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平面解析几何
两条直线的位置关系、距离公式
1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
2．若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝(　　)
A．3 B．0
C．－3 D．0或－3
3．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
4．直线l与直线y＝1、直线x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率是(　　)
A． B．
C．－ D．－
5．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C所对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是(　　)
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
6．(多选题)已知直线l1：mx＋(m－3)y＋1＝0，直线l2：(m＋1)x＋my－1＝0，且l1⊥l2，则(　　)
A．直线l1恒过定点
B．直线l2恒过定点(1，1)
C．m＝0或m＝1
D．m＝0或m＝－
7．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
8．(2024·鞍山模拟)若实数a，b，c，d满足(b－a2＋ln a)2＋(c－d－2)2＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________．
9．已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
(1)求顶点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
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10．已知两点A(－4，8)，B(2，4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)
A．2 　 B．9
C． D．10
11．(新定义)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是(　　)
A．(－4，0) B．(0，－4)
C．(4，0) D．(4，0)或(－4，0)
12．若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2，3)对称，则直线l2恒过定点________，l1与l2的距离的最大值是________．
13．在平面直角坐标系中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
14．(2024·海安模拟)△ABC的顶点B(0，2)，边AB上的中线CD所在直线为7x＋2y－19＝0，∠A的平分线AE所在直线为x－y－1＝0.
(1)求点A的坐标和直线AC的方程；
(2)若P为直线AC上的动点，M(－1，0)，N(1，0)，求|PM|2＋|PN|2取得最小值时点P的坐标．
15．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)求证：该方程表示的直线与点P的距离小于4.
答案解析
1、C　解析：直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－2，所以＝－2，解得a＝－1，经检验符合题意．
2、D　解析：因为直线l1与直线l2垂直，所以2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.
3、B　解析：因为菱形四条边都相等，且对边平行，所以每条边上的高也相等．
因为直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为，
3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为，
于是有＝2.
4、C　解析：设P(a，1)，Q(b，b－7)，由线段PQ的中点坐标为(1，－1)，得
解得所以P(－2，1)，Q(4，－3)，
所以直线l的斜率k＝.
5、B　解析：由题意可知，直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的斜率分别为
－，.
又在△ABC中，，所以－＝－1，所以两条直线垂直．
6、AC　解析：由直线l1的方程可得m(x＋y)＋(－3y＋1)＝0，令解得
故直线l1恒过定点，故选项A正确；
由直线l2的方程可得m(x＋y)＋(x－1)＝0，
令解得
故直线l2恒过定点(1，－1)，故选项B不正确；
因为直线l1：mx＋(m－3)y＋1＝0与直线l2：(m＋1)x＋my－1＝0垂直，所以m(m＋1)＋m(m－3)＝0，即m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝1，所以选项C正确，选项D错误．
7、　解析：由题可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.
8、2　解析：因为(b－a2＋ln a)2＋(c－d－2)2＝0，所以b－a2＋ln a＝0，c－d－2＝0，
即b＝a2－ln a，d＝c－2，令f (x)＝x2－ln x，g(x)＝x－2.
设直线y＝x＋m与曲线y＝f (x)＝x2－ln x相切于点P(x0，y0)，
由f (x)＝x2－ln x，得f ′(x)＝2x－，
则f ′(x0)＝2x0－.由2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以f (x0)＝1.
所以P(1，1)，则点P到直线y＝x－2的距离d＝.
而(a－c)2＋(b－d)2的几何意义为曲线y＝f (x)上的点(a，b)与直线y＝x－2上点(c，d)的距离的平方，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为2＝2.故答案为2.
9、解：(1)设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且点C在直线2x－y－5＝0上，
所以解得故C(4，3)．
(2)设B(a，b)，由题意知，M，
所以
解得即B(－1，－3)．
故kBC＝，直线BC：y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
又因为|BC|＝，
点A到直线BC的距离d＝，
所以S△ABC＝＝8.
10、C　解析：依题意，设B(2，4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，
所以解得
所以B′(3，3)．
如图，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，
在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，
则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与点C′重合时取等号，
所以(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝，故.
11、A　解析：设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为，代入欧拉线方程得＋2＝0，整理得m－n＋4＝0①.
易得AB边的中点为(1，2)，kAB＝＝－2，线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.由解得所以△ABC的外心为(－1，1)，则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8②.
联立①②，解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，舍去，所以顶点C的坐标是(－4，0)．
12、(4，5)　4　解析：因为直线l1：y＝kx＋1恒过定点(0，1)，又两直线关于点(2，3)对称，所以两直线经过的定点也关于点(2，3)对称，所以直线l2恒过定点(4，5)，所以l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为.
13、4　解析：由y＝x＋(x>0)，得y′＝1－，
设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋(x>0)切于(x0＞0)，由1－＝－1，解得x0＝.
所以曲线y＝x＋(x>0)上，点P到直线x＋y＝0的距离最小，此时曲线在点P处的切线为x＋y－4＝0，则距离的最小值为＝4.
14、解：(1)由题意可设A(x，y)，可得AB的中点D，
由直线AE，CD的方程可知解得即A(4，3)．
设点B关于直线AE的对称点为B′(a，b)，可得直线AE为线段BB′的中垂线，
则BB′的中点坐标为，kBB′＝.
依题意有
解得a＝3，b＝－1，即B′(3，－1)，
易知点B′(3，－1)在直线AC上，
故由两点式可得直线AC的方程为，化简得y＝4x－13.
所以A(4，3)，直线AC的方程为y＝4x－13.
(2)由(1)可知直线AC的方程为y＝4x－13，
不妨设P(m，4m－13)，
则|PM|2＋|PN|2＝(m＋1)2＋(4m－13)2＋(m－1)2＋(4m－13)2＝34m2－208m＋340，
由二次函数的性质，可知当m＝时，上式取得最小值，此时P.
15、证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
因为方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
所以令解得
故直线经过的定点为(2，－2)．
(2)设直线经过的定点为M(2，－2)，过点P作直线的垂线段PQ(图略)，
由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，
当且仅当点Q与点M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0不能表示直线x－y－4＝0，
所以点Q与点M不可能重合，而|PM|＝4，
所以，故所证成立．

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