资源简介

平面解析几何
椭圆
1．若椭圆C：＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
2．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B．12
C．9 D．6
3．设椭圆＝1(m＞0，n＞0)的离心率为e，则“e＝”是“m＝4n”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
5．已知B是圆A：2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D，则动点D的轨迹方程为______________.
6．设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是________.
7．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，焦点，左顶点为A，点E的坐标为，点A到直线b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60 ，△PF1F2的面积为，求椭圆C的标准方程．
高考模拟
8．已知过椭圆的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
9．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
10．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为__________，离心率为__________.
11．如图，椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为________.
12．如图所示，已知椭圆＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90 ，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程．
13．已知F1，F2是椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)若存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
答案解析
1、C　解析：因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝.
2、C　解析：由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6.
由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤
当且仅当＝3时，等号成立．
3、B　解析：当m＞n时，e＝，则m＝4n；
当m＜n时，e＝，则n＝4m.
所以e＝推不出m＝4n，充分性不成立．
当m＝4n时，则e＝，必要性成立．
综上，“e＝”是“m＝4n”的必要不充分条件．
4、A　解析：设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以kAP·kAQ＝(*)．
因为点P在椭圆C上，所以＝1，得n2＝(a2－m2)，
代入(*)式，得，所以e＝.
5、＋y2＝1　解析：如图，连接BD，由题意得|BD|＝|CD|，则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4>＝2|AB|.
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故动点D的轨迹方程为＋y2＝1.
6、≤b.由＝1，可得2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋a2＋b2≤4b2.
因为当y0＝－b时，|PB|2取得最大值4b2，
所以－≤－b，得2c2≤a2，
所以离心率e＝∈.
7、解：(1)由题意得A(－a，0)，
直线EF2的方程为x＋y＝c.
因为点A到直线EF2的距离为b，
即b，所以a＋c＝b，即(a＋c)2＝3b2.
又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知离心率e＝，即a＝2c①，
因为∠F1PF2＝60 ，△PF1F2的面积为，
则sin 60 ＝，所以|PF1||PF2|＝4.
由
得a2－c2＝3②，
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＝1.
8、B　解析：如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1，0)，点C，F1是线段AB的三等分点，
得C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以x0＝c＝1，
易得y0＝，即A，
所以C.
将点B的坐标代入椭圆方程，得＝1，
即＝1，结合a2－b2＝c2＝1，
解得a2＝5，b2＝4，
所以椭圆的标准方程是＝1.
9、C　解析：取AP的中点Q，则，
所以·＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.
因为点P在直线x＝上，
所以|FP|≥－c，即a≥－c，
所以－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥或e≤.
又0＜e＜1，故≤e＜1.
10、＝1或＝1　　解析：焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝，
又短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，所以a＝2c，所以c＝，b＝3，
所以椭圆的方程为＝1或＝1，离心率e＝.
11、　解析：由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，
因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P.
将点P的坐标代入＝1，可得＝1，
整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，
所以4e4－8e2＋1＝0，解得e2＝.
又0＜e＜1，所以e＝.
12、解：(1)若∠F1AB＝90 ，
则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由，得
解得x＝.
代入＝1，得＝1.
即＝1，解得a2＝3.
所以b2＝a2－1＝2.
所以椭圆的方程为＝1.
13、解：(1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝90 ，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝c，
故C的离心率为e＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当·2c＝16，＝1，
即c|y|＝16①，x2＋y2＝c2②，＝1③.
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
所以b＝4，a的取值范围为.

展开更多......

收起↑