程为s km，利用平均速度＝总路程÷总时间，可求出往返全程的平均速度是km/h，将其与5km/h的2倍，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设小聪从步行的速度为x千米/小时，则骑共享单车的速度为（x+10）千米/小时，
根据题意得：2x（x+10），
解得：x＝5，
∴2x＝2×5＝10．
答：学校到根思陵园10千米；
（2）小虎的判定不正确，理由如下：
设甲、乙两地的路程为s km，则往返全程的平均速度是（km/h），
∵5×2＝10（km/h），10，
∴往返全程的平均速度不是步行速度的2倍，
即小虎的判定不正确．
60．如图，已知数轴上有三点A、B、C，若用AB表示A、B两点的距离，AC表示A、C两点的距离，且ABAC，点A、点C对应的数分别是a、c，且|a+40|+|c﹣20|＝0．
（1）求a、c的值；
（2）求点B对应的数和BC的长；
（3）若点P、Q分别从A、C两点同时出发，向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了多少秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等？
【思路点拔】（1）根据|a+40|+|c﹣20|＝0得出a和c的值；
（2）求出AC即可得出BC的长度；
（3）分情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵|a+40|+|c﹣20|＝0，
∴a＝﹣40，c＝20；
（2）∵a＝﹣40，c＝20，
∴AC＝20﹣（﹣40）＝60，
∵ABAC，
∴AB＝20，
∴BC＝AC﹣AB＝60﹣20＝40；
（2）设运动了x秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等，
①当Q点和P点在B点两侧时，
由题意得：20+2x＝40﹣5x，
解得x，
②当Q点和P点在B点一侧时，
由题意得：20+2x＝5x﹣40，
解得x＝20，
综上所述，运动了秒或20秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等．

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